精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题 本试卷分卷I和卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷I 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（ ） A. 93 B. 95 C. 94 D. 96 2. 已知，则的值为（　　　） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法将抛物线化成的形式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2已知最上层与中间层的垂直距离为，中间层与最下层的垂直距离为，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 9. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正五边形内接于，连接，，则（ ） A. B. C. D. 12. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 计算：tan60°﹣cos30°=_____． 14. 二次函数的图象向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到的抛物线解析式为____________． 15. 设直角三角形的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长为________． 16. 如果人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间，如图是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成的爱心图案，点是图案与其对称轴的两个交点，点是图案与坐标轴的交点，且点的坐标为．若点是该图案上一个动点，是点关于直线的对称点，连接MN，则的最大值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“ㅁ”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．卫星太空加油 ㅁ B．华为鸿蒙系统 ㅁ C．的接入 ㅁ D．《哪吒2》层级渲染 ㅁ E．宇树机器人 ㅁ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解“科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查结果统计图回答下列问题： “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ①_____________ ②_____________ 设备检修暂停使用 （1）本次调查所获得的数据中，众数是_____________，补全条形统计图． （2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为_____________． 【做出决策】请合理安排讲座，补全活动日程表： （3）学校有600名学生参加本次活动，请估算其中选择聆听B、D讲座的学生各有多少人． （4）为确保听取讲座的600名学生都有座位，请你合理安排B、D两场报告，补全此次活动日程表． 19. 已知：如图，为的直径，C为上一点，点D在的延长线上，且． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 20. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 21. 在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑”中国多军种军事演习区，如图所示． （1）求圆形区域的面积． （2）某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点测得位于北偏东方向上，同时在观测点测得位于北偏东方向上，求观测点到可疑船的距离，结果保留根号． 22. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱． （1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？ 23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点. （1）若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式； （2）求证：am＋b＝0； （3）若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围. 24. 如图①，已知在平行四边形中，为对角线，于点是边上的动点，以为半径的与边交于点（点在点的右侧），射线与射线交于点． （1）__________________________． （2）当时，求的半径． （3）如图②，连接，当时，求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题 本试卷分卷I和卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷I 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（ ） A. 93 B. 95 C. 94 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，根据平均数计算公式进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小华的数学成绩为93分， 故选；A． 2. 已知，则的值为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，即可求得． 【详解】由题意得 ∴ 故选B 【点睛】本题考查比例的性质，理解比例的性质是解题的关键． 3. 若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象经过的象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二，四象限， ∴， ∴； 故选：． 4. 如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键． 直接根据直线与圆的位置关系得到半径，再逐项判断即可． 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6. 用配方法将抛物线化成的形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式转化，通过配方法将二次函数化为顶点式，取一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵中，一次项系数为，其一半为，平方为4， ∴， 故， 故选：C． 7. 如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2已知最上层与中间层的垂直距离为，中间层与最下层的垂直距离为，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 8. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 9. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 10. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建两条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程-图形面积问题，将图中横纵道路分别平移到矩形底部和右侧，即可得到一个矩形草坪面积为，根据矩形面积公式即可列出方程﹒ 【详解】解：设道路的宽度为，则可列方程为﹒ 故选：C 11. 如图，正五边形内接于，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 12. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 计算：tan60°﹣cos30°=_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可得tan60°﹣cos30°==． 故答案为． 14. 二次函数的图象向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到的抛物线解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律，左右平移时在x处进行“左加右减”，上下平移时在整体函数后“上加下减”． 【详解】解：二次函数的图象向上平移4个单位，得到； 再向右平移3个单位，得到． 故答案为：． 15. 设直角三角形的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理． 根据根与系数关系求出和，再利用完全平方公式求出，最后应用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， 故，， ∴， 故直角三角形的斜边长为． 故答案为：． 16. 如果人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间，如图是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成的爱心图案，点是图案与其对称轴的两个交点，点是图案与坐标轴的交点，且点的坐标为．若点是该图案上一个动点，是点关于直线的对称点，连接MN，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据点横坐标的范围求的最大值． 根据轴对称的性质得到点的对称点点的坐标为，再把点的坐标代入抛物线的解析式中，求出抛物线的解析式，连接、，过点作轴，过点作轴，根据点、是抛物线与直线的交点，求出的取值范围，设点的坐标为，由轴对称的性质可知，点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得：，根据二次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】解：点的坐标为， 由轴对称的性质，可知点的坐标为， 将点的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 如图所示，连接、，过点作轴，过点作轴， 解方程组， 整理可得：， 解得：， 点的横坐标是，点的横坐标是， ∵点在对称轴左边的图象上，点在对称轴左边的图象上， ∴点的坐标为， ， 轴，轴， ， ，， 由轴对称的性质可知：，， 在和中， ， ∴， ，， 点的坐标为， ， 又， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法（配方法、因式分解法）． （1）用配方法，用完全平方公式求解； （2）通过移项、因式分解（提取公因式）将方程转化为两个一次方程，分别求解． 【小问1详解】 解：移项得：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， 或， ，． 18. 为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“ㅁ”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．卫星太空加油 ㅁ B．华为鸿蒙系统 ㅁ C．的接入 ㅁ D．《哪吒2》层级渲染 ㅁ E．宇树机器人 ㅁ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解“科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查结果统计图回答下列问题： “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ①_____________ ②_____________ 设备检修暂停使用 （1）本次调查所获得的数据中，众数是_____________，补全条形统计图． （2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为_____________． 【做出决策】请合理安排讲座，补全活动日程表： （3）学校有600名学生参加本次活动，请估算其中选择聆听B、D讲座的学生各有多少人． （4）为确保听取讲座的600名学生都有座位，请你合理安排B、D两场报告，补全此次活动日程表． 【答案】（1）D；补图如下： （2）； （3）估计聆听B，D讲座的学生各有90人与180人； （4）①B，②D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，条形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据圆心角的计算方法，计算即可． 根据样本估计总体的思想，解答即可． 根据人数结合题意，解答即可． 【详解】解：根据题意，得样本容量为：， 故项目D的人数为：，出现次数最多， 故众数为：D； 解：扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：． 解：选择聆听（人）， 选择聆听（人）； 答：估计聆听讲座的学生各有90人与180人． 解：根据题意，得估计聆听讲座的学生各有90人与180人， 故在 2号多功能厅，在，在 1号汇报厅，安排如下：． “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C B D 设备检修暂停使用 故答案为：①B，②D． 19. 已知：如图，为的直径，C为上一点，点D在的延长线上，且． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：， ， ， ， 为的直径， ， 则， 故， 即， 则， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，弧长的计算，熟练掌握切线的判定及弧长的计算是关键． （1）由，得到，进一步推得，再证明，即得，即可证明结论； （2）分别求出圆心角和半径，即可根据弧长公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， 故， ， 即的半径为10， ． 20. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：代入到，得， ∴反比例函数的解析式为， 代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可知，当或时，， ∴关于x的不等式的解集为或． 21. 在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑”中国多军种军事演习区，如图所示． （1）求圆形区域的面积． （2）某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点测得位于北偏东方向上，同时在观测点测得位于北偏东方向上，求观测点到可疑船的距离，结果保留根号． 【答案】（1）该圆形区域的面积为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，勾股定理，方位角，解直角三角形的应用等知识，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，则，轴，根据直径所对的圆周角是直角可知，即为该圆形区域的直径，利用勾股定理求出，即可得到面积； （2）连接，过点作轴于，由题意得，，设，解直角三角形可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ， ，轴， ， 即为该圆形区域的直径， 在中，由勾股定理得， ∴该圆形区域的面积为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作轴于， 由题意得，， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ． 22. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱． （1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？ 【答案】（1） （2）当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元 （3）超市每天至少销售水果210箱 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系式是关键． （1）根据“售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱”即可得出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=一箱水果所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种水果的每箱售价不得高于65元，且每天获得不低于2030元的利润，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：， ，， 当时，元， 即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元； 【小问3详解】 解：由题意，得， 解得，， 抛物线的开口向下， 当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润， 又， 在中，， 随x的增大而减小， 当时，， 即超市每天至少销售水果210箱． 23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点. （1）若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式； （2）求证：am＋b＝0； （3）若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围. 【答案】（1）y＝－x2＋x＋1； （2）证明：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点， ∴ ①-②，得 2am＋a＋b＝a-b． 整理，得 am＋b＝0； （3）. 【解析】 【分析】（2）把m＝1，a＝－1代入（m＋1，a），（m，b）得(2，－1)，(1，b)，把(2，－1)，(1，b)代入函数解析式，进行解方程组即可； （2）把（m＋1，a），（m，b）代入函数解析式，得到方程组，将方程组进行整理即可； （3）由（2）得的方程组可得：c＝b＝-am．即可得出抛物线解析式为：y＝ax2-amx-am．当x＝1时，得到不等式：a-am-am≥3a，解得 m≥－1． 利用最值得到方程，整理得：．将c＝b＝-am代入，解得：＝＝．进行解答即可． 【详解】解：（1）若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过 (2，-1)，(1，b) 两点， ∴ 解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1． （2）略 （3）由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am． ∴y＝ax2-amx-am． ∵当x＝1时，y≥3a， ∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a， ∵a＜0，∴m≥-1． ∵该二次函数的最大值为， ∴，即．③ 将c＝b＝-am代入③，得， ∴＝＝． ∵m≥-1， ∴≥-3， ∵a＜0 ∴a≤． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的综合运用，准确读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 24. 如图①，已知在平行四边形中，为对角线，于点是边上的动点，以为半径的与边交于点（点在点的右侧），射线与射线交于点． （1）__________________________． （2）当时，求的半径． （3）如图②，连接，当时，求弦的长． 【答案】（1）， （2）的半径为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用勾股定理，得，，解答即可． （2）先证明，根据题意，得，，，根据勾股定理，得． （3）连接交于点，作于点，则，证明四边形是菱形，根据，求得．在根据勾股定理，垂径定理解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，余弦函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故，， 故， 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， 根据题意，得，， ， 根据勾股定理，得． 所以的半径为． 【小问3详解】 解：如图②，连接交于点，作于点，则． ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形是菱形， ， ． 由（1）得， ． 在中， ， ， ． 在中，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $