27.2.2 重难题型专练 三角形内接特殊四边形问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

重难题型专练 三角形 【例】（教材第58页题11） 如右图，一块材料的形状是锐角 三角形ABC,边BC=120mm, B 高AD=80mm.把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个 顶点分别在AB,AC上，这个正方形零件的边 长是多少？ 【解】由四边形EFHG是正方形，AD BC,得EF∥BC,EF=KD,.AD⊥EF, 即AK是△AEF的边EF的高. ,EF∥BC,.△AEFp△ABC, 既“ .'BC=120 mm,AD=80 mm,AK=AD -KD=AD-EF, ..EF_80-EF 120 ,解得EF=48mm. 80 故这个正方形零件的边长是48mm. 【方法指导】解答本题的关键： (1)因为正方形的四个顶，点都在三角形的 边上，所以正方形的一边与三角形的一边平 行，从而得到三角形相似；△ABC的高AD等 于正方形的边长EF与△AEF的高AK之和. (2)方程思想：利用“相似三角形对应高的 比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未 知边放在一个方程中. 题型①三角形内接正方形 1.古代数学文化《九章算术》是我国 古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容 方几何.”其意思为今有直角三角 形，勾（短直角边）长为5步，股（长第1题圈 直角边)长为12步（如图），问该直角三角形 能容纳的正方形边长最大是多少步.该问题 的答案是 步 内接特殊四边形问题 2.如右图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，AC=9,BC =15. DG C (1)求BC边上的高AD的长； (2)正方形的一边FG在BC上，另外两个顶 点E,H分别在边AB,AC上.求正方形EF- GH的边长. 题型②三角形内接矩形 3.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，AC=BC=4.矩形 DEFG的顶点D,E,F分别 在边BC,AC,AB上.若记 D 第3题图 =子，则矩形DEFG面积的最大值为() A.5 C.52 2 D. 下册第二十七章 37企 4.如图，在△ABC中，ADI BC,垂足为D,AD= 5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM 均为正方形，AD,EM交于点P,且点E,F,G, N,M都在△ABC的边上，那么△AEM与四 边形BCME的面积比为 B F D G 第4题图 第5题图 5.如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG 落在边BC上，AD⊥BC.如果BC=3,AD= 2,EF=号EH,那么EH的长为 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC 3.矩形DEFG的顶点D,G分别在边AC, BC上，EF在边AB上. (1)点C到AB的距离为 (2)如图①，若DE=DG,求矩形DEFG的 : 周长； (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8 倍，则矩形DEFG的周长为 图① 图② 38 九年级数学RJ版 7.数学核心素养·推理能 力如右图，在△ABC中， BC=12,AD是BC边上的 B 高，且AD=10,P,N分别 是AB,AC边上的点，Q,M是BC上的点， 连接PQ,MN,PN,PN交AD于点E. (1)若四边形PQMN是矩形，且PQ:PN= 1：2,求PQ,PW的长； (2)若四边形PQMN是矩形，则当矩形 PQMN的面积最大时，求最大面积及PQ, PN的长.27.2.2相似三角形的性质 1.C2.B3.D 4解：AB=15cmAB'=10m=号 ,AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C的中线，△ABCc∽ △AgC0=常=是 又：AD+A'D'=15cm,.AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.B7.308.C9.D10.D11. 12.10变式题313.1：4 14.解：(1)证明：.∠DAC=∠B,∠C=∠C, '.△DACo△ABC. (2)设△DAC的面积为S. .△ABD的面积为15，.△ABC的面积为15十S. 又：△Dac△A,-器-（器）-()= 即石5-子，解得S=5,△DAC的面积为5. 阶段综合训练相似三角形的性质与判定 1.31①2.√583.(1)115°(2)64.113或92°5.1 6.解：：△ADE∽△ACB, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B. AF是∠BAC的平分线，.∠BAF=∠CAF .∠AGD=∠CAF+∠AED,∠AFC=∠BAF+∠B, .∠AGD=∠AFC,∴.△AGD∽△AFC, ÷e-C-号AG6F=21 7.B 8.解：1)设点A(m,6)在y=一之x+4的图象上，则有6= 之m十4，解得m=一4，则点A的坐标为（一4,6）. 将点A的坐标代入反比例函数表达式，得6=乌， 解得k=一24. (2)AC⊥x轴于点C,点A的坐标为（一4,6）， .C(-4,0) 点D在反比例函数的图象上且位于点A左侧且DE⊥x 轴于点E, 如图，作DELx轴，设点D的坐标为Q,一，则点E的坐 标为(a,0), 六EC=-4-a,DE=二24 ①当△CED∽△ACB时， -24 解得a=-6或a=2(舍去)，.D(-6,4); -24 ②当△DBC△ACB时-瓷，即日= -4-a 12 解得a=-2-2√13，a=-2+2√/13（舍去）， .D(-2-2/13,√/13-1). 综上所述，满足条件的D的坐标为（一6,4）或（一2一2√13， /13-1). 9.解：(1)，△BDE由△BAC绕点B逆时针旋转90°得到， ∴·△BDE≌△BAC,∠CBE=90°， .BE=BC=4,DE=AC=2,∠BED=∠C, .∠C=∠BEC=45°，EC=√/BE+BC=√4+4=4V2, ∴.∠BED=45°，EA=EC-AC=4W2-2, 150 九年级数学RJ版AH ..∠DEA=∠BEC+∠BED=45°+45°=90°， ∴△ADE的面积=号DE·EA=号×2X(4E-2)=42-2. (2)证明：由旋转的性质可知，∠DBA=∠EBC=90°，BD BA,.∠ADB=∠BAD=45 :∠BAC=∠AEB+∠ABE=45°+∠ABE,∠AFE= ∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE,∴.∠BAC=∠AFE. :∠C=∠AEF,∴.△ABCn△FAE,F能=A是， AC BC .FE·BC=AE·AC. .BC=BE,∴.FE·BE=AE·AC 10.解：(1)证明：.MB切⊙O于点B,∴.直径QB⊥MB, ∴.∠MBQ=90. BQ是⊙O的直径，∴.∠BPQ=90°，∴.∠BPM=90°， .∠MPB=∠MBQ. ,'∠PMB=∠BMQ,∴.△MBP∽△MQB. (2)如图，连接OA, C是AB的中点， ∴.∠BOD=∠AOD. .OB=OA,.BD⊥OM, ∴.∠MDB=90°， ∴.∠MDB=∠MBO. ,∠BMD=∠BMO,∴.△MBD∽△MOB, ∴.MD:MB=MB:MO,即MB2=MD·MO 由(1)知△MBP△MQB,∴.MB:MQ=MP:MB, .MB2=MP·MQ,.MD·MO=MP·MQ, 器郴兰 重难题型专练三角形内接特殊四边形问题 19 2.解：(1)在Rt△ABC中，AB=√JBC-AC=/152-9=12. SRA=号AB,AC=号BC.AD, AD=AB·AC=12X9_36 BC 15 51 (2)如图，设AD与EH交于点M. 四边形EFGH是正方形， .EH∥BC,.△AEH∽△ABC, ..AM_EH ·ADBC :∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， .四边形EFDM是矩形，∴.EF=DM 36 -x 设正方形EFGH的边长为x,则3S 5 180 后，解得x=37, 5 ÷正方形EFGH的边长为器， 3D41:35号 6.解：1) (2)如图，过点C作CM⊥AB于点M, 交DG于点N.由a)相CM=号 四边形DEFG是矩形， .DG∥AB,.MN=DE,CN⊥DG, ∴△CDGACAB,÷RG6 12 设DE=DG=x则壬亏一X :矩形DEFG的周长为4X号-智 e紧 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. :四边形PQMN是矩形，PN∥BC, ·△APN∽△ABC. ,AD⊥BC,.AD⊥PN, 发-铝即登=10.2解得)只， .P-PN- 2设AE=x由D蜘院-5即登- PN=St,PQ=DE=10- S=号210-)=-9(r-5r+30. ∴.当x=5时，矩形PQMN的面积最大，最大值为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此 时PQ=5,PVN=6. 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.6 3.解：(1)如图①，过点E作EH⊥ CD于点H,交AB于点J,则四 边形EFBJ、四边形EFDH都 是矩形， ..FE-BJ=DH=1.5 m,FB- EJ=2 m,BD=JH=23 m, E .EH=EJ+JH=2+23=25 (m). 图① AB=25m,∴.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). :AJ∥CH,∴.△EAJ∽△ECH, 品-品动-号CH=125m 2 .CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), .大楼的高度CD为14m. (2)如图②，过点E作ET⊥CD 于点T,交AB于点R. AR∥GT, ∴.△AER∽△GET, 器器。 1 ER ∴11.5-1.525 D 图② .ER=2.5m. 2.5-2=0.5(m) .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m 4.C5.5.46.360 7.解：由题意，得∠ABE=∠ACD=90°，∠BAE=∠BAE, ∴△AnEn△ACD,0器，即B器 AB BE .'BC=12 m,BE=10 m,CD=16 m, ÷D-8,解得AB=20m AB 故河宽AB是20m. 解题方法专题作相似三角形的常用辅助线 1.解：如图，过点E作EH∥AC交BD于点H, ÷△BEH△BCD.:器误 .BE=3EC, 器瓷 D是AC的中点，AD=CD, :EH、3 ·AD4 :EH/AD,△AFD△EFH崇-鋁=号 2.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB∥CD,.∠OAE=∠OCF. '∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中，OA=OC, (∠AOE=∠COF, .△AOE≌△COF(ASA),.OE=OF. (2)如图，过点O作ON∥BC交AB于点 N,则△AONc∽△ACB, ..OA_ON_AN ·AcCBTAB1 :.ON-BC-AD-2,AN-BN-7AB-3. .'ON∥BC,.△ONE∽△MBE, 器能即号=3E解得E=1 BE 3.解：如图，延长BA,CD交于点E. .'CM平分∠BCD,CM⊥AB, .MB-ME. :AM=号AB, .'BM=2AM,EM=2AM,..AM=AE, AE=子BE .'AD∥BC,'.△EAD∽△EBC, S△ED=1 S△Bc 1。·.Se运cD—16S⅓人5 S-9,SEw=6Sam=号 1 1 1 S西边形AcD=2SAE一SAEAD=1. 4.解：(1)证明：：∠ACB=90°，∠CAD+∠ADC=90. .CE⊥AD,.∠BCE+∠ADC=90°， .∠CAD=∠BCE. (2)如图，过点E作EF⊥BC于点F, 则∠CFE=90. AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°，.∠BEF =90°-∠B=45°=∠B,.EF=BF. 设BF=x,则EF=x,CF=BC-BF=4-x .∠ACD=90°，∴.∠ACD=∠CFE=90° 由(1)知∠CAD=∠BCE,∴.△ACD∽△CFE, 4 :祭罡即产豆解得1经检验=1是原方 3 程的解且符合题意，∴.BF=EF=1,∴BE=2. 5.证明：(1)BE⊥AC,BF⊥BD, ∴.∠OEB=∠OBF=90° ∠EOB=∠BOF,∴△OBE∽△OFB. (2)如图，作CG⊥BF于点G,则 ∠CGF=∠OBF=90°， D .OB∥CG, .△FCGv△FOB 品部那 .四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O, .0B-OD-BD.(C-0A-TAC.BD-AC, .OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. ,∠OBF=∠BEF=90°， AH下册参考答案 151