精品解析：河南省南阳市镇平县第四初级中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期期终九年级数学 练习作业 注意事项： 1．本作业共6页，三大题，满分120分，做题时间100分钟，请用黑色水笔或圆珠笔把答案直接做在上面． 2．做题前将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故选：D． 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（） A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 分别计算出每个事件的概率，其值约为0.17的即符合题意； 【详解】由图可知实验事件的概率值约为0.17. A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬子，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，是的直径，点D，E在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据圆周角定理得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故选：C． 5. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 6. 如图，这是二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系以及的符号；由抛物线与轴的交点位置可得，由判断，由，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项错误； B、由图象可知，当时，，故本选项错误； C、由对称轴为直线， ， ，则，故本选项正确； D、由图象可知，当时，，则，故本选项错误； 故选：C． 7. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上，据此判定即可． 【详解】解：由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上， ∴当时，，当或时，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵为直径，弦， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 9. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由题意可证四边形是矩形，再根据为的中点，得到，当最小时，的值最小，如图所示，连接，由矩形的性质可得当最小时，即最小，此时的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小，由等面积法得到，可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， 如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小，此时的值最小， 根据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与可以合并，请写出一个符合条件的：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先化简，然后根据同类二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由， ∵最简二次根式与可以合并， ∴可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．利用待定系数法，转化为方程解决问题即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴或2， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 14. 春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路________米了”． 【答案】260 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：山坡的坡度， ， 米， （米）， 由勾股定理得：（米）， 所以我们至少走坡路260米了， 故答案为：260． 15. 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式，最后计算加减即可； （2）移项后根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得：． 17. 某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； （2）如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 18. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标 （2）已知点在抛物线上，抛物线与轴另一个交点为，求的面积； （3）当时，的取值范围； （4）过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； （4）求得和时的函数值以及顶点坐标，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 则， 当时，， 则， ； 【小问3详解】 解：， 当时，有最小值， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，，当时，， 抛物线与轴的交点为，顶点坐标为， 当或时，直线与抛物线在部分有一个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，二次函数的图象与直线的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．河南省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】109.6m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 20. 如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是的半径 ∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，得 ，由圆周角定理，得； （2）可证得；中，勾股定理求得，于是. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 又∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形对应边成比例） ∵ ∴ 在中 ∴（勾股定理） 即 ∴. 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 21. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，是开始刹车时的速度，是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时s与t之间的关系式为_____； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ 【答案】（1） （2）此款新型汽车刹车距离合格 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，顶点式的特点，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）根据二次函数解析式得到顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴对称轴直线为， ∴此时，， ， ∴此款新型汽车刹车距离合格 22. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则              ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 23. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 【答案】（1）是； （2）证明：∵为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，则可证明，据此可证明则，点是的自相似点； （2）根据题意可得，则，据此可证明结论； （3）分和两种情况，通过证明求出的长，进而利用相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解（1）∵， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的自相似点； （2）略 （3）∵点E是的自相似点，点A与点B是对应点， ∴当时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期终九年级数学 练习作业 注意事项： 1．本作业共6页，三大题，满分120分，做题时间100分钟，请用黑色水笔或圆珠笔把答案直接做在上面． 2．做题前将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（） A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” 4. 如图，是的直径，点D，E在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 6. 如图，这是二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与可以合并，请写出一个符合条件的：_____． 12. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 13. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 14. 春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路________米了”． 15. 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； （2）如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 18. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标 （2）已知点在抛物线上，抛物线与轴另一个交点为，求的面积； （3）当时，的取值范围； （4）过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．河南省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 20. 如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，是开始刹车时的速度，是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时s与t之间的关系式为_____； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ 22. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $