精品解析：山西省长治学院附属太行中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高一数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. （   ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 1000 7. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数恰有3个零点 D. 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________． 13. 若幂函数为偶函数，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（共77分） 15. 设全集，集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 17. 如图是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 18. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高一数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合,利用集合交运算定义计算即可. 【详解】， 又， ， 故选： 2. （   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：C 3. 下列说法中正确的个数是（ ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式1的代换可求最小值. 【详解】因为，所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 6. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】 解出、可得答案. 【详解】由可得 由可得 所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的倍 故选：C 7. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴ ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由图象经过点列方程求，判断A，结合余弦函数性质验证B，根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C，令，可得在上有个不相等的实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察可得函数的图象过点， 所以， 所以，， 所以，，又， 所以，A正确； 所以， 因为时，， 所以点不是函数的图象的对称中心，B错误； 函数向左平移个单位长度，可得函数的图象， 又，所以C正确； 因为， 由可得，， 令，由已知可得在上有个不相等的实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 时，， 所以，D错误. 故选：AC. 10. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数恰有3个零点 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据偶函数以及对称轴的定义分析判断；对于B：根据奇函数定义分析可得，，即可得；对于C：分析函数的周期性，结合图象分析函数的零点；对于D：根据题意结合函数的周期性运算求解. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 即，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 令可得，即， 由，令可得， 且，可得； 由，令可得，即， 又因为当时，， 则，解得，故B错误； 对于选项C：由可得， 且，可得， 即，可得， 即，可知函数的一个周期为4， 且当时，， 据此可得函数的图象，如图所示： 可知函数的零点个数即为函数与的交点个数， 由图可知函数与的交点有3个， 所以函数恰有3个零点，故C正确； 对于选项D：因为，，， 则， 且函数的一个周期为4， 所以，故D错误； 故选：AC. 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】借助函数奇偶性定义判断选项A；通过列举作出函数及的图象判断选项B；举特例判断选项C；通过函数的取值分类讨论判断选项D. 【详解】由题知，函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数， 由得 ， 所以函数是偶函数.故A错误； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 所以函数的图象如图所示： 由的解析式及图象可知： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，因为， 所以是的一个周期，所以函数的值域是，故B正确； 由， ， 所以， 所以函数的图象不关于直线对称.故C错误； 对于方程， 当时，，，此时方程有一个实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 所以方程只有一个实数根，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】 两式两边平方相加得，． ［方法二］： 利用方程思想直接解出 ，两式两边平方相加得，则． 又或，所以． ［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式 由，可得，则或． 若，代入得，即． 若，代入得，与题设矛盾． 综上所述，． ［方法四］：平方关系＋诱导公式 由，得． 又，，即，则．从而． ［方法五］：和差化积公式的应用 由已知得 ，则或． 若，则，即． 当k为偶数时，，由，得，又，所以． 当k为奇数时，，得，这与已知矛盾． 若，则．则，得，这与已知矛盾． 综上所述，． 【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同； 方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦． 13. 若幂函数为偶函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式. 【详解】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，然后分离常数，再令，结合基本不等式和反比例函数性质，用表示出函数值域，结合列不等式求解可得. 【详解】设，， 令，则，因为， 所以，，当且仅当时等号成立， ，，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，都有成立， 所以，，解得，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 设全集，集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）,; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. 【小问2详解】 因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正切公式，结合特殊角的正切函数值进行求解即可； （2）根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 17. 如图是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得，故实数a的取值范围是. 18. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为－2和3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. 【小问2详解】 （i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $