第06讲求函数的解析式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第06讲求函数的解析式 【题型1】配凑法求函数解析式 例题1.已知函数fx-1=2x-14,则f(x)=() A.2x-12 B.2x-16 C.2x-13 D 【详解】因为函数∫(x-1)=2x-14=2x-1-12,所以函数f(x)=2x 【针对训练】 1.已知函数fV-2=x-4+5,则f(x)的解析式为 【详解】因为函数fN-2=x-4WF+5=(V-2+1,且F-2≥-2 所以fx)=x2+1,x2-2 故答案为：fx=x2+1,x≥-2 2.若x+=r+ x +4，则f 118 A. 9 B.136 C.88 D 9 9 【详解】由题意知，f(x+)=x2+ +4=x+马2+2， 所以)=+2，则学-1902-8 9 9 故选：A 3.已知 则f(x)的解析式是 【详解】因为+1= 1 x士，则衣+c+2 x [1 当>0时，+之22，当且仅当=1时等号成立， 当x<0时，+≤-2-2，当且仅当x=-1时等号成立， 1 1 所以f(x)=x2-2,xe(-0,-2]U[2,+0 故答案为：f(x)=x2-2,，xe-0,-2]U[2,+0）. 【题型2】待定系数法求函数解析式 试卷第1页，共3页 2x-15 12. 11 例题1.已知f(x)是一次函数，且f(-2)=-1,f(0)+f(2)=10,则f(x)的解析式为 【详解】由题意可设∫(x)=kx+b,所以f(-2)=-2k+b=-1,f(0)+f(2)=b+2k+b=10, 解之得k=2,b=3,即f(x)=2x+3 故答案为：∫x)=2x+3 【针对训练】 1.若一次函数f(x)满足f[f(x]=9x+1,求f(x)的函数解析式. 【详解】由题意设∫(x)=ax+b(a≠0)， wf[f(x)]=a(ax+b)+b=a'x+ab+b=9x+1, a2=9 所以 ab+b=1' [a=3「a=-3 解得，1或 1, b= b=- 4 2 所以f(x的函数解析式为fx)=3x+或f()=-3x- 2 2.已知二次函数∫(x)满足：f(O)=0,f(x+1)-f(x)=2x-3.求二次函数f(x)的解析式； 【详解】设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=0,得c=0,则f(x)=ax2+bx; 由f(x+1)-f(x)=2x-3,得a(x+1)2+b(x+1)-(ax2+bx)=2x-3, 2a=2 即2ax+a+b=2x-3,因此 a+b=-3’解得a=1,b=-4, 所以二次函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x 3.已知一次函数f(x)满足f(f(x)=x+3.求f(x)的解析式； 【详解】设f(x)=ax+b(a≠0)， f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a'x+ab+b=x+3, a2=1 a=1 故有 (ab+b=3' 解得 3， b=- 试卷第1页，共3页 故f(x)=x+。 '2 4.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2,f(x)-f(x-1=2x+3.求f(x) 【详解】设fx)=ax2+bx+ca≠0)，因为f(0)=2,所以c=2, f(x)-f(x-1)=ax2+bx+c-a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax-a+b, 2a=2 a=1 又f(x-fx-1=2x+3,所以 -a+b=3’解得 b=4 所以fx)=x2+4x+2; 【题型3】己知(g()的解析式求f(x)的解析式（换元法） 例题1.己知函数f(x)满足fx+3)=x2-13,则f(x)=() A.x2-6x-4 B.x2+6x-4 C.x2-6x-22 D.x2+3x-4 【详解】令1=x+3,则x=1-3,所以f(t)=t-3)-13=2-6t-4, 则fx=x2-6x-4. 【针对训练】 1.已知f2x+1)=1,则f= 【详解】令2x+1=1,得x= 2， 且由题意知x≠0，则t≠1 故f0=2 ~1’1￥1 ·f)=2 7r1). 散答案为： 2.已知函数f(x)满足(x-2f1-x)=x,则f(1= 【详解】x用1-x替换得：∫(1-x)-2f(x=1-x, f(x)-2f1-x)=x,① f(1-x)-2f(x)=1-x,②' 试卷第1页，共3页 ①+2×②，可得-3f(x=x+2(1-x=-x+2, 12 解得f(=3-3 W 故等案为弓 3.若函数f(x)满足f(2x-1=x2,求函数f(x的解析式 【详解们题意12-=.令1=-1，则x=兮.得/0-生，故 【题型4】解方程组法求函数解析式 例题1.定义在-0U0上的压数满定26+是，则4到的值 为() A.4 B.5 C.6 D.8 【】因为-+是0 1 ①2-@得3=3r+是.所以=+兰所以4=4+1=5 【针对训练】 1.已知函数f(x满足f(x)+2f 但)=7x+子，则右区同可的最小位是 【详解】医为函数y满是/到+2（日=7x+,所以日+2-+5x, 所以2日4=14+10r,所以31=3x+9 9 即x=√3∈[1,5时等号成立，f(x)在区间山，的最小值是25 2.已知函数f(x)满足f(x)+3f =4x+4,则f()的解析式为 试卷第1页，共3页 【详解】医为f+3/)=4+。 所以 ,所以f(x)=x+ 4 则的解折式为f=+xea0uQo 1 故答案为：f()=x+x∈(-o,0)U(0,+o) 3.已知函数f(x)满足3f(x+2f-x=x+3,求f(x的解析式 【详解】由3f(x+2f(-x)=x+3,用-x代替x得3(-x)+2f(x=-x+3, [3f(x)+2f-x)=x+3 ，3 3/-x+2=-x+3”消去f-得=+号 所以到的解折式为八到=x+号 【题型5】利用函数的奇偶性求解析式 例题1.设奇函数fx)的定义域为R,当x≥0时，f(x=x(1+x),则当x<0时，f(x)= () A.x(1+x) B.x(x-1) C.x(1-x) D.-x(1+x】 【详解】当x<0时，-x>0, 由奇函数的定义可得f(x=-f(-x=-[(-x1+(-x)]=x(1-x) 【针对训练】 1.已知偶函数f(x)的定义域为R,且当x≥0时，f(x)=x2-2x+3,当x<0, f(x)= 【详解】当x<0时，-x>0,而∫(x是偶函数， 所以fx)=f-x)=(-x)2-2(-x+3=x2+2x+3. 试卷第1页，共3页 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时f(x)=-x2-2x,则当x>0时， f(x)= 【详解】当x≤0时f(x)=-x2-2x, 若x>0,则-x<0,则f(-x=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x, 因函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)=f(-x)=-x2+2x, 故当x>0时，f(x=-x2+2x. 3.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，fx)=x2-3x;则当x>0时， f(x)= 【详解】当x>0时，则-x<0,.f(-x)=（-x)-3(-x=x2+3x, 又f(-x)=-f(x),所以f(x=-x2-3x 4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-3x+4,则f(x)的解 析式是 【详解】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0; 因为当x>0时，fx)=x2-3x+4; 所以当x<0时，-x>0,所以f-x)=x2+3x+4: 因为fx)=-f-x=-x2-3x-4; [x2-3x+4,x>0 所以f(x)的解析式是f(x)=0,x=0 -x2-3x-4,x<0 5.已知f(x是定义域为R的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x-x2.求函数f(x)的解析式； 【详解】当x<0时，-x>0,.f(-x)=-2x-x2; :fx)为定义在R上的奇函数，：当x<0时，f(x)=-f(-x)=2x+x2; 2x-x2,x≥0 综上所述：∫(x)= 2x+x2,x<0 试卷第1页，共3页 6.已知函数f(x是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x=-x3+3x+2. 求f(x的解析式： 【详解】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0, 因为当x<0时，fx)=-x3+3x+2, 所以当x>0时，有-x<0,得f(-x=-(-x)3+3-x+2=x3-3x+2, 又因为f(x是奇函数，所以当x>0时，∫(x=-f(-x)=-x3+3x-2, -x3+3x+2,x<0 故f(x={0,x=0 -x3+3x-2,x>0 8.已知f(x是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x=2x+2025 求函数f(x的解析式： 【详解】(1)：∫(x)是定义在R上的奇函数， f(0)=0, 当x<0时，-x>0,则f-x=-2x+2025,:fx是奇函数， ·f(-x)=-∫(x,故fx=-f(-x=2x-2025, [2x-2025,x<0 ∴f(x)=0,x=0 2x+2025,x>0 9巴知奇西数儿到的定义城为R。当0，八到兴求到的解行式 【详解】奇函数国的定义越为R,当s0时，小 当x>0时，-x<0,则-对=-3x=3x=-x, -x-1x+1 3x +,则f= 所以fx)=-3 1rs0 3x x+1r>0 10.已知函数y=∫(x)(x∈R)是偶函数.当x≥0时，f(x)=x2-2x 试卷第1页，共3页 求函数f(x)的解析式： 【详解】设x<0,则-x>0,可得f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, 又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)=x2+2x, [x2-2x,x≥0 故f(x)= x2+2x,x<0 X=-1 试卷第1页，共3页第06讲求函数的解析式 【题型1】配凑法求函数解析式 例题1.己知函数f(x-1)=2x-14,则∫(x=() A.2x-12 B.2x-16 C.2x-13 D.2x-15 【针对训练】 1.已知函数fN-2=x-4F+5,则f(x)的解析式为 2若+=++4，则f(9)《 A.15 B.136 C.88 9 D.11 3.已知f +·则的解折式 【题型2】待定系数法求函数解析式 例题1.已知f(x)是一次函数，且f(-2)=-1,f(0)+f(2)=10,则f(x)的解析式为 【针对训练】 1.若一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+1,求fx)的函数解析式。 2.己知二次函数f(x)满足：f(0)=0,f(x+I)-f(x)=2x-3.求二次函数f(x)的解析式； 3.已知一次函数f(x)满足f(f(x)=x+3.求∫(x)的解析式： 4.己知fx)是二次函数，且满足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+3.求fx) 试卷第1页，共3页 【题型3】己知f(g()的解析式求f(x)的解析式（换元法） 例题1.己知函数f(x满足f(x+3)=x2-13,则f(x)=() A.x2-6x-4 B.x2+6x-4 C.x2-6x-22 D.x2+3x-4 【针对训练】 1.已知f2x+)=1,则f)=一 2.己知函数f(x)满足∫x)-2∫1-x=x,则f1=」 3.若函数f(x满足f(2x-1=x2,求函数fx的解析式. 【题型4】解方程组法求函数解析式 例题1.定义在-m,01U0,+上的函数fx)满足26x+?,则f4的值 为() A.4 B.5 C.6 D.8 【针对训练】 1.已知函数倒满足+2日)7x+,则/小到在区同L,可的最小值是 2.已知函数到满足/)+3/日)=4+，则)的解析式为 3.已知函数fx)满足3f(x+2f(-x)=x+3,求fx)的解析式 试卷第1页，共3页 【题型5】利用函数的奇偶性求解析式 例题1.设奇函数f(x的定义域为R,当x≥0时，fx)=x1+x,则当x<0时，fx)= () A.x(1+x) B.x(x-1) C.x(1-x) D.-x(1+x 【针对训练】 1.己知偶函数f(x的定义域为R,且当x≥0时，f(x)=x2-2x+3,当x<0, fx)=一 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时f(x=-x2-2x,则当x>0时， f(x)= 3.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，fx)=x2-3x;则当x>0时， f(x)= 4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-3x+4,则f(x)的解 析式是」 5.己知f(x是定义域为R的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x-x2求函数f(x)的解析式： 6.已知函数∫(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=-x3+3x+2. 试卷第1页，共3页 求f(x的解析式； 8.己知f(x是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx)=2xr+2025. 求函数f(x的解析式： 9.卫知奇函数到的定义线为R。当：≤0时，二求的解新式 10.已知函数y=f(x)(xeR)是偶函数.当x≥0时，f(x)=x2-2x 求函数∫(x)的解析式： 试卷第1页，共3页