专题02 一元二次函数、方程和不等式寒假讲义-2026年高一数学人教A版必修第一册

专题02 一元二次函数、方程和不等式 高一寒假数学复习资料 专题02 一元二次函数、方程和不等式 一、知识回顾： （一）等式性质与不等式性质 1.等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2.不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 （二）一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ （三）基本不等式 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 2.基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 4.常用的不等式结论： （1） （2）（同号）；（同号）． （3）基本不等式变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：，即： 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 比较大小及不等式性质的应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·广东部分学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 2．(25-26高一上·宁夏石嘴山·)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第一中学·月考)已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高一上·江苏宿迁沭阳如东中学·)若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·山东济南某校·期中)若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·天津宝坻区第九中学·)设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高三下·江苏启东中学·)已知，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 6．(24-25高一上·山西大同·月考)若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·北京昌平区·期末)若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．设为非零实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·贵州贵阳·)下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 5．(25-26高一上·陕西·月考)已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 二次函数图象分析与判断 【经典例题】 1．(23-24高一上·湖南株洲第二中学·)不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·山东青岛海尔学校·期中)设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 3．二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·湖南常德第一中学·期中)已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 4．(25-26高三上·河南南阳·期中)已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·广东佛山中黄星瑜港澳子弟学校·月考)图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 6．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨实验中学·月考)如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）   A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1．(25-26高一上·重庆鲁能巴蜀中学校·月考)已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 2．(25-26高一上·浙江·)若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 3．(25-26高一上·北京·月考)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（ ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 4．(25-26高一上·福建厦门第一中学·月考)已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一下·云南迪庆藏族民族中学·期末)抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高一上·吉林白城实验高级中学·月考)已知二次函数，且，，则一定有（    ）． A． B． C． D． 地 城 考点03 解不等式1:不含参型 【经典例题】 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．(24-25高一上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2026·湖南长沙·模拟)不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式训练】 1．(25-26高一上·贵州织金县第一中学·月考)不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)不等式的解集为（　） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·山东平邑第一中学校本部·)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高三·辽宁沈阳·)不等式的解集（    ） A． B． C． D． 6．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．(25-26高一上·北京东城区·期末)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·山东蒙阴第一中学·期末)已知为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知命题：，命题：R，，若命题，都是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 地 城 考点04 解不等式2:含参型 【经典例题】 1．(25-26高一上·河南新未来·)若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（    ） A． B． C．8 D．6 2．(25-26高一上·新疆克拉玛依·)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．(25-26高一上·辽宁丹东·期末)不等式的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．5 C．3 D．－3 【变式训练】 1．(25-26高一上·河南新未来·)若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·四川南充高级中学·期中)关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 4．(25-26高三上·陕西商洛多校·调研)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 2．(25-26高一上·贵州毕节威宁县七校·调研)已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 3．(25-26高一上·江西南昌中学·期中)若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·江苏·期末)不等式的解集为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·上海·期末)当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 基本不等式法求最值 1: 一元型 【经典例题】 1．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．(25-26高一上·四川泸州·期末)已知，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 3．若，则的最小值为 . 【变式训练】 1．(25-26高一上·四川凉山彝族·期末)若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．(20-21高一上·江苏连云港·期中)若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．49 5．(2026·广西南宁·一模)如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）   A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.当时，的最小值为____________． 3．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 4．(25-26高一上·山西长治学院附属太行中学·期末)已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 6．（多选） 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 地 城 考点06 基本不等式法求最值 2: 双元放缩型 【经典例题】 1．(25-26高一上·安徽多校·月考)若，则的最小值为（   ） A． B． C．20 D．400 2．(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 3．(25-26高三上·贵州六盘水水城区·)若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.若，满足，则（    ） A． B． C． D． 2.若实数x，y满足，则的最小值为________． 3.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 4．某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏. 【巩固练习】 1．(23-24高一上·江苏百校大联考·)已知正数x，y满足，则的最小值为 . 2．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中) （多选）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 3．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最大值为2 D．的最小值为8 4．(25-26高一上·山西大同·期中) （多选）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 地 城 考点07 基本不等式法求最值 3: 双元构造型 【经典例题】 1．(25-26高一上·宁夏石嘴山·)若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 2．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．25 B．36 C．42 D．56 3．(25-26高一上·福建龙岩上杭县第一中学·月考)已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式训练】 1．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．(25-26高三上·安徽马鞍山·月考)（多选）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西·期末)已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．(23-24高一上·山西大同·期中)若，，且，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 基本不等式法求最值 4: 双元代换型 【经典例题】 1．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·月考)已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 2．(25-26高一上·山东青岛·月考)已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，且，则的最小值是 . 2．（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 3．（多选）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 2．（多选）已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3．（多选）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 地 城 考点09 不等式恒(能)成立问题 【经典例题】 1．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·)已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 2．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·广东佛山南海区石门中学·月考)若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高一上·广东衡水金卷·)已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·河北冀州中学·月考)若不等式的解集是，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·云南·月考)当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·安徽淮南兴学教育·)若“”为假命题，则实数a的取值范围为 . 3．(16-17高二·苏教版·)已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是 . 4．(23-24高一上·山西运城·期末)已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 地 城 考点10 综合解答 【经典例题】 1．求不等式的解集：(1)；(2). 2．(23-24高一上·广东韶关仁化县仁化中学·月考) （1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 3．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式. 4．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)2024年8月25日，商务部等四部门发布《关于进一步做好家电以旧换新工作的通知》，提出各地要统筹使用中央与地方资金，对个人消费者购买2级及以上能效或水效标准的空调等8类家电产品给予以旧换新补贴，国补政策的出台极大地激发了消费者的购买热情.为应对产品的消费需求，某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本500万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元；当年产量不足50千台时，，当年产量不小于50千台时，.已知每台空调售价4000元，且生产的空调能全部销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式； (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大?并求出最大利润. 【变式训练】 1．(24-25高一上·山西晋中同兴学校·期中)解下列不等式： (1)；(2)(3) 2．(25-26高一上·山西大同第一中学校·)已知二次函数满足以下条件：（1）该函数图象过原点；（2）；（3），求的取值范围． 3．(23-24高一上·山西长治上党好教育联盟·期末)已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 4．(24-25高一上·浙江丽水“五校高中发展共同体”·)已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集 (2)若，解这个关于的不等式 (3)，恒成立，求的范围． 5．(24-25高一上·甘肃多校·期末)某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 6．(25-26高一·四川峨眉第二中学校·月考)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【巩固练习】 1．(23-24高一上·江苏平潮高级中学·月考) （1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 2．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 3．(25-26高一上·山西大同第一中学校·)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 4．(25-26高一上·山西太原·期中)某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 三、达标检测 1．(24-25高一上·湖南株洲第二中学·月考)已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·山西大同浑源县第七中学校·期末)函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 6．(24-25高一上·山西·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·山西大同·期中)已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 8．(23-24高一上·山西部分学校·)已知，，则的最小值为（    ） A．15 B．12 C．8 D．6 9．(23-24高一上·山西大同·期中)设，，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·山西吕梁·期末) （多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高三上·江苏南京六校联合体·期中)已知，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 12．(23-24高一上·湖北春晖教育集团·月考)若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 13．(24-25高一上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 14．(24-25高一上·广东广州花都区秀全中学·月考)当时，函数的最小值为 ． 15．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知关于的不等式（，，）的解集为，则关于的不等式的解集为 ，的最大值为 . 16．(24-25高一上·广东广州花都区秀全中学·月考) （1）若正数a，b，满足，求的最小值； （2）若正实数x，y满足，求xy的最大值． 17．(23-24高一上·广西南宁第三中学�邕衡金卷·)已知实数. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 18．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 19．(23-24高一上·山西吕梁·期末)2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完． (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润． 试卷第1页，共3页 11 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $专题02 一元二次函数、方程和不等式 高一寒假数学复习资料 专题02 一元二次函数、方程和不等式 一、知识回顾： （一）等式性质与不等式性质 1.等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2.不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 （二）一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ （三）基本不等式 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 2.基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 4.常用的不等式结论： （1） （2）（同号）；（同号）． （3）基本不等式变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：，即： 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 比较大小及不等式性质的应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·广东部分学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【详解】,，故B正确．故选：B． 2．(25-26高一上·宁夏石嘴山·)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则由可得，充分性不成立；若，则，所以可得，必要性成立，所以B正确.故选：B 3．(25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确；所以，，故BD选项错误；故选：C 4．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第一中学·月考)已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，所以，解得， 所以，又，所以，所以，所以.故选：A. 【变式训练】 1．(25-26高一上·江苏宿迁沭阳如东中学·)若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，即，所以与同号，对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误；对于B选项，当时，满足，，此时，故错误；对于C选项，当时，满足，，此时，故错误；对于D选项，由得，整理得，即，故正确.故选：D 2．(25-26高一上·山东济南某校·期中)若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，A选项错误，B选项正确；，C选项错误，，D选项错误.故选：B. 3．(25-26高一上·天津宝坻区第九中学·)设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：A 4．(24-25高三下·江苏启东中学·)已知，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得，则 ，则，充分性成立；由，若，，则，得不到，必要性不成立，故 p是 q的充分不必要条件．故选：A． 5．(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，因为，两边同时乘以，则，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D错误；故选：B 6．(24-25高一上·山西大同·月考)若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，，所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 【巩固练习】 1．(25-26高一上·北京昌平区·期末)若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，由不等式的基本性质可得，则，B对； 对于C选项，当时，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，当时，由不等式的基本性质可得，D错. 故选：B. 2．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3．设为非零实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，若取，但此时不成立，即充分性不成立；当时，若取，但此时不成立，即必要性不成立.因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．(24-25高一上·贵州贵阳·)下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为，从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 5．(25-26高一上·陕西·月考)已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，，.故选：C. 地 城 考点02 二次函数图象分析与判断 【经典例题】 1．(23-24高一上·湖南株洲第二中学·)不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，为的两个根，故，即，开口向下，AC选项错误，对称轴为，D选项错误.所以B选项正确.故选：B 2．(25-26高一上·山东青岛海尔学校·期中)设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】A 【详解】因为，所以函数的对称轴不可能为轴，所以函数的图像不可能是图1和图2，由图3和图4可知函数必过原点，所以，解得，当时，，图像开口向上，另一个零点为，图4符合，当时，，图像开口向下，另一个零点为，图3，4均不符合.综上所述，符合题意的的值为1.故选：A 3．二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在二次函数中，由，得图象的对称轴为直线，由，得，而，则的图象开口向下，所以的解集为.故选：A 【变式训练】 1．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，解得，故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.故选：A. 2．已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的开口向下，所以.由二次函数的图像可知，函数的图像开口向上，且该函数的图像与轴相切，对称轴为直线，所以，，且，则，，不等式即，即，解得，因此，不等式的解集为.故选：B. 3．(25-26高一上·湖南常德第一中学·期中)已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：，，，原不等式等价于，解得，不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 4．(25-26高三上·河南南阳·期中)已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知是的两个实数根，可得，解得，所以.当时，，故A符合题意；当时，二次函数的图象开口向上，由，解得或，所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合；当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意.故选：C. 5．(25-26高三上·广东佛山中黄星瑜港澳子弟学校·月考)图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 【答案】C 【详解】由图象可知，开口向上，所以，且，即.故选：C 6．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨实验中学·月考)如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）   A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①由图象可知二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，故①错误；②因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，故②错误；③由，得，即，故③正确；④因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，故④正确.故选：B 【巩固练习】 1．(25-26高一上·重庆鲁能巴蜀中学校·月考)已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】C 【详解】∵关于的不等式的解集为，∴是方程的两根，且，∴且，∴．函数的图象开口向下，对称轴为，∵定义域为，∴当时，函数取最大值，故A正确； 由，得，故B正确，C错误；不等式即为， 也即，即，∴，∵，∴，解得或，所以的解集为，故D正确．故选：C． 2．(25-26高一上·浙江·)若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由图可知，，，，∴，，∴，. ∴等价于，∵，∴，解得.故选：B 3．(25-26高一上·北京·月考)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（ ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【详解】由图象得：图象的开口向上，所以，图象的对称轴在轴的右侧，所以，又图象与轴的交点在负半轴，所以，所以，故①错误；从图象观察得，当时，，所以，又，所以，代入得，所以成立，故②正确； 当时，，所以，即，又，所以，故③正确； 综上得结论正确的是②③，故选：D. 4．(25-26高一上·福建厦门第一中学·月考)已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为，的两不等实根都在内，则需满足，解得.故选：A 5．(23-24高一下·云南迪庆藏族民族中学·期末)抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的开口向下，，抛物线的对称轴为，，，抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误；抛物线的对称轴为，，，故B错误；由图象可知，当时，函数值小于0，即，故C正确；抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 6．(25-26高一上·吉林白城实验高级中学·月考)已知二次函数，且，，则一定有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数中，，∴当时，．又∵，∴抛物线开口向下且穿过x轴，∴抛物线与x轴肯定有两个交点，即判别式．故选：A. 地 城 考点03 解不等式1:不含参型 【经典例题】 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，解得，不等式的解集为．故选：A． 2．(24-25高一上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得或，即不等式的解对应集合，由或，解得或，即不等式的解对应集合，显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选. 3．(2026·湖南长沙·模拟)不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项并通分：，因式分解得：，解得：或.故选：B 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由可得,则可得且, 故不等式的解集为或.故选：C. 【变式训练】 1．(25-26高一上·贵州织金县第一中学·月考)不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得或．所以原不等式的解集为.故选A 2．(25-26高一上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得或.故不等式的解集为或.故选：C. 3．(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)不等式的解集为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，则，解得， 则不等式的解集为.故选：C 4．(25-26高三上·山东平邑第一中学校本部·)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，即，则，解得， 所以不等式的解集是.故选：C 5．(25-26高三·辽宁沈阳·)不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，可得，即，即，且，解得，所以不等式的解集为.故选：B. 6．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，即，解得，因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C 【巩固练习】 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由不等式，可得，或，故不等式的解集为或，故选：. 3．(25-26高一上·北京东城区·期末)不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】即为，故，故原不等式的解集为.故选：B. 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解得或， 即不等式的解集是.故选：D. 5．(25-26高一上·山东蒙阴第一中学·期末)已知为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得或，解得或.设，，因为真包含于，所以，反之不成立，是的充分不必要条件．故选：A． 6．已知命题：，命题：R，，若命题，都是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】若命题：R，，为真命题，则，解得或.若命题p，q都是真命题，则实数的取值范围是或或，故选：C. 地 城 考点04 解不等式2:含参型 【经典例题】 1．(25-26高一上·河南新未来·)若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】D 【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以有. 故选：D 2．(25-26高一上·新疆克拉玛依·)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，关于x的不等式的解集是，即当的两根为或，由韦达定理可得，，所以，，所以求，即是求，解得.故选：A. 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【详解】由一元二次不等式的解集为，可得，解得，则不等式可转化为，即，因为，则，不等式即为，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D． 4．(25-26高一上·辽宁丹东·期末)不等式的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．5 C．3 D．－3 【答案】C 【详解】由化简得到，等价于，因为解集为，所以，即.故选：C. 【变式训练】 1．(25-26高一上·河南新未来·)若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个实数根，所以，故不等式可化为，解得，所以不等式的解集为.故选：D 2．(24-25高一上·四川南充高级中学·期中)关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，所以的解集为.故选：A. 3．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，可得，所以，不等式即为，即，解得或，因此不等式的解集为或，故B错误；对于C选项，由题意得，故C错误；对于D选项，不等式即为，即，解得，因此不等式的解集为，故D正确.故选：D. 4．(25-26高三上·陕西商洛多校·调研)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为，当时，不等式的解集为，不符合题意，当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，综上，实数的取值范围为.故选：A. 【巩固练习】 1．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为的解集为，故且和3为方程的解， 故，解得，，故.故选：. 2．(25-26高一上·贵州毕节威宁县七校·调研)已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以和2是方程的两个根，所以，，所以，.所以.故选：C. 3．(25-26高一上·江西南昌中学·期中)若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集是，∴和1是方程的根，且，∴，得，∴不等式转化为，因为，∴，，得，∴不等式的解集为.故选B. 4．(25-26高一上·江苏·期末)不等式的解集为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为，所以，且，所以.所以不等式可化为，所以或. 所以不等式的解集为.故选：A 5．(24-25高一上·上海·期末)当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，不等式可化为， 因为，且，所以，，所以的解集为，所以原不等式的解集为，即.故选：C. 地 城 考点05 基本不等式法求最值 1: 一元型 【经典例题】 1．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为．故选：D． 2．(25-26高一上·四川泸州·期末)已知，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，所以的最小值为.故选：B. 3．若，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.故答案为：9 【变式训练】 1．(25-26高一上·四川凉山彝族·期末)若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故当时，的最小值为.故选：B. 2．(20-21高一上·江苏连云港·期中)若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选C． 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：C. 4．函数的最小值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当即时，等号成立，所以函数的最小值为49.故选：D. 5．(2026·广西南宁·一模)如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元.故选：B 【巩固练习】 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B. 2.当时，的最小值为____________． 【答案】 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当时等号成立.故答案为： 3．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【详解】由题，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为5．故选：D 4．(25-26高一上·山西长治学院附属太行中学·期末)已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，所以， 当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：D. 5．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 【答案】D 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20.故选：D 6．（多选） 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】AC 【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；当时，，故B错误；，当且仅当，即时等号成立，故C正确；，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误故选AC. 地 城 考点06 基本不等式法求最值 2: 双元放缩型 【经典例题】 1．(25-26高一上·安徽多校·月考)若，则的最小值为（   ） A． B． C．20 D．400 【答案】C 【详解】由，可知，则，故,则可得， 所以，即得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20.故选：C. 2．(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【详解】因为a，b为正数，且，所以，即，解得，所以；当且仅当时取等号，ab的最小值为9.故选：D. 3．(25-26高三上·贵州六盘水水城区·)若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，又因为，即，所以令，所以，所以，解得，即.故选：D. 4．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设底面的长和宽分别为，（，），因为体积为，高为，所以底面积为，即，所用材料的面积，当且仅当时取等号，所以当底面的长和宽均为时，所用的材料表面积最少，其最小值为.故选B. 【变式训练】 1.若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，所以，时左侧等号成立，时右侧等号成立，故A错，B对；由，当且仅当时等号成立，所以，C错；当时满足，此时，D错.故选：B 2.若实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】8 【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为： 3.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】因为正实数，满足，则有：对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确；对B，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值4，B正确；对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误；对D，因为，当且仅当时，等号成立，所以，D正确；故选：C. 4．某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要 米棚栏. 【答案】 【详解】由题意，，且周长是，根据基本不等式，，当取等号，即至少需要米棚栏.故答案为： 【巩固练习】 1．(23-24高一上·江苏百校大联考·)已知正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】由，可得，即，代入中，可得当且仅当时，取等号，所以的最小值为12.故答案为：12. 2．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中) （多选）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，当时，则，，所以，故A错误；对于选项B，当时，，根据基本不等式，可得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于选项C，因为且，则，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故C错误；对于选项D，因为，所以，故D正确.故选：BD 3．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最大值为2 D．的最小值为8 【答案】ABD 【详解】对于A,因为，，，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD. 4．(25-26高一上·山西大同·期中) （多选）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以，当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确；对于B，，当且仅当，时，的最小值为，B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为1，C错误；对于D，，当且仅当，，即，时等号成立，故的最小值为，D正确.故选：ABD. 地 城 考点07 基本不等式法求最值 3: 双元构造型 【经典例题】 1．(25-26高一上·宁夏石嘴山·)若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 【答案】C 【详解】因为正实数满足，所以， 当且仅当等号成立，将代入解得.即时等号成立，所以的最小值为9.故选：C 2．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．25 B．36 C．42 D．56 【答案】B 【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为36.故选：B. 3．(25-26高一上·福建龙岩上杭县第一中学·月考)已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因，，满足，则，于是，当且仅当时，即，等号成立，故的最小值是.故选：C 【变式训练】 1．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即，时，等号成立.故选：B. 2．已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数、满足，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：B. 3．(25-26高三上·安徽马鞍山第二中学·月考)（多选）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，则，当且仅当时，即时，等号成立，即，所以，即的最大值为. 故选：A. 4．（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 【答案】BC 【详解】由已知，，所以，当且仅当时，等号成立，B正确；，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：BC 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西·期末)已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6.故选：C. 2．(23-24高一上·山西大同·期中)若，，且，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【来源】山西省大同市2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】将等式两边同除以得，再由基本不等式“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】因为，两边同除以得，所以， 当即时等号成立.故选：A． 3．(23-24高一上·河南新乡·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，A正确.对于B，因为,，所以，当且仅当时，等号成立，B正确.对于C，，当且仅当，即时，等号成立，C错误.对于D，，D正确.故选：ABD 地 城 考点08 基本不等式法求最值 4: 双元代换型 【经典例题】 1．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·月考)已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选A. 2．(25-26高一上·山东青岛·月考)已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为.故选：C. 【变式训练】 1．已知，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为，所以，即， 所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，故的最小值是.故答案为： 2．（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，故，因此，故A正确；对于B：因为，，故，.令，则，且，则，由对勾函数的性质，易知在上单调递减，在上单调递增，又因为，故在上的值域为，故当时，，即，即的值域为，故B错误；对于C：由A可知，，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故C正确；对于D：由A可知，，则，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D正确.故选：ACD. 3．（多选）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，，得，即，当且仅当时取等号，A错误；显然，解得，当且仅当时取等号，B正确；由选项A知，，当且仅当时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BCD 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【来源】山西省晋中市部分学校2025-2026学年高一上学期11月质量检测数学试题 【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为，则，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3，故选：A 2．（多选）已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得，则，当且仅当时取等号，B错误；对于C，因为，则，当且仅当，即时取等号，C错误；对于D，令，则，而，于是，由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则，即取得最大值，此时，D正确.故选：AD 3．（多选）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为、为正实数，，对于A选项，因为，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A对；对于B选项，，当且仅当时，等号成立，所以也正确，故B对；对于C选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对.对于D选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故D错；故选：ABC. 地 城 考点09 不等式恒(能)成立问题 【经典例题】 1．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·)已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【详解】由正实数满足，可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为，因为恒成立，可得，解得.故选：C. 2．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，得，则问题转化为对于恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的取值范围为.故选：D. 3．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，得恒成立，所以对任意的恒成立；当时，要使不等式对任意的恒成立，则，解得.综上所述，的取值范围为.故选：A. 4．(24-25高一上·广东佛山南海区石门中学·月考)若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，对称轴方程为，若存在，使不等式成立， 等价于，当时，即时，，解得，因为，所以；当时，即时，，解得，因为，所以；因为，所以.故选:C. 【变式训练】 1．(25-26高一上·广东衡水金卷·)已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，若不等式恒成立，则，所以，解得.故选：C 2．(25-26高三上·河北冀州中学·月考)若不等式的解集是，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为，当，即时，若不等式的解集是，则，解得：； 综上所述，的取值范围为．故选：A 3．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“，使得”为假命题，所以命题“，使得”为真命题，当时，在上恒成立，符合题意；当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，化简得，解得，因为，所以；当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得，而，所以此时无解；综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 4．(25-26高一上·云南·月考)当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确.故选：C 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，在上显然不成立，当，则或，得或，综上，实数的取值范围是.故选：D 2．(23-24高一上·安徽淮南兴学教育·)若“”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题设命题为假，则为真，所以，即在上恒成立，又在上递增，故，所以.故答案为： 3．(16-17高二·苏教版·)已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是 . 【答案】 【详解】由题意两个正数，满足，则，则，当时取等号，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案为：. 4．(23-24高一上·山西运城·期末)已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正实数a，b满足，，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以不等式恒成立，只需即可.故答案为： 地 城 考点10 综合解答 【经典例题】 1．求不等式的解集： (1)； (2). 【详解】（1）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为 （2）不等式，即， 又方程的两根分别为、， 所以不等式的解集为. 2．(23-24高一上·广东韶关仁化县仁化中学·月考) （1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 3．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）因为，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. （2）因为，所以变为， 所以， 当时，，所以； 当时，，所以不等式的解集为空集； 当时，，所以； 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 4．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)2024年8月25日，商务部等四部门发布《关于进一步做好家电以旧换新工作的通知》，提出各地要统筹使用中央与地方资金，对个人消费者购买2级及以上能效或水效标准的空调等8类家电产品给予以旧换新补贴，国补政策的出台极大地激发了消费者的购买热情.为应对产品的消费需求，某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本500万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元；当年产量不足50千台时，，当年产量不小于50千台时，.已知每台空调售价4000元，且生产的空调能全部销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式； (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大?并求出最大利润. 【详解】（1）（1）当时， 当时，， 所以 （2）（2）当时，， 当时，取得最大值3550万元； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值3582万元. 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为58千台时， 获利最大，最大利润为3582万元. 【变式训练】 1．(24-25高一上·山西晋中同兴学校·期中)解下列不等式： (1)；(2)(3) 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 2．(25-26高一上·山西大同第一中学校·)已知二次函数满足以下条件：（1）该函数图象过原点；（2）；（3），求的取值范围． 【详解】由图象过原点得，则 由得，由得， 设，解得，所以， 又因为，即，所以， 故的取值范围为. 3．(23-24高一上·山西长治上党好教育联盟·期末)已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 4．(24-25高一上·浙江丽水“五校高中发展共同体”·)已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集 (2)若，解这个关于的不等式 (3)，恒成立，求的范围． 【详解】（1）时， ， 则所求不等式的解集为：； （2）当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）， 因，则．则题目等价于． 令，因，则．则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 5．(24-25高一上·甘肃多校·期末)某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 6．(25-26高一·四川峨眉第二中学校·月考)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即，所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 【巩固练习】 1．(23-24高一上·江苏平潮高级中学·月考) （1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值为. （2）因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 2．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【详解】（1）因为，所以. 又因为，，所以，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，取得最小值4. （2）. 因为，，且，所以，当且仅当时取等. 所以. 即当时，取得最小值. 3．(25-26高一上·山西大同第一中学校·)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两个根为，3，且， 所以由韦达定理有，所以， 所以不等式，即不等式，即不等式. 则，因为，所以， 当即 时，的解为； 当即 时，即，无解； 当即 时，的解为； 综上所述，当 时，的解集为； 当 时，的解集为； 当 时，的解集为. 4．(25-26高一上·山西太原·期中)某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【详解】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 三、达标检测 1．(24-25高一上·湖南株洲第二中学·月考)已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷 【详解】对于A：，因为，则，，所以，当时，，当时，，当时，，A错误；对于B：因为，则，，，则，所以，B正确；对于C，因为，则，，，由题意，即，故C错误；对于D，由题意，即，故D错误.故选：B. 2．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，则，故选项A错误； 对于B，因为，则，故选项B正确； 对于C，因为，则，故选项C错误； 对于D，因为，则，所以，故选项D错误； 故选：B 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故选：A. 4．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2，由根与系数的关系可得，解得，所以，故选：B 5．(24-25高一上·山西大同浑源县第七中学校·期末)函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7．故选：A 6．(24-25高一上·山西·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得，所以，所以， 故选：C 7．(25-26高一上·山西大同·期中)已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【详解】对于选项A：因为，由不等式性质可知一定成立，不合题意；对于选项B：若，则，因为，则，可得一定成立，不合题意；对于选项C：例如，满足，但，可知，符合题意；对于选项D：若，由不等式性质可知一定成立，不合题意；故选：C. 8．(23-24高一上·山西部分学校·)已知，，则的最小值为（    ） A．15 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【详解】由基本不等式可知：，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为12.故选：B 9．(23-24高一上·山西大同·期中)设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，，所以，所以，故A错误；对于B，因为，，所以，，，所以，即，故B正确；对于C，因为，所以，则，故C正确；对于D，取，，可得，，此时，故D错误.故选：BC 10．(24-25高一上·山西吕梁·期末) （多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为.所以即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确；当时，满足，此时，故B错误；（当且仅当时，等号成立），故C错误；由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确.故选：AD 11．(23-24高三上·江苏南京六校联合体·期中)已知，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误，，当且仅当，即取等号，故B正确，，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确，，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：BCD 12．(23-24高一上·湖北春晖教育集团·月考)若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】不等式的解集是，则对应的方程的两根为和， ，且，故，且，故，故A正确； ，故B错误；，故C正确；，， 即的解集是，故D正确.故选：ACD 13．(24-25高一上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【详解】∵不等式的解集是，∴方程的两个根为 则.由得，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：. 14．(24-25高一上·广东广州花都区秀全中学·月考)当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故答案为： 15．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知关于的不等式（，，）的解集为，则关于的不等式的解集为 ，的最大值为 . 【答案】 【详解】因为关于的不等式（，，）的解集为，所以，2为方程的两个根，且，又所以所以，即，即，解得，即关于的不等式的解集为.因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为.故答案为：，. 16．(24-25高一上·广东广州花都区秀全中学·月考) （1）若正数a，b，满足，求的最小值； （2）若正实数x，y满足，求xy的最大值． 【详解】（1）正数a，b，满足， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值18. （2）正实数x，y满足，则， 当且仅当时取等号， 于是，解得，即， 所以当时，xy取得最大值1. 17．(23-24高一上·广西南宁第三中学�邕衡金卷·)已知实数. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 【详解】（1）由，当且仅当时等号成立， 记，，则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以的取值范围为； （2）因为，又，两边同时除以得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 18．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【详解】（1）当时，可得，即， 解得或，即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得；若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 19．(23-24高一上·山西吕梁·期末)2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完． (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元． 试卷第1页，共3页 13 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $