上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 1. 函数的驻点是________． 2. 已知数列满足，则__________. 3. 某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为__________. 4. 若是函数的极值点，则__________. 5. 设为等差数列，若，则__________． 6. 若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 7. 已知直线，，若与平行，则实数的值为______． 8. 已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 9. 设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 10. 设，已知.若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是__________. 11. 设为非零实数.若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是__________. 12. 设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 14. 设，则（ ）. A. B. 0 C. D. 15. 在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ②③ C. ①② D. ①②③ 16. 已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值. 18. 设是公差不为零的等差数列.已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和. 19. 如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. （1）设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过点的直线与交于P、Q两点. （1）若的右焦点为，求的离心率； （2）若为的下顶点，且的面积是的面积的两倍，求的值； （3）设，直线不与坐标轴垂直.设是轴负半轴上的定点，记直线TP、TQ的斜率分别为.试问：是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意给定的，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”. （1）设，直接写出相应的集合； （2）设，证明：“”是“存在实数，使得的-距离不小于1”的充要条件； （3）设的导函数在上严格增.若对任意，均有，且直线与的-距离相等，证明：是偶函数. 海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分） 【1题答案】 【答案】0 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】4 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 在三棱柱中，分别延长，，交于点，连接， 如图所示，则即为平面与平面的交线. 因为为棱的中点，，所以是的中点， 又在正中，，所以，所以. 取中点，连接， 因为侧面是菱形，且，所以为正三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面，即平面. （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【21题答案】 【答案】（1） （2） 必要性：要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格增，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是.故必要性成立， 充分性：当时，， 令 ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格增，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故， 由，得，故充分性成立， 故“”是“存在实数，使得的-距离不小于1”的充要条件； （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $