第一章《三角形的证明》单元测试卷—2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章《三角形的证明》单元测试卷—2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．在中，，，（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（　　） A．90° B．80° C．60° D．50° 3．已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．7 4．如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为．则可通过得到平分．可判定的方法是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，作AC的中垂线L交BC于点D，连接AD，若AB＝2，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 7．△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 (　　) A．∠C=∠A-∠B B． C．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 D． 8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　 　 ． 10．如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是　 　m. 11．已知命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”。这个命题的逆命题是　 　. 12．如图，在 Rt△ABC中， ，根据图中尺规作图的痕迹，可得 　 　°. 13．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　 　． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F. （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F=30°，BD=4，EC=6，求AC的长. 15．如图，在 中， （1）求证： 为直角三角形； （2）若 的平分线CE交AB于点E， 于点D， 求 的度数. 16．如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N. （1）若 求 的度数. （2）连接NB，若 的周长是14cm. 求BC的长. 17．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． （1）若，求点到的距离； （2）直接写出线段、、存在的数量关系． 18．如图，物流超市在街道和之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，请按以下要求在图中作出物流中转站的具体位置（不写作法，保留作图痕迹）． （1）若中转站修在街道上，且到物流超市的距离相等，请在图中作出中转站的具体位置． （2）若中转站到物流超市的距离相等，且到街道和的距离也相等，请在图中作出中转站的具体位置． 19．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理，如图. （1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得　 　，用分割计算面积得　 　. （2）请尝试验证勾股定理。 20．阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. ×年×月×日 星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个. 第一种情况：已知：如图，AB∥CD，CE是∠ACD的平分线. 求证：△ACE是等腰三角形. 证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD. ∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD， ∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE(依据)，∴△ACE是等腰三角形. 第二种情况：…… 第三种情况：…… （1）上述证明过程中，依据是　 　； （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：在中，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据三角形的内角和定理计算即可； 2．【答案】B 【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：分两种情况： 当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形； 当腰为5时，5+2＞5，所以能构成三角形，周长是：5+5+2=12． 故答案为：A． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD=∠BAC=30°， 由图可知，∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°-30°=60°， 故答案为：A. 【分析】根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，AB=AC，再根据等腰三角形三线合一可知∠CAD=∠BAC=30°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴． 故选：D． 【分析】 由作图过程可知∠PMO=∠PNO=90°，所以△OMP和△ONP是直角三角形。又已知OM=ON，且OP是两个直角三角形的公共斜边。在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，符合“HL”（斜边 - 直角边）全等判定定理。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵直线垂直平分， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 【分析】根据垂直平分线的性质求出DA=DC，然后根据三角形的外角和等边对等角求出AD长，然后根据勾股定理解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 三角形内角和为， 选项A：， 代入， 得， ∴，，能判断直角三角形； 选项B：，即， ∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形； 选项C：设，，， 则，解得， ∴，，，无直角，不能判断直角三角形； 选项D：，，， ∵，， ∴，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形． 故选：C． 【分析】选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，过点P作 垂足为E， ∵OP平分且 故选： B. 【分析】过点P作 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC=3，即可解答. 9．【答案】每一个内角都大于60° 【解析】【解答】解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可. 10．【答案】12 【解析】【解答】解：由题意得，，， ， ，即这棵树原来的高度是12m， 故答案为： 【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。 11．【答案】直角三角形两锐角互余 【解析】【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”. 故答案为：直角三角形的两个锐角互余 . 【分析】把原命题的题设和结论交换位置得到逆命题即可. 12．【答案】50 【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可得BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∵∠C=50°， ∴∠CBD=90°-∠C=40°， ∵∠ABC=90°， ∴ 90°-∠CBD=50°. 故答案为：50. 【分析】由尺规作图痕迹可得BD⊥AC，进而求出∠BDC=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余，可得∠CBD的度数，最后根据角的和差即可得出答案. 13．【答案】 【解析】【解答】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 【分析】 首先过点P作PN⊥OB于点N，因为两把直尺完全相同，所以由直尺的性质可知，从直尺顶点M到OA的距离PM和从点P到OB的距离PN相等（即PM = PN）。又因为PM⊥OA，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可以得出OP平分∠AOB，即∠COP = ∠NOP。然后由于PC和OB是由直尺放置形成的平行关系（PC∥OB），根据两直线平行，内错角相等的性质，可知∠CPO和∠NOP相等。再结合上一步得到的∠COP = ∠NOP，从而推出∠COP = ∠CPO，进而根据等腰三角形等角对等边的性质，可知OC和PC这两条边相等，即OC = PC。最后根据已知点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，那么PC的长度就等于P点的刻度读数减去C点的刻度读数，进而得到OC的长度。 14．【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°， ∴∠F=∠BDE， ∵∠BDE=∠FDA， ∴∠F=∠FDA， ∴AF=AD， ∴△ADF是等腰三角形 （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， ∵∠F=30°， ∴∠BDE=30°，∠B=60°， ∵BD=4， ∴， ∵AB=AC，∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=BE+EC=8 【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知B=C，由互余关系知∠F=∠BDE，即得∠F=∠FDA，知△ADF为等腰三角形； (2)由含30°角的直角三角形的性质知BE的长，由等边三角形的性质可得AC的长. 15．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， 且∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°， ∴2(∠ACD＋∠BCD)＝180°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴△ACB为直角三角形. （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵在Rt△DBC中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－ 60°＝30°， 又∵CE平分∠ACB，且由(1)得：∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝45°－30°＝15°. 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和可得∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°，进而得出∠ACD＋∠BCD＝90°，即可得证； （2）先求出∠BCD的度数，再根据CE平分∠ACB，∠ACB＝90°求出∠ECB的度数，最后根据角的和差即可得出答案. 16．【答案】（1）解：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=70° ∴∠BAC=180°-2×70°=40° ∵MN是AB的垂直平分线 ∴∠AMN=90° ∴∠MNA=180°-∠AMN-∠A=50° （2）解：∵MN是AB的垂直平分线 ∴AN=BN ∴△NBC的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC ∵AB=AC=8cm，△NBC的周长=14cm ∴BC=14-8=6cm 【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=70°，再运用三角形内角和定理求得∠BAC=180°-2×70°=40°，再运用三角形内角和定理进行相关计算即可得到结果； (2)根据线段垂直平分线的性质定理，得AN=BN，进行相关计算即可得到结果. 17．【答案】（1）解：过点P作于E，如图所示： ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点P到的距离是4． （2）解： 【解析】【解答】（2）解：，理由如下： 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【分析】（1）过点P作于E，由平行线的性质推出PD⊥CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，则，又，进而求出； （2）利用“HL”证明，得到，同理可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得到结论． （1）解：过点P作于E，如图所示： ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点P到的距离是4． （2）解：； 证明：由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 18．【答案】（1）解：如图所示，中转站即为所求． （2）解：如图所示，中转站即为所求． 【解析】【分析】(1)本题考察线段垂直平分线的尺规作图及应用，解题的依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。要找到街道n上到A、B距离相等的点，需作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道n的交点，即为满足条件的中转站P。 (2)本题考察角平分线和线段垂直平分线的综合作图，解题需结合两个条件：到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到街道m和n距离相等的点在∠mOn的角平分线上；因此作∠mOn的角平分线，与AB的垂直平分线的交点，即为同时满足两个条件的中转站Q。 （1）解：如图所示，中转站即为所求． （2）解：如图所示，中转站即为所求． 19．【答案】（1）； （2）证明：∵直角梯形ABCD的面积为 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即 【解析】【解答】(1)用整体计算面积：直角梯形ABCD的面积 用分割计算面积：三个直角三角形的面积 故答案为：；； 【分析】(1)分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形ABCD的面积； (2)两种方法表示出的直角梯形ABCD的面积相等，列出等式，整理后证明出 即可. 20．【答案】（1）等角对等边 （2）第二种情况：已知：如题图，△ACE是等腰三角形， AC=AE，CE是∠ACD的平分线. 求证：AB//CD. 第三种情况：已知，如题图，△ACE是等腰三角形 AC=AE，AB//CD. 求证：CE是∠ACD的平分线 选择第二种情况，证明如下： ∵△ACE是等腰三角形，AC=AE， ∴∠AEC=∠ACE， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴ACE=∠ECD，∠AEC=∠ECD， ∴AB//CD， 选择第三种情况，证明如下： ∵AB//CD， ∴∠AEC=∠ECD， ∵△ACE是等腰三角形，AC=AE， ∴∠AEC=∠ACE， ∴∠ACE=∠ECD， ∴CE是∠ACD的平分线， 【解析】【解答】 解：（1）在证明中，由∠AEC=∠ACE推出AC=AE，依据是等角对等边（在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）。 故答案为：等角对等边， 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理，由角的关系推出边的关系的依据是等角对等边； （2）首先明确“二推一模型”的三种组合，第一种是已知平行线和角平分线，求证等腰三角形；则另外两种情况为： 第二种情况：已知△ACE是等腰三角形，CE是∠ACD的平分线，求证AB∥CD； 第三种情况：已知△ACE是等腰三角形，AB∥CD，求证CE是∠ACD的平分线； 确定另外两种情况的已知和求证，再利用平行线性质、角平分线定义、等腰三角形性质或判定进行证明。 学科网（北京）股份有限公司 $