第24章 数据的分析 学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第24章数据的分析 24.1数据的集中趋势 第一课时24.1.1平均数 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解平均数的概念，会计算平均数；2.了解加权平均数，会计算加权平均数. (二)过程与方法：1.初步经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力；2.根据有关平均数的问题的解决，培养学生的判断能力. (三)情感态度与价值观：通过解诀身边的实际问题，让学生体会数学来源于生活，培养学生学数学用数学的好习惯. 二、教学重点、难点 重点：知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数. 难点：理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题. 三、教学过程 忆一忆 日常生活中，我们常用__________表示一组数据的“平均水平”. 一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1+x2+…+xn) 叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做x(读作x拔) 算一算 求下列各组数据的平均数： (1)已知数据：4，6，8； (2)已知数据：3，3，5，5，5，6，6，6，6. 解：(1)；(2) . 问题：对于第(2)小题有没有不同的求解过程？ 问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩(百分制)如下： (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 解：(1)甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ “重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”. 解：(2)甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙.上述问题(1)是利用平均数的公式计算平均成绩，其中的每个数据被认为同等重要.而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权，相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数. 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数. 权的英文是weight，有表示数据重要程度的意思. 思考 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题中的(1)(2)相比较，你能体会到权的作用吗？ 解：甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. 例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分.各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制).进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，请确定两人的名次. 解：选手A的最后得分是 选手B的最后得分是 由上可知选手B获得第一名，选手A获得第二名. 例1中两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？从中你能体会到权的作用吗？ 练习 1.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示： (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 解：(1)甲的平均成绩为：，乙的平均成绩为： 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. (2)甲的平均成绩为：， 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙. 2.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩(百分制)依次是95分、90分、85分.小桐这学期的体育成绩是多少？ 解：小桐这学期的体育成绩为：(分) 答：小桐这学期的体育成绩为88.5分. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、已知样本x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是（ ） A. 2 B. 2.75 C. 3 D. 5 2、某电视台举办青年歌手演唱大赛，7位评委给1号选手的评分如下： 9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4 按规定，去掉一个最高分和一个最低分后，将其余得分的平均数作为选手的最后得分．那么，1号选手的最后得分是 分． 3、某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了10个成熟的西瓜，称重如下： 西瓜质量(单位：千克) 5．5 5．4 5．0 4．9 4．6 4．3 西瓜个数(单位：个) 1 2 3 2 1 1 （1） 这10个西瓜的平均质量是 千克. （2） 根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是 千克. 第2课时：平均数(2) 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.熟练对加权平均数的运用； 2.会根据频数分布表求加权平均数，解决一些实际问题； 3.会根据样本平均数估计数据总体的集中趋势. (二)过程与方法：通过用样本估计总体的方法，结合具体实例，进一步学习用样本平均数估计总体平均数的方法. (三)情感态度与价值观：在解诀问题的过程中，让学生感受到数学的实用性，体会数学在日常生活中的应用价值，建立学好数学的自信心. 二、教学重点、难点 重点：掌握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法. 难点：在实际情景中会用样本平均数去估计总体平均数、体会样本代表性的重要意义. 三、教学过程 忆一忆 数名射击运动员第一轮比赛成绩如下表所示，求他们本轮比赛的平均成绩是多少环. 解： 答：他们本轮比赛的平均成绩是8.1环. 在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么n这个数的平均数也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权. 例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数). 解：这个跳水队运动员的平均年龄为 (岁) 答：这个跳水队运动员的平均年龄为14岁. 探究 为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表.这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少(结果取整数)？ 数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.例如，小组1≤x＜21的组中值为. 例如在1≤x＜21之间的载客量近似地看作组中值11，组中值11的权是它的频数3.因此这天5路公共汽车平均每班的载客量是 (人) 某灯泡厂要测量一批灯泡的使用寿命，请问该工厂要采取什么方法较好？为什么？抽样调查 当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数. 例3 灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命如下表所示.这批灯泡的平均使用寿命是多少？ 分析：抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本.可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命. 解：根据上表，可以得出各小组的组中值，于是 ，即样本平均数为1672. 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672小时. 练习 1.下表是校女子排球队队员的年龄分布. 求校女子排球队队员的平均年龄(结果取整数，可以使用计算器). 解：该校女子排球队队员的平均年龄为 (岁) 答：该校女子排球队队员的平均年龄大约为15岁. 2.为了绿化环境，柳萌街引进一批法国梧桐.三年后这些树的树干的周长情况如右图所示.计算这批法国梧桐树干的平均周长(结果取整数，可以使用计算器). 解：根据右图，可以得出各小组的组中值，于是 答：这批法国梧桐树干的平均周长约为64cm. 3.种菜能手李大叔种植了一批新品种黄瓜.为了考察这种黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上长出的黄瓜根数，得到右面的条形图.请估计这个新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜(结果取整数). 解：根据右图，可以得到样本的平均数 答：估计这个新品种黄瓜平均每株大约结13根黄瓜. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三名候选人的素质测试成绩： 素质测试 测试成绩 小赵 小钱 小孙 计 算 机 70 90 65 商品知识 50 75 55 语 言 80 35 80 公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重4、3、2，三人中 将被录用. 2、数学老师布置了10道计算题作为课堂练习，小明将全班同学的解题情况绘成了下面的条形统计图．根据图表，求平均每个学生做对了几道题？ 第3课时：24.1.2中位数和众数(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.使学生认知众数、中位数的意义；2.会求一组数据的众数、中位数. (二)过程与方法：让学生接触并解诀一些社会生活中的问题，培养学生的数学应用意识和创新意识，在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力. (三)情感态度与价值观：通过生活中的事例，提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：会求一组数据的中位数和众数. 难点：会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策. 三、教学过程 忆一忆 数据10、12、8、10的平均数是____，若将最后一个数改为1010，则这组数的平均数是_____. 作为描述数据平均水平的统计量，平均数广泛应用于生活实际中，例如我们经常听到诸如“居民人均收入”“人均住房面积”“人均拥有绿地面积”等术语.但如果我们不了解平均数的特点，数据分析得到的结论就会出现偏差，出现平均数偏离绝大多数数据很多，大多数数据“被平均”的情况. 问题2 下表是某公司员工月收入的资料. (1)计算这个公司员工月收入的平均数； (元) (2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？ 不合适，因为平均数远远大于绝大多数人(22人)的实际月工资，绝大多数人“被平均”. “平均数”和“中等水平”谁更合理地反映了该公司绝大部分员工的月工资水平？这个问题中，中等水平的含义是什么？ 一半人月工资高于该数值，另一半人月工资低于该数值；中等水平的含义是中位数. 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数. 例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由大到小排列，得到的中位数为3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元. 思考 上述问题中公司员工月收入的平均数为什么比中位数高得多呢？ 如果一组数据中有极端数据，则中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平. 想一想 如果小张是该公司的一名普通员工，那么你认为他的月工资有可能是多少元？ 如果小李想到该公司应聘一名普通员工岗位，他最关注的是什么信息？ 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数. 当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好反映其集中趋势. 问题2中公司员工收入的众数为3000，这说明公司中月收入3000元的员工人数最多.如果应聘公司的普通员工一职，这个众数能指供更为有用的信息. 例4 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间(单位:min)如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 (1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少？ (2)一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？ 解：(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列：24，129，136，140，145，146，148，154， 158，165，175，180. 这组数据的中位数为处于中间的两个数146、148的平均数，即 (146+148)÷2=147 因此样本数据的中位数是147. (2)根据(1)中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于147min，有一半选手的成绩慢于147min.这名选手的成绩是142min，快于中位数147min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 根据例4中的样本数据，你还有其他方法评价(2)中这名选手在这次比赛中的表现吗？ 例5 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 解：由上表可以看出，在鞋的尺码组成的一组数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5cm的鞋销售量最大.因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋. 分析表中的数据，你还能为鞋店进货提出哪些建议？ 练习 1.下面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况. 请找出这些工人日加工零件数的的中位数，并说明这个中位数的意义. 分析：共36个数据，中间位置是第18个与第19个的平均数，这两个数据都是6，因而中位数是6. 2.下面的扇形图描述了某种运动服的S号、M号、L号、XL号、XXL号在一家商场的销售情况.请你为这家商场提出进货建议. 3.某校男子足球队的年龄分布如上面的条形图所示.请找出这些年龄的平均数、众数、中位数，并解释它们的意义. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况(单位：箱) 1月 2月 3月 4月 5月 6月 甲商场 450 440 480 420 576 550 乙商场 480 440 470 490 520 516 根据以上信息可知（ ） A．甲比乙的月平均销售量大 B．甲比乙的月平均销售量小 C．甲比乙的销售稳定 D．乙比甲的销售稳定 2、为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A．中位数 　 B．平均数 C．众数 D．加权平均数 3、已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的（ ） A．平均数但不是中位数 B.平均数也是中位数 C．众数 D. 中位数但不是平均数 4、某地连续九天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 22 23 24 25 天数 1 2 2 4 则这组数据的中位数与众数分别是（ ） A 24、25 B 24.5、25 C 25、24 D 23.5、24 5、一段时间内，鞋店老板为了了解某品牌女鞋的销售情况，对各种尺码的销量进行了统计分析，在“平均数”、“众数”、“方差”等统计量中，店主最关注的统计量是 。 6、数据1，0，－3，2，3，2，－2的中位数是 ，众数是 ． 7、一组数据1，6，x，5，9的平均数是5，那么这组数据的中位数是 8、光明中学八年级（1）班在一次测试中， 某题（满分为5分）的得分情况如右图， 计算这题得分的众数、中位数和平均数. 第4课时：中位数和众数(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表. (二)过程与方法：通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异，能灵活应用这三个数据代表解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过生活中的事例，提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：知道平均数、中位数和众数在描述数据时的差异. 难点：根据具体问题选择适当的统计量来分析数据. 三、教学过程 忆一忆 公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，13，14，15，15，16，17，17，17 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57 (1)甲群游客的平均年龄是____岁，中位数是____岁，众数是_______岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是________________； (2)乙群游客的平均年龄是____岁，中位数是____岁，众数是____岁，其中能较好反映乙群游客年龄特征的是________________. 平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势. 例6 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励. 为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下： 17　18　16　13　24　15　28　26　18　19 22　17　16　19　32 30　16　14　15　26 15　32　23　17　15　15　28　28　16　19 (1)月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？ (2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. (3)如果想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. 确定一个适当的月销售目标是一个关键问题.如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力. 分析：商场服装部统计的每个营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题. 解：整理上面的数据得到下表及下图： 用图表整理和描述样本数据，有助于我们分析数据解决问题. 解：(1)从图表中可以看出，样本数据的众数是15，中位数是18，利用计算器求得这组数据的平均数约是20.可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元. (2)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元(平均数).因为从样本数据看，在平均数、中位数、众数中，平均数最大.可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有三分之一的营业员获得奖励. (3)如果想让一半左右的营业员能够达到目标，月销售额可以定为每月18万元(中位数).因为从样本情况看，月销售额在18万元以上(含18万元)的有16人，占总人数的一半左右. 可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励. 归纳 平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极端值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重现出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响. 你知道在体操比赛评分时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分吗？ 练习 下面是某校八年级(2)班两组女生的体重(单位：kg)： 第1组：　35　36　38　40　42　42　75 第2组：　35　36　38　40　42　42　45 (1)分别求这两组数据的平均数、众数、中位数，解释它们的实际含义(结果取整数)； (2)比较这两组数据的平均数、众数、中位数，谈谈你对它们的认识. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1．小明的爸爸为了解小明这学期在家的作息时间，�随机挑选了某个星期对小明进行了观察，并记录了他娱乐的时间： 单位：min 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 娱乐时间 55 60 70 65 50 240 370 （1）分别计算小明这周内娱乐时间的平均数和中位数； （2）应选中位数和平均数中的哪一个表示小明这一周的一般娱乐时间更好？为什么？ （3）能否用（2）的数据表示本学期小明在家娱乐的一般时间？为什么？ 2．在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天来到城区中心的十字路口，观察、统计上午7：00～12： 00中闯红灯的人次，制作了两个数据统计图（图20-3-4）． （1）求图a提供的五个数据（各时段闯红灯人次）的众数和平均数． （2）估计一个月（按30天计算）上午7：00～12：00在该十字路口闯红灯的未成年人约有_____人次． （3）根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议． 闯红灯人次统计: 闯红灯的人群结构统计: (a) (b) 3．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数，图20-3-5是门票价格统计． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 100 120 100 100 160 230 240 （1）把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接指出这个样本的中位数，�众数和平均数，分析表中数据还可得到一些信息，如双休日参观人数远远高于平时等，�尝试再写出两条相关信息． （2）若“五一”黄金周有甲、乙两旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数 据的中位数，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W元，甲团人数x人．�①求W与x的函数关系式；②若甲团人数不超过100人，说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？ 4．为了配合“八荣入耻”宣传教育，�针对闯红灯现象时有发生的实际情况，八年级某班开展了一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，�他们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查；第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法则，第⑧小组负责收集有关的交通标志，数据汇总如下表所示，并作了车辆（行人）违章的频数条形统计图． 部分时段车流量情况调查表 负责组别 车流总量 每分钟车流量 早晨上学6：00~7：00 ①② 2747 92 中午放学11：20~11：50 ③④ 1449 48 下午放学5：00~5：30 ⑤⑥ 3669 122 回答下列问题： （1）写出2条交通法则：①_________；②________； （2）在下面的方框内，画出2枚交通标志示意图，并说明标志的含义． 标志含义：__________， 标志含义：________． （3）早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是______，这三个时段的车流总量的中位数是_______． （4）观察表中的数据及条形统计图，写出发现的一种现象并分析其产生的原因． （5）通过以上调查、统计、分析，向交通管理部门提一条合理化建议． 第5课时：24.2数据的离散程度(1) 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解方差概念的产生和形成的过程； 2.会用方差的计算公式来比较两组数据的波动大小； 3.用方差对实际问题作出判断. (二)过程与方法：学生通过本节课内容的学习，体会方差的形成过程，感受到方差是一种描述数据离散程度的统计量，并且根据方差的大小对实际问题作出分析，培养学生解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：以学生兴趣引出问题，在学习过程中培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，通过对问题的不断深入探究，培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 二、教学重点、难点 重点：1.掌握方差的定义和计算公式；2.会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小. 难点：理解方差的意义. 三、教学过程 教练的烦恼 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： (1)请分别计算两名选手的平均成绩； (环)，(环) (2)请根据这两名选手的成绩在右图中画出折线统计图； (3)现要挑选一名选手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ 谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7-8)+(8-8)+(8-8)+(8-8)+(9-8)=0 乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10-8)+(6-8)+(10-8)+(6-8)+(8-8)=0 怎么办？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性. 为了刻画一组数据的波动大小，可以采用很多方法.统计中常采用下面的做法：设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2，(x2-)2，…，(xn-)2，我们用这些值的平均数，即用s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”. 方差如何反映数据波动情况呢？结合前面折线统计图及所求方差得出结论. 甲：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2 乙：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16 ， 当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 我们知道，用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性时，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差. 问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表. 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 解：(1)为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面两幅图. (2)甲、乙两个品种在试验田中的产量组成一个样本，算得样本数据的平均数为 ， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计在这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. (3)两组数据的方差分别是 显然＞，即甲种甜玉米的波动大，这与我们从右图看到的结果是一致的. 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种值乙种甜玉米的产量比甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种值乙种甜玉米. 例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位:cm)如下表 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 解：甲、乙两团演员的平均身高分别是 方差分别是 由＜可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 练习 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的. (1) 6　6　6　6　6　6　6 (2) 5　5　6　6　6　7　7 (3) 3　3　4　6　8　9　9 (4) 3　3　3　6　9　9　9 解： 2.如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图.观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差，哪个大？ 解：甲、乙两射击运动员的平均成绩分别是(环)，(环) 方差分别是， 显然＜，即乙射击运动员的射击训练成绩波动大. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 一、填空 1．一组数据同时减去99，得到新数据的平均数是1，方差是11，极差是21，则原数据的平均数是_____；方差是____； 2．已知的平均数10，方差3，则的平均数为 ，方差为 ． 二、选择 3．一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（ ） A．等于a B．不等于a C．大于a D．小于a 其中正确的是（ ） A．（2）（3） B．（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 4．一组数据的平均数是3，方差是2，则另一组数据的平均数与方差分别是（ ） A．3，2 B．15，2 C．15，50 D．3，50 5. 已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S2甲=0．055，�乙组数据的方差 S2乙=0．105，则（ 　 ） A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲组数据与乙组数据波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较 6．小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，�通常新手的成绩不太稳定，那么根据图的信息，估计小张和小李两人中新手是________． 第6课时：数据的离散程度(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：进一步了解方差的求法，应用方差对实际问题做出决策. (二)过程与方法：经历描述一组数据波动大小的统计，应用方差大小对实际问题作出解释，培养学生解决问题能力，在实际问题情境中感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想. (三)情感态度与价值观：通过解决简单的实际问题，使学生形成一定的数据意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：应用方差做决策问题. 难点：综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题. 三、教学过程 忆一忆 方差的计算公式：s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况. 练一练 1.某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出下表(有两个数据被遮盖)： 被遮盖的两个数据依次是( ) A.3℃，2 B.3℃，4 C.4℃，2 D.4℃，4 2.甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉，从它们各自分装的奶粉中随机抽取了10袋，测得它们的实际质量(单位：g)如下： 甲：401 395 408 404 410 406 400 393 392 391 乙：403 404 397 395 402 401 403 395 402 398 哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定？ 解：甲、乙两台包装机包装的奶粉平均质量分别是 它们的方差分别是 由＞可知，乙包装机包装的奶粉质量比较稳定. 例2 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪 家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量如下(单位：g)如下 表.根据表中的数据，你认为快餐公司应选购哪家工厂的鸡腿. 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是 ， 样本数据的方差分别是 由可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由＜可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀. 因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿. 练习 某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员10次测验成绩(单位:m). 你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？ 解：甲、乙两名运动员的平均成绩分别是 ， 它们的方差分别是 由可知，甲、乙两名运动员的平均成绩大至相等；由＜可知，甲的成绩更稳定. 如果要从中选出一人参加市级比赛，历届比赛表明，成绩达到5.92m就能夺冠，你认为应选谁参加比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.08m就能打破记录，你认为又应该选谁参加这次比赛呢？ 解：甲成绩更稳定，如果成绩达到5.92m就能夺冠，应选甲参赛；乙达到6.08m的可能性较大，如果成绩达到6.08m能打破纪录，应选乙参赛. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1．为从甲、乙两名同学中选拔一人进行射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下射靶10次，命中环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？ 2．某市射击队甲、乙两位优秀队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： （1）请填写下表： （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差结合看；（分析谁的成绩好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从平均数和命中9环以上的次数结合看（分析谁的成绩好些）； ④如果省射击队到市射击队靠选拔苗子进行培养，你认为应该选谁？ 能力提升 1.已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是多少？ 2.下表为某班学生成绩的次数分配表.已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，求x2－y的值. 3.已知一组数据x1、x2、…、xn的方差为，求另一组数据5x1－2、5x2－2、…、5xn－2的方差。 学科网（北京）股份有限公司 $