精品解析：甘肃省兰州市榆中县2025-2026学年上学期九年级数学期末考试卷

2025—2026学年度第一学期期末考试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、单选题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图①，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②，是它的几何示意图，则其三视图中与主视图相同的是（ ） A. 左视图 B. 俯视图 C. 右视图 D. 后视图 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 4. 下列各种现象属于中心投影的是（ ） A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影 C. 上午人走在路上的影子 D. 阳光下旗杆的影子 5. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 7. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 11. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知反比例函数的图象的一支位于第二象限，则常数m的取值范围是____． 13. 已知，且，则的值是_______． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 15. 黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为___________． 三、解答题：（本大题共11个小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程：． 17. 已知代数式，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某校组织全体师生开展了消防演练．为了将演练活动做实做细，学校提前制订了消防演练活动方案，并召开了相关专题会议，对各班撤离路线和各岗位值守老师的职责做了明确的要求，同时在各楼层通道等关键位置设置了疏散引导员，以保障秩序稳定，避免发生踩踏等安全事故．该校决定在七年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙、丙是男老师，丁是女老师． （1）“选取的2位疏散引导员都是女老师”是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． （2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 23. 某动物园根据杠杆原理上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下： 如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为． （1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量； （2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么是关于的什么函数？直接写出函数解析式； （3）当时，求弹簧秤的显示读数；当弹簧秤的显示读数，求． 24. 提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 25. （1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、单选题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图①，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②，是它的几何示意图，则其三视图中与主视图相同的是（ ） A. 左视图 B. 俯视图 C. 右视图 D. 后视图 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，与主视图相同的是左视图， 故选：A． 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列各种现象属于中心投影的是（ ） A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影 C. 上午人走在路上的影子 D. 阳光下旗杆的影子 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意； B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 5. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 6. 古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 8. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，根据题意，乙向东行走距离为，甲先向南走10步，然后斜向北偏东行走，总路程为，故斜行距离为．利用勾股定理建立方程． 【详解】解：设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则乙向东行距离，甲先向南行步，再斜行步与乙会于点． 在中，∵， ∴， 即． 故选：A． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像及性质，首先假设一次函数是正确的，根据一次函数图像判断、的取值情况，再根据、的取值情况判断反比例函数的图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第一、三象限，故A选项正确； B选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数应在第二、四象限，故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故D选项正确； 故选：C． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案． 【详解】解，设与相交于点O，与相交于点． ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长需要缩短． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知反比例函数的图象的一支位于第二象限，则常数m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 根据反比例函数的性质可知，求出解集即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一支位于第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 已知，且，则的值是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 设，则，，，代入求解的值，然后计算的值即可． 【详解】解：设， 则，，， 代入， 得， 即， 解得， 所以， 则． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11个小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 17. 已知代数式，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式A的值比B的值大2， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】略 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某校组织全体师生开展了消防演练．为了将演练活动做实做细，学校提前制订了消防演练活动方案，并召开了相关专题会议，对各班撤离路线和各岗位值守老师的职责做了明确的要求，同时在各楼层通道等关键位置设置了疏散引导员，以保障秩序稳定，避免发生踩踏等安全事故．该校决定在七年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙、丙是男老师，丁是女老师． （1）“选取的2位疏散引导员都是女老师”是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求随机事件的概率，解题的关键是： （1）根据事件的分类判定即可； （2）用树状图或列表法表示出所有的结果数，从中找出被选到的2位老师是一男一女的结果数，利用所求情况数与总数之比求概率即可． 【小问1详解】 解∶∵甲、乙、丙是男老师，丁是女老师， ∴“选取的2位疏散引导员都是女老师”是不可能事件， 故答案为∶ 不可能； 【小问2详解】 解∶画树状图，如下， ∴一共有12种等可能性的结果数，其中被选到的2位老师是一男一女的结果数有6种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】（1） 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． （2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和位似，坐标与图形，熟知轴对称和位似的知识是解题的关键。 （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2可得点的坐标，描出点，再顺次连接点，最后利用割补法求解三角形面积即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）将点坐标分别代入两个解析式得到值即可； （2）将分别代入解析式求出点坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：将代入， 解得， 反比例函数为； 将代入，得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 轴于点， 轴． ， 点的纵坐标为1． 将代入， 解得， ， ， ． 23. 某动物园根据杠杆原理上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下： 如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为． （1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量； （2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么是关于的什么函数？直接写出函数解析式； （3）当时，求弹簧秤的显示读数；当弹簧秤的显示读数，求． 【答案】（1） （2）是关于的反比例函数， （3）， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意是关键． （1）将已知数据代入求解即可； （2）将已知数据代入，整理即可求解； （3）利用（2）中函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将，，代入中， 得，解得， 答：大象的铁笼及其挂钩的总重量为； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴是关于的反比例函数，且； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，由得 24. 提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】解：解决问题：（1）设， ∴原方程变形为，解得，，， 当时，，故舍去； 当时，，解得，，； 综上所示，原方程的解为，． 延伸拓展：（2） ∴， ∴原式变形为， ∴，设， ∴，则，解得，，即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键． 25. （1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ， 又， ． （3） 【解析】 【分析】（1）（1）由，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，即可得证； （2）由已知可得，再根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，，再由对顶角相等，即可得证； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出．证明，得出，求出，由勾股定理求出，则可得出的长． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图（3），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 又， ， 即， ． ， ， ， ． 设，则， ， （负值舍）， ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；（2）①4；② 【解析】 【分析】（1）如图中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上，因此能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上 根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①如下图： ∵ ∴ ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形． ∴ ②如下图： ∵ ∴， ∵四边形MNPQ的面积为8， ∴，即 ∴， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴ 作直线，交x轴于A， ∵ ∴OM=， ∴OE=2， ∵M和P在直线上， ∴∠MOA=45°， ∴△EOA是等腰直角三角形， ∴EA=2， ∴A与N重合，即N在x轴上， 同理可知：Q在y轴上，且 由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定、新定义问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $