27.2.2 相似三角形的性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

27.2.2相似三角形的性质 1.C2.B3.D 4解：AB=15cmAB'=10m=号 ,AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C的中线，△ABCc∽ △AgC0=常=是 又：AD+A'D'=15cm,.AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.B7.308.C9.D10.D11. 12.10变式题313.1：4 14.解：(1)证明：.∠DAC=∠B,∠C=∠C, '.△DACo△ABC. (2)设△DAC的面积为S. .△ABD的面积为15，.△ABC的面积为15十S. 又：△Dac△A,-器-（器）-()= 即石5-子，解得S=5,△DAC的面积为5. 阶段综合训练相似三角形的性质与判定 1.31①2.√583.(1)115°(2)64.113或92°5.1 6.解：：△ADE∽△ACB, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B. AF是∠BAC的平分线，.∠BAF=∠CAF .∠AGD=∠CAF+∠AED,∠AFC=∠BAF+∠B, .∠AGD=∠AFC,∴.△AGD∽△AFC, ÷e-C-号AG6F=21 7.B 8.解：1)设点A(m,6)在y=一之x+4的图象上，则有6= 之m十4，解得m=一4，则点A的坐标为（一4,6）. 将点A的坐标代入反比例函数表达式，得6=乌， 解得k=一24. (2)AC⊥x轴于点C,点A的坐标为（一4,6）， .C(-4,0) 点D在反比例函数的图象上且位于点A左侧且DE⊥x 轴于点E, 如图，作DELx轴，设点D的坐标为Q,一，则点E的坐 标为(a,0), 六EC=-4-a,DE=二24 ①当△CED∽△ACB时， -24 解得a=-6或a=2(舍去)，.D(-6,4); -24 ②当△DBC△ACB时-瓷，即日= -4-a 12 解得a=-2-2√13，a=-2+2√/13（舍去）， .D(-2-2/13,√/13-1). 综上所述，满足条件的D的坐标为（一6,4）或（一2一2√13， /13-1). 9.解：(1)，△BDE由△BAC绕点B逆时针旋转90°得到， ∴·△BDE≌△BAC,∠CBE=90°， .BE=BC=4,DE=AC=2,∠BED=∠C, .∠C=∠BEC=45°，EC=√/BE+BC=√4+4=4V2, ∴.∠BED=45°，EA=EC-AC=4W2-2, 150 九年级数学RJ版AH ..∠DEA=∠BEC+∠BED=45°+45°=90°， ∴△ADE的面积=号DE·EA=号×2X(4E-2)=42-2. (2)证明：由旋转的性质可知，∠DBA=∠EBC=90°，BD BA,.∠ADB=∠BAD=45 :∠BAC=∠AEB+∠ABE=45°+∠ABE,∠AFE= ∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE,∴.∠BAC=∠AFE. :∠C=∠AEF,∴.△ABCn△FAE,F能=A是， AC BC .FE·BC=AE·AC. .BC=BE,∴.FE·BE=AE·AC 10.解：(1)证明：.MB切⊙O于点B,∴.直径QB⊥MB, ∴.∠MBQ=90. BQ是⊙O的直径，∴.∠BPQ=90°，∴.∠BPM=90°， .∠MPB=∠MBQ. ,'∠PMB=∠BMQ,∴.△MBP∽△MQB. (2)如图，连接OA, C是AB的中点， ∴.∠BOD=∠AOD. .OB=OA,.BD⊥OM, ∴.∠MDB=90°， ∴.∠MDB=∠MBO. ,∠BMD=∠BMO,∴.△MBD∽△MOB, ∴.MD:MB=MB:MO,即MB2=MD·MO 由(1)知△MBP△MQB,∴.MB:MQ=MP:MB, .MB2=MP·MQ,.MD·MO=MP·MQ, 器郴兰 重难题型专练三角形内接特殊四边形问题 19 2.解：(1)在Rt△ABC中，AB=√JBC-AC=/152-9=12. SRA=号AB,AC=号BC.AD, AD=AB·AC=12X9_36 BC 15 51 (2)如图，设AD与EH交于点M. 四边形EFGH是正方形， .EH∥BC,.△AEH∽△ABC, ..AM_EH ·ADBC :∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， .四边形EFDM是矩形，∴.EF=DM 36 -x 设正方形EFGH的边长为x,则3S 5 180 后，解得x=37, 5 ÷正方形EFGH的边长为器， 3D41:35号 6.解：1) (2)如图，过点C作CM⊥AB于点M, 交DG于点N.由a)相CM=号 四边形DEFG是矩形， .DG∥AB,.MN=DE,CN⊥DG, ∴△CDGACAB,÷RG6 12 设DE=DG=x则壬亏一X27.2.2 相似 色知识要点扫描 相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的 比等于相似比. (2)相似三角形对应高的比、对应中线的 比和对应角平分线的比都等于相似比、 (3)相似三角形周长的比等于相似比， (4)相似三角形面积的比等于相似比的 平方 经典例题剖析 【例1】如右图，在□ABCD 中，E是边AD的中点，连接BE 并延长交CD的延长线于点F, 则△EDF与△BCF的周长之比 为 A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5 【点拨】.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC且AD=BC,.△EDF∽△BCF. :E是边AD的中点，AD=2ED,ED ·BC B=,·△EDF与△BCF的周长之比为 1:2. 【答案】A 【例2】(2024南昌期末) 如右图，在□ABCD中，点E 在AD上，且AE=2ED,CE 交对角线BD于点F.若S△DEF=2,则S△CF为 A.4 B.6 C.9 D.18 【点拨】.'AE=2ED,点E在AD上， ∴.AD=AE+ED=3ED, 器 四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC,BC=AD, ∴.△EDFp△CBF, 三角形的性质 即帮恐 :S△nEE= ·S△BCF 0-)= SAEDF=2,SABCF=18. 【答案D 基础对点训练 知识点个 相似三角形中对应线段的比等于 相似比 1.(教材第37页探究变式)如果两个相似三角 形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的 比为 () A.2:5B.2:5C.4:5D.16:25 2.若两个相似三角形对应边上的高的比为 2：3,则它们对应角平分线的比为() A.4:9B.2:3C.1:1D.3:2 3.在△ABC中，AB=6,AC=9,D,E分别是 AB,AC上的点，且AD=2.若△ABC和 △ADE相似，则AE的长为 A.5 B.3 c青 D.3或专 4.(教材第39页题2变式)如下图，△ABC∽ △A'BC',AB=15cm,A'B'=10cm,AD和 A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.已 知AD与A'D'的和为15cm,求AD和A'D 的长 下册第二十七章 33△ 知识点② 相似三角形的周长比等于相似比 5.两个相似三角形的周长比为1：2，则其相似 比为 ( ) A.1:1B.1:2C.9:4D.16:81 6.如图，在△ABC中，D是 AB边上的点，∠B= ∠ACD,AC:AB=1:2, 第6题图 则△ADC与△ACB的周 长比是 A.1:√2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 7.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和 3cm,它们的周长之差为12cm,那么大三角 形的周长为 cm 知识点③ 相似三角形的面积比等于相似比的 平方 8.(2024抚州期末)如果两个相似三角形对应 高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比 为 A.3:4 B.4:3 C.916 D.16:9 9.(教材第39页题3变式)在一张复印出来的 纸上，一个三角形的一条边由原来的6cm变 成了3cm,则复印出来的三角形的面积是原 来的 () A.2倍 B C.4倍 D. 10.如图，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD, DA的中点.现随机向四边形ABCD内掷 一枚小针，则针尖落在白色区域内的概率 为 A 1 B.3 2 C. D.3 E 第10题图 第11题图 34 九年级数学RJ版 11.如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB上， △ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中 点若兴则 则SAAC 。 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,=子， △ADE的面积是8，则四边形BCED的面 积为 第12题图 变式题图 变式题如图，在△ABC中，点D在AB上， 点E在AC上，∠ADE=∠C,四边形 DBCE的面积是△ADE面积的3倍.若 DE=1.5,则BC的长为 13.如图，D,E分别是 △ABC的边AB,BC上 的点，且DE∥AC,AE, D CD相交于点O.若BE 第13题图 S△OE:SACOA=1:25,则S△BDE与S△cDE 的比是 14.如下图，D是△ABC的边BC上一点，AB =4,DA=2,∠DAC=∠B,△ABD的面积 为15. (1)求证：△DACp△ABC: (2)求△DAC的面积.