2025-2026学年南京市鼓楼区高一上学期数学期末复习模拟练习卷

2025-2026学年高一上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C A C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，即，解得或， 所以集合. （2）当：是：的必要不充分条件，可知且， 由题意得，即， 当时，可得，因为， 当时，可得，此时，； 当时，可得，符合条件； 当时，可得，此时符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. 16．（15分） 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 17．（15分） 【详解】（1），定义域为，， 当时，，当时，为偶函数； 当时，， 当时，为奇函数； 当时，，， 当时，为非奇非偶函数. （2）当时，，， 任取,且有， ， ， ，，即， ，在上单调递增， ，， 又当时，，， 在上单调递增，，整理得：， 不等式在上恒成立， ∴，解得：. （3），，解得：，， ， 令，为增函数， ∵，∴， 令，， 若，当时，，∴； 若时，当时，，解得：（舍去）， 综上，． 18．（17分） 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得． 又由函数为奇函数，可得， 所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的对称轴为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象， 如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，， ，， 即，， ，， 解得：，，，， 所以． 19．（17分） 【详解】（1）是“上侧函数”，，且当，时，， 不是“上侧函数”，，不存在x，使得． （2）， 易知单调递增，当时，， 单调递增，当，即当时，，且恒成立， 可，即． （i）当时， ， 令，由，得， 上式化为， 当且仅当时等号成立，故最大值为． （ii）不存在，理由如下： 若，则，， 当时，，可得， 当时，，，可得． 对于任意的正整数k，当时，， ，，， ， 且当时，， 即对于任意的，不存在，，使得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期末复习模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019必修第一册全册内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用．但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害．经测定，刚下课时，教室内空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到至少需要（    ） （参考数据：） A．18分钟 B．13分钟 C．11分钟 D．10分钟 6．已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 11．已知函数，是定义在上的连续函数，，对任意，，都有成立，则 A．是偶函数 B． C．是周期函数 D．不等式有解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为 ． 13．已知为奇函数，若，则的取值范围为 ． 14．设m为正实数，若实数是关于x的方程的解，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设集合，集合. (1)求集合； (2)若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 17．（15分） 已知 (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，，函数在上的最小值为，求实数的值． 18．（17分） 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 19．（17分） 已知函数的定义域为D，并满足以下条件： ①，； ②，， 则称函数为“上侧函数” 已知，（是自然对数的底数）． (1)判断，是否为“上侧函数”，并说明理由； (2)若函数是“上侧函数”． （i）当时，求的最大值； （ii）若，是否存在正整数k，满足：对于任意的，总存在，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（参考不等式：） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期期末复习模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】由题， 由，解得， 可得，故. 故选：B． 2．下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项. 【详解】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为，从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 3．“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断和（）之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】当时，有， 当时，， 故是（）的必要非充分条件. 故选：B. 4．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 5．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用．但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害．经测定，刚下课时，教室内空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到至少需要（    ） （参考数据：） A．18分钟 B．13分钟 C．11分钟 D．10分钟 【答案】A 【分析】根据初始条件，先求出，得函数模型解析式，再代入，利用对数的运算性质计算即可得解. 【详解】依题意，当时，，即， 解得，则． 由，得，即， 两边取自然对数，得， 故， 所以降至需要至少18分钟． 故选：A． 6．已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 7．当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】将两个曲线交点转化为等式，用三角恒等变换进行化简，分析对应角度的范围，结合周期与函数性质确定交点个数. 【详解】由题意得，令，化简得 ， ，，令，则， 正切函数的周期为，区间的长度为，包含三个完整的周期， 又正切函数在每个周期内为单调递增函数，在每个周期内有且仅有一个解，故三个周期有个解， 故选：. 8．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，结合一次函数、对数函数的性质可得，进而得到，再结合基本不等式分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由于函数在上单调递增，且零点为， 函数在上单调递减，且零点为， 要使不等式恒成立， 则，即， 所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上所述，的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可判断A；利用基本不等式可逐项判断BCD. 【详解】对于选项A：当时，则不成立，故A选项错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，即，故B选项正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立，则，故C选项错误； 对于选项D：， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 于是，即，故D选项正确. 故选：BD 10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确. 故选：ACD． 11．已知函数，是定义在上的连续函数，，对任意，，都有成立，则 A．是偶函数 B． C．是周期函数 D．不等式有解 【答案】AB 【分析】令得到，令得到令，再由偶函数的性质可得A正确；令可得，，再令可得B正确；举反例令可得C错误；设由余弦函数的最值可得D错误. 【详解】对于A，令，则， 又，所以， 令，则，即， 则，故A正确； 对于B，由A可得， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故B正确； 对于C，举反例，令， 赋值令可得，即， 所以，不是周期函数，故C错误； 对于D，设，符合函数是定义在上的连续函数，， 由令得到，此时不等式无解，故D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13．已知为奇函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据函数为奇函数求的值，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为为奇函数，所以，即 解得，即． 又等价于， 易知函数在上单调递增，所以，解得． 故答案为： 14．设m为正实数，若实数是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此化简求值即可. 【详解】由得，即， 设，则在上单调递增， 则由可得，所以， 而实数是关于x的方程的解，即， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合，集合. (1)求集合； (2)若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，直接求出结果即可. （2）根据必要不充分条件的概念，判断集合间的包含关系，列出等式，进而求出结果. 【详解】（1）由题意得，即，解得或， 所以集合. （2）当：是：的必要不充分条件，可知且， 由题意得，即， 当时，可得，因为， 当时，可得，此时，； 当时，可得，符合条件； 当时，可得，此时符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. 16．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 17．已知 (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，，函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)时，为偶函数；时，为奇函数；，为非奇非偶函数.理由见解析． (2) (3)． 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断即可. （2）当时，为奇函数，并且是增函数，将转化为在上恒成立问题，计算即可. （3）由，求出，则，令，利用换元法构造函数，分类讨论求最小值即可. 【详解】（1），定义域为，， 当时，，当时，为偶函数； 当时，， 当时，为奇函数； 当时，，， 当时，为非奇非偶函数. （2）当时，，， 任取,且有， ， ， ，，即， ，在上单调递增， ，， 又当时，，， 在上单调递增，，整理得：， 不等式在上恒成立， ∴，解得：. （3），，解得：，， ， 令，为增函数， ∵，∴， 令，， 若，当时，，∴； 若时，当时，，解得：（舍去）， 综上，． 18．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)，对称轴为 (2) (3)， 【分析】（1）先由相邻对称轴距离得周期，求出；再利用奇函数性质求出，得到解析式；最后令正弦函数取最值，求出对称轴. （2）通过平移、伸缩变换得到的解析式，结合的范围确定内层函数的范围，进而求出的值域. （3）将方程转化为正弦方程，结合的范围确定根的个数；再利用正弦函数的对称性，求出各根之和的表达式并计算结果. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得． 又由函数为奇函数，可得， 所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的对称轴为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象， 如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，， ，， 即，， ，， 解得：，，，， 所以． 19．已知函数的定义域为D，并满足以下条件： ①，； ②，， 则称函数为“上侧函数” 已知，（是自然对数的底数）． (1)判断，是否为“上侧函数”，并说明理由； (2)若函数是“上侧函数”． （i）当时，求的最大值； （ii）若，是否存在正整数k，满足：对于任意的，总存在，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（参考不等式：） 【答案】(1)是“上侧函数”，不是“上侧函数”，理由见解析； (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“上侧函数”函数定义分析即可判断； （2）先根据“上侧函数”的定义和函数的结构特征得到（i）利用转化为，接着令将其化为，再利用基本不等式即可求解； （ii）分析时，对于任意的正整数k，当时，即可得证. 【详解】（1）是“上侧函数”，，且当，时，， 不是“上侧函数”，，不存在x，使得． （2）， 易知单调递增，当时，， 单调递增，当，即当时，，且恒成立， 可，即． （i）当时， ， 令，由，得， 上式化为， 当且仅当时等号成立，故最大值为． （ii）不存在，理由如下： 若，则，， 当时，，可得， 当时，，，可得． 对于任意的正整数k，当时，， ，，， ， 且当时，， 即对于任意的，不存在，，使得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $