精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 函数的驻点是________． 2. 已知数列满足，则__________. 3. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为__________. 4. 若是函数的极值点，则__________. 5. 设为等差数列，若，则__________． 6. 若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 7. 已知直线，，若与平行，则实数的值为______． 8. 已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 9. 设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 10. 设，已知.若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是__________. 11. 设为非零实数.若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是__________. 12. 设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 14. 设，则（ ）. A. B. 0 C. D. 15. 在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ②③ C. ①② D. ①②③ 16. 已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值. 18. 设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 19. 如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. （1）设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过点的直线与交于P、Q两点. （1）若的右焦点为，求的离心率； （2）若为的下顶点，且的面积是的面积的两倍，求的值； （3）设，直线不与坐标轴垂直.设是轴负半轴上的定点，记直线TP、TQ的斜率分别为.试问：是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意给定的，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”. （1）设，直接写出相应的集合； （2）设，证明：“”是“存在实数，使得的-距离不小于1”的充要条件； （3）设的导函数在上严格增.若对任意，均有，且直线与的-距离相等，证明：是偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 函数的驻点是________． 【答案】0 【解析】 【分析】求导，令导函数为0，进而求出驻点. 【详解】，令，解得，故驻点为0. 故答案为：0 2. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】由，所以， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 故答案为：. 3. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再求，最后取极限即可求解. 【详解】令， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 4. 若是函数的极值点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 5. 设为等差数列，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，有，解得， 又． 故答案为：4． 6. 若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到该圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高，再由体积公式可得答案． 【详解】如图底面半径为的圆锥中， 侧面积为， 所以，由勾股定理得， 所以该圆锥的体积． 故答案为：． 7. 已知直线，，若与平行，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行，列出有关的等式和不等式，即可求出实数的值. 【详解】由于与平行，则，即，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，解题时要熟悉两直线平行的等价条件，并根据条件列式求解，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，得到，列出方程，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，所以， 又因为，可得无穷等比数列的和， 整理得，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 9. 设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，在时恒成立，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，若是严格减数列，且， 则在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即的取值范围为. 故答案为：． 10. 设，已知.若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的点乘积，结合圆上点到圆外一定点的距离性质，可得答案. 【详解】设点，由题意可得向量，，则， 若为锐角，则，即， 由表示为原点到圆上点距离的平方，则， 可得，结合题设可得. 故答案为： 11. 设为非零实数.若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，整理可得，换元令，构建，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】由双曲线方程可知焦点为、，结合和均为等腰三角形，推导出中，或，中，或或，再对6种情况逐个讨论，解出符合题意的解即可． 【详解】设双曲线方程为，焦点为、， ，，且因为P在右支上，所以，设点（）， 因为为等腰三角形，即或， 因为为等腰三角形，即或或， 如图所示， 先对如下情况一一讨论， 若，，，解得； 若，，所以， 所以，即，解得， 所以，解得； 若，，根据可得， 又因为，所以，也即，矛盾，故该情况舍去； 若，，可得，矛盾，该情况舍去； 若，，则在中，，， 故可得，代入双曲线方程可得，解得或，由于，所以； 若，，则在中，，矛盾，故该情况舍去； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程直接求准线方程 【详解】因为抛物线的标准方程为：x2=8y，焦点在y轴上； 所以：2p=8，即p=4， 所以：， ∴准线方程 y=-，即y=-2． 故选：A 14. 设，则（ ）. A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. 15. 在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ②③ C. ①② D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，结合图形，对于①，由正方形的边长为，得到正方形的对角线为，故的最大值为；对于②，如图，当正方形的对角线在轴上时，最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，为最小值，从而得到的取值范围；对于③，由于恒成立得解； 【详解】对于①，正方形的边长为，正方形的对角线为，故的最大值为， 故①正确； 对于②，如图，当正方形的对角线在轴上时，此时，， 此时最大为， 当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，此时，，， 此时为最小值. 故的取值范围是，故②正确； 对于③，由于将正方形绕其对角线交点逆时针旋转后与原正方形重合， 所以恒成立，故恒成立，故③正确； 故选：D. 16. 已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以得出数列的项需要满足的条件，从而要使正整数最小，则数列各项应尽可能大，从而可猜测数列的通项公式，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】若存在最小的正整数，使得，则各项应尽可能大. 由题意，且是严格增数列，所以, 故数列的前项和，所以必然大于. 再验证时，存在符合该数列的所有性质，此时是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得. 综上，满足条件的的最小值是. 故选：. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用导数确定函数的单调性，根据单调性得到最值即可． 【小问1详解】 函数定义域为，， ， 曲线在处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， 令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， ， ， 所以，函数在区间上的最大值为． 18. 设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据题意，求得，由时，，两式相减，求得，得出数列的通项公式，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 解：由（1）知：，因为数列满足①， 当时，可得，所以； 当时，②， ①-②可得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，可得； 当时， 当时，可得，所以上式成立， 所以数列的前项和. 19. 如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. （1）设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在三棱柱中，分别延长，，交于点，连接， 如图所示，则即为平面与平面的交线. 因为为棱的中点，，所以是的中点， 又在正中，，所以，所以. 取中点，连接， 因为侧面是菱形，且，所以为正三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面，即平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过延长，可求得平面与平面的交线，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点，结合（1）的结论可以以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，然后求得两个法向量的夹角，再求二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，则易知，由（1）知平面，所以，，两两垂直， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，因为侧面为菱形，且， 所以，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过点的直线与交于P、Q两点. （1）若的右焦点为，求的离心率； （2）若为的下顶点，且的面积是的面积的两倍，求的值； （3）设，直线不与坐标轴垂直.设是轴负半轴上的定点，记直线TP、TQ的斜率分别为.试问：是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标及，求出，即可求解离心率. （2）先求出的面积，然后求出的面积，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而利用三角形面积列出方程求解即得. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，韦达定理，再利用两点式斜率公式及韦达定理求得，根据为定值求解即得. 【小问1详解】 对于椭圆， 因为的右焦点为，所以，所以， 所以的离心率为； 【小问2详解】 椭圆，则， 又，所以的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 直线即，与椭圆方程联立消元y得 ，解得（点Q横坐标）或（点P横坐标）， 则，所以， 结合去掉绝对值得，所以，解得； 【小问3详解】 由知椭圆，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线为，， 由消去得， ，， 则 ， 要使为定值，记，则， 又，解得， 所以存在点，使得为定值. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意给定的，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”. （1）设，直接写出相应的集合； （2）设，证明：“”是“存在实数，使得的-距离不小于1”的充要条件； （3）设的导函数在上严格增.若对任意，均有，且直线与的-距离相等，证明：是偶函数. 【答案】（1） （2） 必要性：要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格增，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是.故必要性成立， 充分性：当时，， 令 ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格增，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故， 由，得，故充分性成立， 故“”是“存在实数，使得的-距离不小于1”的充要条件； （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先推导出，设点为函数图象上的一点，的最小值，令，，结合题中定义推导出，结合的任意性以及函数奇偶性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $