精品解析：四川省泸州市2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试题

高2025级高一年级上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的定义可得. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2. 半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】由题意得，扇形圆心角为弧度，半径为， 故扇形的面积为， 故选：C. 3. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】当时，必然有，故“”可以推出“”； 当时，不一定有，如满足，但不满足，故“”推不出 “”， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，代入化简可得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件。利用函数的奇偶性及零点个数判断即可. 【详解】依题意，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，函数上有3个零点，排除A，C符合要求. 故选：C 7. 已知函数，使成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域及单调性求解. 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 8. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断各函数的单调性，根据零点存在性定理判断的取值范围，从而判断的大小顺序. 【详解】函数的定义域为，且是增函数， 因为， 所以函数的零点在内，即. 函数是定义在上的增函数. 因为， 所以函数的零点在内，即. 函数的定义域为，且是增函数. 因为， 所以函数的零点在内，即. 综上，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用幂函数与指数函数的性质判断BD的真假，利用特例说明AC未必成立. 【详解】对A：取，，则满足，但，故未必成立； 对B：因为函数在上单调递增，所以当时，必有； 对C：取，，则满足，但，故未必成立； 对D：因为函数在上单调递增，所以当时，必有. 故选：BD 10. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正余弦函数、正切函数的性质逐个分析函数的周期和单调性，即可作出判断. 【详解】A：函数周期为，在上，单调递减，故A满足题意； B：函数周期为，故B不满足题意； C：函数周期为，由，，， 所以函数单调递减区间为，. 所以函数在上单调递减，故C满足题意； D：函数的周期为，且， 由，，. 所以函数 单调递减区间为，. 所以函数在上单调递减.故D满足题意. 故选：ACD 11. 给定函数，且，分别用，表示，中的较小者，较大者，记为，．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若直线与的图象有三个不同交点，则 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】用作差法判断的大小，根据的定义，求出，判断A；分别求出，从而得到，判断B；作出的简图，并结合基本不等式，判断C；求出函数的解析式，并求得其值域，判断D. 【详解】对于A，当时，，即，所以，所以A正确； 对于B，且，， ，所以函数均为奇函数. 因为， 所以当时，，即；当时，，即. 所以，. 所以当时，； 当时，.所以B正确 . 对于C，的简图如下： 由B选项得，当，； 当时，单调递增. 所以若直线与的图象有三个不同交点，则.所以C错误. 对于D，由B知，即. 当时，；当时，. 所以函数的值域为.所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数及对数的运算法则化简可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数，则的值域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分别讨论x与的情况，可将函数表达式统一为，进而求解其值域. 【详解】当，则，则有， 当时，，故， 因为，所以，故的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数，若，满足，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象可得，即，且，将转化为关于的函数，可求得其取值范围. 【详解】函数，其简图如下： 若，满足，且， 则，且，即，即，所以. 所以. 令，则在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在上的值域为. 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，． （1）求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义求得可得； （2）由集合，得根据，确定实数a的取值范围． 【小问1详解】 集合，， 所以，， 所以或； 【小问2详解】 集合，集合， 因为，所以. 所以实数a的取值范围是． 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数a的最大值； （2）当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 【答案】（1）2 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求得函数的对称轴，分析其单调性，由在上单调递增，得到实数的取值范围，从而求得实数的最大值； （2）当时．（i）直接求解求不等式，可得其解集；（ii）分析在上的单调性，结合其值域为，求实数m的取值范围． 【小问1详解】 函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若在上单调递增，则，即， 所以实数的最大值为； 【小问2详解】 当时，. （i）令，则，即，解得. 所以不等式的解集为； （ii）易知在上单调递减，在上单调递增，且，. 若在上的值域为，则. 当时，. 在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 若在上的值域为，则，即，即， 解得. 综上所述，实数m的取值范围为． 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 （1）假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； （2）2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，所以可用函数（且）来描述，代入点，求得，即可求得解析式； （2）由题可知，从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，结合（1）中所得解析式，列出相应的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快， 所以可用函数（且）来描述. 代入点，得，解得，. 所以. 2023年的数据，满足， 所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为. 【小问2详解】 设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为； 从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为. 所以，即. 两边取常用对数，得. 因为，， 所以. 所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 18. 已知函数，． （1）求； （2）当时，若，求的值； （3）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，结合的取值范围，可求得的值； （2）由，及，得，结合同角三角函数关系式，即可求得，从而得到； （3）利用三角恒等变换，将转化为，根据基本不等式求得的最小值，从而求得实数a的取值范围．. 【小问1详解】 由，得，即， 所以所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得. 若，则，即. 所以，所以. 因为，所以. 所以. 所以，所以. 【小问3详解】 . 由，得，即， 所以，即 当时，，所以，所以， 所以. 因为， 当且仅当时，即时，即时，等号成立. 所以，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 19. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）解不等式； （3）若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求k的取值范围，并证明：． 【答案】（1） 是奇函数.证明如下： 由，得. 因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为. ， 所以是奇函数. （2） （3） 由（2）知是增函数，所以是增函数. 所以在区间的值域为. 因为为的优美区间，所以. 即方程有两个实数解，分别为，且. 当，即时，方程显然不成立； 当，即时，.即时，方程有唯一解，不合题意； 当且时，有两个实数解， 令，，. 因为是增函数，在上单调递减，所以有两解. 因为当时，，，当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，有两解. 即时，有两个实数解，且. 当时，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，且单调递减，有唯一解，且. 即或时，有唯一实数解，不合题意. 综上所述，k的取值范围是，且． 【解析】 【分析】（1）据题意求得的解析式，根据奇偶性的定义判断并证明； （2）判断函数的单调性，根据单调性将不等式转化为，求解可得； （3）根据优美区间的定义，分析函数的单调性，确定与的关系，并将问题转化为方程有两个实数解，通过分离参数，并利用基本不等式，求得k的取值范围，并证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则. 因为，所以，即； 因为，所以，即，即. 所以函数是增函数. ，得， 所以，即，即. 因为恒成立，所以，解得. 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一年级上学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，使成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 11. 给定函数，且，分别用，表示，中的较小者，较大者，记为，．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若直线与的图象有三个不同交点，则 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_______． 13. 已知函数，则的值域是_______． 14. 已知函数，若，满足，且，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合，． （1）求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数a的最大值； （2）当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 （1）假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； （2）2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 18. 已知函数，． （1）求； （2）当时，若，求的值； （3）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）解不等式； （3）若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求k的取值范围，并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $