1.1.4 幂的乘除 (第4课时 同底数幂的除法与科学记数法) 学案 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

本讲义聚焦同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂及科学记数法，通过复习同底数幂乘法等旧知引入，结合灭菌剂杀菌问题引导观察算式，经计算归纳法则，扩展指数范围后衔接科学记数法，构建完整学习支架。 以实际问题驱动学习，培养数学眼光，通过归纳推理发展数学思维，用科学记数法表示微小量强化数学语言应用。课中助力教师引导探究，课后练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1.1.4幂的乘除 (第4课时 同底数幂的除法与科学记数法) 复习回顾： 1. 同底数幂乘法法则：am·an＝ a m+n (m，n都是正整数) 2. 幂的乘方法则：(am)n＝ amn (m，n都是正整数) 3. 积的乘方法则：(ab)n＝ anbn (n为正整数) 情景1. 一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109 个有害细菌.要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴?你是怎样计算的? 1012÷109 →观察算式1012÷109，它有何特点? 是相同底数的幂相除 · 我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法. · 尝试·思考 1. 计算下列各式，并说明理由(m＞n) (1)1012÷109； (2)10m÷10n； (3)(－3)m÷(－3)n. 解：(1)1012÷109＝＝10×10×10＝103； (2)10m÷10n＝＝＝10m – n (3)(－3)m÷(－3)n＝＝(－3)m – n 2. 如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么?你是怎样得到的? am÷an＝＝＝am – n；即am÷an＝am – n (m＞n，且m，n都是正整数) · 同底数幂的除法:am÷an＝am – n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验. · 易错警示： 1. a可以是单项式或多项式，但不能为0. 2. 计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 3. 最后结果中幂的形式应是最简的： ①幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再算一步，如(ab)n＝anbn. 例1：计算 (1)a7÷a4； (2)(－x)6÷(－x)3； (3)(xy)4÷(xy)； (4)b2m+2÷b2. 解：(1)a7÷a4＝a7 – 4＝a3 ； (2)(－x)6÷(－x)3＝(－x)6 – 3＝(－x)3＝－x3； (3)(xy)4÷(xy)＝(xy)4 – 1＝(xy)3＝x3y3； (4)b2m+2÷b2＝b2m+2–2＝b2m. 练习1. 1. 计算x6÷x2正确的是( C ).　　　　　　　　　　　　　　 A. 3 B. x3 C. x4 D. x8 2. 下列运算正确的是( D ). A. x3＋x3＝x6 B. x3·x9＝x27 C. (x3)3＝x5 D. x3÷x＝x2 3. 计算：(1)－m8÷m2÷m3； (2)(x－y)5÷(y－x)2； (3)(a－b)3÷(b－a)2＋(－a－b)5÷(a＋b)4. 解：(1)－m4；(2)(x－y)3；(3)－2b. 4. 已知：am＝8，an＝4.求： (1)am – n的值；(2)a2m –2n 解：(1)2；(2)4. · 思考·交流 (1)计算 23÷23＝1 23÷25＝ a3÷a3＝1 a3÷a5＝ 23÷23＝23–3＝20 23÷25＝23–5＝2–2 a3÷a3＝a3–3＝a0 a3÷a5＝a3–5＝a–2 (2)要使得m＝n或m＜n时，am÷an＝am – n(a≠0，m，n都是正整数) 仍然成立，(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示? (3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现? 与同伴进行交流. 23÷23＝20＝1 a3÷a3＝20＝1 23÷25＝2–2＝ a3÷a5＝a–2＝ →am÷am＝1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am＝am –m＝a0. 根据同底数幂的乘法法则可得a-p×ap＝a-p+p＝a0＝1.所以a-p＝. · ①任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，数学语言:a0＝1(a≠0) 注意:零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0 ②任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数，数学语言:a-p＝(a≠0) ③有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了， 即：am·an＝a m+n，am÷am＝am –m (a≠0，m，n都是整数). 例2：用小数或分数表示下列各数 (1)10–3； (2)70×8–2； (3)1.6×10–4. 解：(1)0.001；(2)；(3)0.00016. 练习2. 1. 计算4－(－4)0的结果是( A ).　　　　　　　　　　　　　 A. 3 B. 0 C. 8 D. 4 2. 计算：(π－3)0＋()–1＝___3___. · 尝试·思考 有的细胞的直径只有1微米(μm)，即0.000001m；某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1纳秒(ns)， 即0.000 000001s；一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg.你能用负指数表示这些数吗? 用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数.例如： 0.000 001＝＝1×10–6；0.000 000 001＝＝1×10–9 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57＝2.657×＝2.657×10–26 · 用科学记数法表示一些小于1的正数，即将它们表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是负整数. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数(特别注意：包括小数点前面这个零)的相反数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如：－0.000 002 56 可以表示为－2.56×10–6 · 归纳总结： 科学记数法的表示步骤： ①确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的取值. ②确定n，n等于原数第一个非零数字前所有零的个数(特别注意：包括小数点前面这个零)的相反数. 练习3. 1. 用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 000 1，0.000 000 000 002 9，－0.000 000 001 295 解： 0.000 000 000 1＝10–10，0.000 000 000 002 9＝2.9×10–12，－0.000 000 001 295＝－1.295×10–9 2. 下列用科学记数法表示的数，原数是什么？ (1)空气的密度是1.293×10–3 g/cm3； (2)人体中成熟的红细胞的平均直径为7.7×10–6m. 答案：(1)1.293×10–3＝0.001293；(2) 7.7×10–6＝0.0000077 随堂练习： 1. 计算 (1)x12÷x4； (2)(－y)3÷(－y)2； (3)－(k6÷k6) ； (4)(－r)5÷r4； (5)m÷m0； (6)(mn)5÷(mn) 解：(1)x8；(2)－y；(3)－1；(4)－r；(5)m；(6)m4n4 2. 1个电子的质量约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911kg，请用科学记数法表示这个数. 答案：9.11×10–31 巩固练习： 1. 下列计算结果正确的是( C ). A．(a3)2＝a5 B．a10÷a2＝a5 C．a4·a＝a5 D．(－1)–1 a5＝a5 2. 如果a＝－12，b＝(3－π)0，c＝(－0.25)33×434，那么a，b，c的大小关系为( B ). A．a＝b＞c B．b＞a＞c C． c＞b＝a D．c＞a＞b 3. 计算：(1)x10÷x4÷x2＝ x4 ；(2)(－ax)5÷(ax)3＝ －a2x2 ；(3)(x－y)10÷(y－x)4·(x－y)2＝ (x－y)8 4. 计算：(－2a–2)3÷a–8＝ －8a2 ；(π－3.5)0＋()2＝ 5. 1 纳米＝10–9 米，将0.00305 纳米用科学记数法表示为___3.05×10–12___米 6. 已知am＝5，an＝3，求下列各式的值： (1) a2m＋a3n； (2) a2m–2n． 解：(1)a2m＋a3n＝52；(2) a2m–2n＝. 7. 尝试解决下列有关幂的问题： (1)若3×27m÷9m＝316，求m的值； (2)已知ax＝－2，ay＝3，求a3x–2y的值； (3)若n为正整数，且x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2)2n的值． 解：(1)m＝15；(2)a3x–2y＝－；(3)(3x3n)2－4(x2)2n＝512 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.4幂的乘除 (第4课时 同底数幂的除法与科学记数法) 复习回顾： 1. 同底数幂乘法法则：am·an＝ (m，n都是正整数) 2. 幂的乘方法则：(am)n＝ (m，n都是正整数) 3. 积的乘方法则：(ab)n＝ (n为正整数) 情景1. 一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109 个有害细菌.要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴?你是怎样计算的? →观察算式1012÷109，它有何特点? · 我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法. · 尝试·思考 1. 计算下列各式，并说明理由(m＞n) (1)1012÷109； (2)10m÷10n； (3)(－3)m÷(－3)n. 2. 如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么?你是怎样得到的? · 同底数幂的除法:am÷an＝am – n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验. · 易错警示： 1. a可以是单项式或多项式，但不能为0. 2. 计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 3. 最后结果中幂的形式应是最简的： ①幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再算一步，如(ab)n＝anbn. 例1：计算 (1)a7÷a4； (2)(－x)6÷(－x)3； (3)(xy)4÷(xy)； (4)b2m+2÷b2. 练习1. 1. 计算x6÷x2正确的是( ).　　　　　　　　　　　　　　 A. 3 B. x3 C. x4 D. x8 2. 下列运算正确的是( ). A. x3＋x3＝x6 B. x3·x9＝x27 C. (x3)3＝x5 D. x3÷x＝x2 3. 计算：(1)－m8÷m2÷m3； (2)(x－y)5÷(y－x)2； (3)(a－b)3÷(b－a)2＋(－a－b)5÷(a＋b)4. 4. 已知：am＝8，an＝4.求： (1)am – n的值；(2)a2m –2n · 思考·交流 (1)计算 23÷23＝ 23÷25＝ a3÷a3＝ a3÷a5＝ 23÷23＝ 23÷25＝ a3÷a3＝ a3÷a5＝ (2)要使得m＝n或m＜n时，am÷an＝am – n(a≠0，m，n都是正整数) 仍然成立，(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示? (3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现? 与同伴进行交流. →am÷am＝1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am＝am –m＝a0. 根据同底数幂的乘法法则可得a-p×ap＝a-p+p＝a0＝1.所以a-p＝. · ①任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，数学语言:a0＝1(a≠0) 注意:零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0 ②任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数，数学语言:a-p＝(a≠0) ③有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了， 即：am·an＝a m+n，am÷am＝am –m (a≠0，m，n都是整数). 例2：用小数或分数表示下列各数 (1)10–3； (2)70×8–2； (3)1.6×10–4. 练习2. 1. 计算4－(－4)0的结果是( ).　　　　　　　　　　　　　 A. 3 B. 0 C. 8 D. 4 2. 计算：(π－3)0＋()–1＝_ _. · 尝试·思考 有的细胞的直径只有1微米(μm)，即0.000001m；某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1纳秒(ns)， 即0.000 000001s；一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg.你能用负指数表示这些数吗? 用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数.例如： 0.000 001＝＝1×10–6；0.000 000 001＝＝1×10–9 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57＝2.657×＝2.657×10–26 · 用科学记数法表示一些小于1的正数，即将它们表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是负整数. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数(特别注意：包括小数点前面这个零)的相反数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如：－0.000 002 56 可以表示为－2.56×10–6 · 归纳总结： 科学记数法的表示步骤： ①确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的取值. ②确定n，n等于原数第一个非零数字前所有零的个数(特别注意：包括小数点前面这个零)的相反数. 练习3. 1. 用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 000 1，0.000 000 000 002 9，－0.000 000 001 295 2. 下列用科学记数法表示的数，原数是什么？ (1)空气的密度是1.293×10–3 g/cm3； (2)人体中成熟的红细胞的平均直径为7.7×10–6m. 随堂练习： 1. 计算 (1)x12÷x4； (2)(－y)3÷(－y)2； (3)－(k6÷k6) ； (4)(－r)5÷r4； (5)m÷m0； (6)(mn)5÷(mn) 2. 1个电子的质量约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911kg，请用科学记数法表示这个数. 巩固练习： 1. 下列计算结果正确的是( ). A．(a3)2＝a5 B．a10÷a2＝a5 C．a4·a＝a5 D．(－1)–1 a5＝a5 2. 如果a＝－12，b＝(3－π)0，c＝(－0.25)33×434，那么a，b，c的大小关系为( ). A．a＝b＞c B．b＞a＞c C． c＞b＝a D．c＞a＞b 3. 计算：(1)x10÷x4÷x2＝ ；(2)(－ax)5÷(ax)3＝ ； (3)(x－y)10÷(y－x)4·(x－y)2＝ 4. 计算：(－2a–2)3÷a–8＝ ；(π－3.5)0＋()2＝ 5. 1 纳米＝10–9 米，将0.00305 纳米用科学记数法表示为 米 6. 已知am＝5，an＝3，求下列各式的值： (1) a2m＋a3n； (2) a2m–2n． 7. 尝试解决下列有关幂的问题： (1)若3×27m÷9m＝316，求m的值； (2)已知ax＝－2，ay＝3，求a3x–2y的值； (3)若n为正整数，且x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2)2n的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $