精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

昌吉州2025－2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学测试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm 2cm 3cm B. 6cm 2cm 3cm C. 4cm 6cm 8cm D. 5cm 12cm 6cm 4. 若使分式值为零，则x的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 6. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从年开始通过拆违建绿、拆墙透绿等方式在全城打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用元购买的A种绿植比用元购买的B种绿植少株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 一组有规律排列数：（n为正整数），其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，那么（ ） A. 24 B. C. 31 D. 36 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 11. 分解因式：=______． 12. 如图，点在上，，要使，还要添加一个条件是______． 13. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：________． 14. 已知，则的值为__________. 15. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16 （1）因式分解：； （2）化简：． 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上求作一点P，使得点P到点A、B的距离之和最小． 19. 图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________； （2）观察图2面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； （3）根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积． 20. 如图，在中，， （1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E；用尺规作图，保留痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 21. 如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． （1）证明：； （2）写出、、之间数量关系，并说明理由． 22. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月份售价比三月份每台降价元，如果卖出相同数量的型号手机，那么三月份销售额为元，四月份销售额只有元． （1）三、四月型号手机每台售价各为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划五月份购进型号手机销售，已知型号手机每台进价为元，型号手机每台进价为元，购进这两种手机共台（其中型号手机有台），在销售中决定在四月份手机售价基础上每售出一台型号手机再返还顾客现金元，而型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 23. 问题发现：（1）如图1，在中，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则的数量关系是_______，的数量关系是________． 拓展探究：（2）如图2，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．试求的度数及线段之间的数量关系． 解决问题：（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．试求的度数及线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州2025－2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学测试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方等知识，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：A． ，该选项错误； B． ，该选项正确； C． ，该选项错误； D． 与不是同类型，不能合并，该选项错误； 故选：B． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm 2cm 3cm B. 6cm 2cm 3cm C. 4cm 6cm 8cm D. 5cm 12cm 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】解：A．∵1+2＝3，∴1cm 2cm 3cm不能组成三角形，不符合题意； B．∵3+2＜6，∴6cm 2cm 3cm不能组成三角形，不符合题意； C．∵4+6＞8，∴4cm 6cm 8cm能组成三角形，不符合题意； D．∵5+6＜12，∴5cm 12cm 6cm不能组成三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．再利用三边关系判断三条线段能否构成三角形时，用两条短的线段之和跟另外一条选段进行比较即可． 4. 若使分式的值为零，则x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式值为零需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式值为零， ∴分子且. 解得， 故选：B． 5. 如图，已知，，，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟记全等三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 先由全等三角形性质得到，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， 故选：C 6. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，掌握分式的性质进行化简是解题的关键．通过因式分解进行化简分式，需要注意符号的处理． 【详解】解：原式， 故选D． 7. 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图作角平分线，三角形内角和定理及四边形内角和定理，掌握是角平分线是解题的关键． 由尺规作图可知平分，得到，再由三角形内角和定理及四边形内角和定理求解即可． 【详解】由尺规作图可知，平分， ， ， ， 又， ， 在四边形中， ， ， ． 故选：C． 8. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从年开始通过拆违建绿、拆墙透绿等方式在全城打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用元购买的A种绿植比用元购买的B种绿植少株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确地列出分式方程是解题的关键．设B种绿植单价为x元，则A种绿植单价为3x元，根据购买A种绿植的数量比B种绿植少株，列方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价为x元，则A种绿植单价为3x元， 根据题意列方程为， 故选B． 9. 一组有规律排列的数：（n为正整数），其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，那么（ ） A. 24 B. C. 31 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，可得，由，可得，则，计算求出，进而作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，，， ，，，，，，，…… 规律为每6个数为一个循环， ，，， ，，， ， ， ， ，则， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 如图，点在上，，要使，还要添加一个条件是______． 【答案】####(答案不唯一). 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：.注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，由可得，再添加判定或再添加判定或再添加判定. 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). ②∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). ③∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). 13. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知，则的值为__________. 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，完全平方公式的应用，掌握整体代入法是解题的关键． 由已知得到，再利用完全平方公式化简代数式得到，然后整体代入数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：43． 15. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____． 【答案】60° 【解析】 【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【详解】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，单项式乘多项式，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】本题包含分式方程求解与分式化简求值两类问题． （1）先统一分母，再去分母转化为整式方程求解，最后检验根的有效性； （2）先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法，约分后代入数值计算． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 两边同乘得， 展开得， 整理得， 解得； 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解：原式 ． 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）在y轴上求作一点P，使得点P到点A、B的距离之和最小． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，根据轴对称的性质可得，则，则三点共线时有最小值． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则‘’ 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求． 19. 图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）根据图形可知，图2中，大正方形边长为_______，阴影部分的面积为_________； （2）观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； （3）根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式是解题的关键． （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）设这个长方形的长为a，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）知：图2中阴影部分的面积为， 阴影部分的面积也可以看作大正方形与4个小长方形的面积差，即为， ∴代数式，和之间的数量关系是：； 【小问3详解】 解：这个小长方形的长为，宽为，则，， ∴， 由（2）知：， ∴阴影部分的面积是． 20. 如图，在中，， （1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E；用尺规作图，保留痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线性质，等边对等角． （1）利用基本作图，作线段的垂直平分线即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得，则，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． （1）证明：； （2）写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）(或)，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查“一线三垂直”模型下的全等三角形判定与性质，关键是利用同角的余角相等得到角相等，结合已知边相等证明全等，再通过全等的对应边推导线段数量关系． （1）通过垂直关系得到直角，结合直角三角形的余角相等，找到全等的角和边，用判定全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，将线段转化为与的和，再代入对应边得到数量关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：数量关系为．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴，即． 22. 由于受到手机更新换代影响，某手机店经销的A型号手机四月份售价比三月份每台降价元，如果卖出相同数量的型号手机，那么三月份销售额为元，四月份销售额只有元． （1）三、四月型号手机每台售价各为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划五月份购进型号手机销售，已知型号手机每台进价为元，型号手机每台进价为元，购进这两种手机共台（其中型号手机有台），在销售中决定在四月份手机售价基础上每售出一台型号手机再返还顾客现金元，而型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】（1）三月份售价：元，四月份售价：元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 ． ()根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份.型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； ()根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】 【小问1】解：设三月份型号手机每台售价为元，则四月份每台售价为元 检验：当时，原方程的分母均不为，故是原方程的解 答：三月份售价元，四月份售价元． 【小问2】解：型号利润： 型号利润： 总利润：元， 答：这台手机全部售出共获得元利润． 23. 问题发现：（1）如图1，在中，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则的数量关系是_______，的数量关系是________． 拓展探究：（2）如图2，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．试求的度数及线段之间的数量关系． 解决问题：（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．试求的度数及线段之间的数量关系． 【答案】（1）； （2），； （3），． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由， 容易得； （2）由等边三角形的性质先找，然后证明，从而可以得出答案； （3）由和均为等腰直角三角形可得，进而得到，从而即可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案是：； （2），，理由如下： 和均为等边三角形， ， ，即． 在和中，， ， ． 为等边三角形， ． 点在同一直线上， ， ， ． （3）， ，理由如下： 和均为等腰直角三角形，， ，即． 在和中， ， ， ． 是等腰直角三角形，为斜边上的高， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，根据条件得出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $