专题04 函数的概念及其表示（10大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题04 函数的概念及其表示 【人教A版】 【知识清单1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识清单2 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【知识清单3 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以A不符合题意； 对于B，当时，对于函数， 任意一个，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，所以B符合题意； 对于C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以C不符合题意； 对于D，令，由对应关系，可得，不符合函数的定义，所以不是的函数，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式1.1】（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四个图中，能反映变量是的函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】由函数的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于ABC三个图象，都出现一个对应两个的情况，不符合函数定义， 对于D，符合一个有唯一一个和它对应，符合函数定义， 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·湖北武汉·月考）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【变式1.3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【题型2 求函数值或由函数值求参】 【例2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，代入计算即可得解. 【解答过程】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【解答过程】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【变式2.2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【解答过程】函数，令，则，而， 所以. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【解答过程】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 【题型3 求具体函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·福建宁德·月考）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解题思路】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可. 【解答过程】由已知， 则，解得且， 即函数的定义域为且， 故选：D. 【变式3.1】（25-26高一上·河南·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【解答过程】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由题意可得. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高一上·重庆·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分母不为零，偶次根式被开方数大于等于零求解. 【解答过程】，且，的定义域为. 故选：D. 【题型4 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例4】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·全国·月考）已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的定义域直接判断各选项的定义域即可. 【解答过程】由题知的定义域为，的定义域为， 则，，的定义域均为， 因为中，所以， 所以函数的定义域为． 故选：D． 【变式4-2】（25-26高一上·山东德州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 【题型5 求函数的值域】 【例5】（25-26高一上·江苏·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【解答过程】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【解答过程】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【解答过程】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 【变式5-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【解答过程】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D. 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【解答过程】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】判断两个函数是否为同一函数，需要满足定义域相同且对应法则相同，逐项分析即可. 【解答过程】函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为全体实数， 的定义域为全体整数，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为， 的定义域为，，两个函数定义域相同，对应法则也相同，故为同一函数，正确. 函数的定义域为， 的定义域为，解得或， 两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·贵州·期中）在下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同， 故不为同一个函数，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，定义域不相同， 故不为同一个函数，故B错误； 对于C, 的定义域为R，的定义域为， 定义域不相同，故不为同一个函数，故C错误； 对于D，的定义域均为R，对应关系也相同，故为同一个函数，D正确. 故选：D. 【题型7 函数的表示法】 【例7】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解答过程】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·福建厦门·月考）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【解答过程】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【解答过程】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【题型8 求函数的解析式】 【例8】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法可求答案. 【解答过程】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式8.1】（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元法求解析式. 【解答过程】设，则，， 所以， 所以， 故选：B. 【变式8.2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）构造方程，解方程组即可求出函数解析式. 【解答过程】（1），设，则， 则， 故. （2）因为，故可将变换为得， 解得. 【变式8.3】（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解题思路】（1）设，代入计算即可求解； （2）令，换元求解即可； （3）构造关于，的方程组求解即可. 【解答过程】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，， 即， 所以； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 【题型9 求分段函数解析式或求函数的值】 【例9】（25-26高一上·河南·期中）若函数则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【解题思路】将自变量代入分段函数解析式求解函数值. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．3 C．8 D．15 【答案】A 【解题思路】利用分段函数的解析式计算即可. 【解答过程】因为函数， 所以. 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·贵州贵阳·月考）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解. 【解答过程】函数，则，因此， 所以. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【答案】B 【解题思路】先根据函数解析式求得，，然后再利用求解即可. 【解答过程】由题意可知，，， 所以，所以. 故选：B. 【题型10 分段函数的性质及应用】 【例10】（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【解答过程】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【解答过程】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)答案见解析，最大值为 (2)或 【解题思路】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【解答过程】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 【变式10-3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 【答案】(1) (2)或 (3)作图见解析，定义域为，值域为． 【解题思路】（1）根据分段函数解析式直接代入求值即可； （2）按照分段函数分段求解方程的根，即可得的值； （3）直接利用解析式画分段函数图象，由图得函数的定义域和值域． 【解答过程】（1）解：因为 所以． （2）解：当时，，不合题意，应舍去； 当时，，解之得或（舍）； 当时，，则， 综上，或． （3）解：由题可作图如下： 则函数定义域为，值域为． 一、单选题 1．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【解答过程】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【解答过程】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A. 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【解答过程】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的解析式，求函数值即可. 【解答过程】因为函数， 所以可得，则. 故选：B. 6．（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由两个函数是同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数为同一函数，所以A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：A. 7．（25-26高一上·河南漯河·月考）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【解答过程】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 8．（25-26高一上·云南红河·月考）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【解答过程】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 10．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】对AB化简解析式，再结合其定义域即可判断，对CD，求出函数定义域即可判断. 【解答过程】对于A，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，对函数，有，解得， 则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 11．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【解题思路】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【解答过程】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 . 【答案】. 【解题思路】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【解答过程】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【解答过程】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江西上饶·月考）定义在R上的函数满足，且，则 ． 【答案】 【解题思路】运用赋值法求解即可. 【解答过程】令，则，得， 再令，，则， 即， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 16．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 18．（2025高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【解题思路】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或 （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 19．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【解题思路】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【解答过程】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其表示 【人教A版】 【知识清单1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识清单2 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【知识清单3 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1.1】（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四个图中，能反映变量是的函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1.2】（24-25高一上·湖北武汉·月考）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【变式1.3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型2 求函数值或由函数值求参】 【例2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【变式2.1】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【变式2.2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式2.3】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【题型3 求具体函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·福建宁德·月考）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3.1】（25-26高一上·河南·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高一上·重庆·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例4】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·全国·月考）已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·山东德州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【题型5 求函数的值域】 【例5】（25-26高一上·江苏·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-3】（25-26高一上·贵州·期中）在下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数的表示法】 【例7】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·福建厦门·月考）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【题型8 求函数的解析式】 【例8】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 【变式8.3】（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【题型9 求分段函数解析式或求函数的值】 【例9】（25-26高一上·河南·期中）若函数则（    ） A． B． C．0 D．4 【变式9-1】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．3 C．8 D．15 【变式9-2】（25-26高一上·贵州贵阳·月考）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【题型10 分段函数的性质及应用】 【例10】（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【变式10-3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 一、单选题 1．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．4 B． C． D．1 6．（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南漯河·月考）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南红河·月考）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 9．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 . 13．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·江西上饶·月考）定义在R上的函数满足，且，则 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 16．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 18．（2025高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 19．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $