精品解析：陕西省延安市志丹县保安教育集团2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级期末质量调研 数学 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换 　　 A. 相似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 对称变换 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果． 【详解】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化． 故选A． 【点睛】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换比较容易选错的答案是位似变换． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果 ，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、， ，，不成比例． 故选：C． 3. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，和是以点 为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质可得，从而得到，进而求出答案． 【详解】解：∵和是以点 为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为5， ∴的周长为． 故选：D 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和 ． 故选：C． 6. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 7. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形与平行线性质求解角度． 先由 得；再由得；结合求出；最后根据平行线同旁内角互补即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵ ，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点，都在轴上，点在轴正半轴上，且反比例函数的图象经过边的中点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定与性质． 过的中点 作轴，交轴于点 ，交于点，作轴于点，则四边形和都是矩形，由反比例函数k的几何意义可得矩形的面积为2，证明得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过的中点 作轴，交轴于点 ，交于点，作轴于点，则四边形和都是矩形， ∴， ∵， ∴矩形的面积为2． 在 和中， ， ， ． 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数与y轴交点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，根据二次函数与 y轴交点的特点，交点的横坐标为0，代入函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 10. 在“不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵”这几个汉字（不含标点符号）中任意选一个汉字，选中“于”字的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率． 首先统计句子中所有汉字的个数，再统计“于”字出现的次数，最后计算概率即可． 【详解】解：句子“不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵”中，汉字依次为：不、戚、戚、于、贫、贱、不、汲、汲、于、富、贵，共12个汉字， 其中“于”字出现2次， 因此选中“于”字的概率是． 故答案为：． 11. 若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，判断反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，判断当时，y随x的增大而减小，通过比较x值大小判断y值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点在关于的函数图象上，此时， ∴， 故答案为：＞． 12. 如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出 ，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定 即可得到答案． 【详解】解：①添加 ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ； ②添加， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ； ③添加， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ； 故答案为： （答案不唯一）． 13. 如图，在中，已知，动点 从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点 到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若 是的中点，当 时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题、相似三角形，利用未知数t表示线段的长度是解题的关键． 首先根据运动时间表示出，，的长度，再利用垂直得到三角形相似，即可求解的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， 如图，当 时， ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当 时，的值为； 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 14. 解方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解： ， ， ∴， ． 15. 已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式．把代入，求出k的值，即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 该反比例函数的解析式为． 16. 已知关于的一元二次方程，若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式 ，进而建立关于的不等式求解． 【详解】解：对于一元二次方程， 其判别式为． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 化简得，， 解得． 故的取值范围是． 17. 如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心 ． 【详解】解：圆心O如图． 18. 如图， ，，求证： ． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据 得到 ，再根据即可求证 ． 【详解】证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ． 19. 为弘扬中华民族尊老、敬老、爱老、助老的传统美德，小美为敬老院做了四张背面完全相同的宣传卡片如图所示，正面分别对应着“尊老”“敬老”“爱老”“助老”的宣传语，把卡片洗匀背面向上摆放． （1）若随机翻一张卡片，卡片正面图案为“爱老”的概率为___________． （2）小美先随机翻一张卡片，放回洗匀后再随机翻一张卡片，求两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图求概率、概率公式， （1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图得，共有16种等可能的结果，正面图案为“尊老”和“敬老”的情况有2种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，卡片正面图案为“爱老”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“尊老”“敬老”“爱老”“助老”分别用A、B、C、D来表示． 根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，正面图案为“尊老”和“敬老”的情况有2种； ∴两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率为． 20. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，代入已知条件求出比例系数，再代入新的函数值求解自变量． 设反比例函数解析式（）；代入已知x，y值求；将待求值代入解析式求对应值． 【详解】解：∵ 火焰的像高是物距的反比例函数， ∴ 设解析式为（）． 将，代入得． 解得． ∴ 反比例函数解析式为． 当时，代入解析式得． 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为 ． 21. 如图，已知D，E为的边上的两点，且． （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的证明、分式方程，证明三角形相似是解题的关键． （1）首先根据结合等角转化得到 即可得到 ，进而得到结合 即可求证； （2）根据（1）中的 得到即可求解的长． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∴，即， ∴． 22. 某校对下午放学时校门口的“堵塞”情况做了一个调查，发现每天下午放学后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（单位：）与放学时间（单位：）之间的函数关系描述．如图，放学后分钟分钟与呈二次函数关系，且在第分钟达到该函数最大值，此后变化大致为反比例函数的图象．“拥挤指数”不低于 判定为“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值． （2）小艺认为“拥挤状态”持续的时间会超过分钟，请通过计算说明小艺的说法是否正确． 【答案】（1）， （2）小艺的说法是正确的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数和反比例函数的解析式，求自变量值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据二次函数的顶点坐标设顶点式，再将点代入二次函数的解析式求出的值即可；将点代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）求出当函数值为 时，两段函数的自变量取值，再结合图象作差即可． 【小问1详解】 解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得 ， 该二次函数的解析式为， 把点代入，得． 【小问2详解】 解：小艺的说法是正确的，理由如下： 令，解得，（不合题意，舍去）， 令，解得． ， 小艺的说法是正确的． 23. 如图，是的直径，弦 相交于点，，点F在的延长线上， ，连接． （1）求证：是的切线； （2）若 ，，求直径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据 ，得出．结合三角形的内角和定理推出 ，即可推出是的切线． （2）由可得 ，根据勾股定理的得出．设，则 ，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 设，则 ，． 在 中，， ， 解得， ， ． 24. 某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设水流所在抛物线的表达式为，把代入求出a的值即可； （2）设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把点代入求出c的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一次灭火时水流最高点的坐标为 设水流所在抛物线的表达式为． 点在抛物线上， ， 解得， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为． 该抛物线过点， ， 解得， ． 令，则， ． ， ． 答：两点之间的距离为． 25. （1）如图①，在中，，以为边作菱形 ，点刚好落在边上．求证： ． （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 问题解决 （3）如图②，在菱形中，为对角线的中点，分别在，的延长线上取点和点，使 与交于点 ．若菱形的边长为5，，求菱形的面积． 【答案】 （1）证明：如图1．连接．设与相交于点． 四边形 为菱形， ． ， ． ． （2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用及三角形面积的计算，解题的关键是利用菱形的对角线性质构造相似三角形，结合角度关系和边长条件进行推导． （1）连接菱形对角线AF，利用菱形对角线平分且垂直的性质得 ， ；再通过同角的余角相等，证得 ，从而推出 ． （2）由菱形性质得 ，结合 求出 ；利用 得到 ；最后在 中，由勾股定理计算． （3）由 推出，结合 及面积比得，求出 ；取CF中点，构造相似三角形 ，求出、；最后根据菱形面积公式 计算得面积为20． 【详解】（1）略 （2）由（1）得 ， ， ， ． 四边形 是菱形， ， ， ， ． （3） ， ． ， ． ，菱形的边长为5， ． 如图2，取 的中点，连接 ，可得 ． 是菱形的对角线的中点， ． ， ， ，即 ，解得， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末质量调研 数学 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换 　　 A. 相似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 对称变换 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，都在轴上，点在轴正半轴上，且反比例函数的图象经过边的中点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数与y轴交点的纵坐标为______． 10. 在“不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵”这几个汉字（不含标点符号）中任意选一个汉字，选中“于”字的概率是_______． 11. 若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 12. 如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 13. 如图，在中，已知，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若是的中点，当 时，的值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 14. 解方程： ． 15. 已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 16. 已知关于的一元二次方程，若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17. 如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图， ，，求证： ． 19. 为弘扬中华民族尊老、敬老、爱老、助老的传统美德，小美为敬老院做了四张背面完全相同的宣传卡片如图所示，正面分别对应着“尊老”“敬老”“爱老”“助老”的宣传语，把卡片洗匀背面向上摆放． （1）若随机翻一张卡片，卡片正面图案为“爱老”的概率为___________． （2）小美先随机翻一张卡片，放回洗匀后再随机翻一张卡片，求两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率． 20. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 21. 如图，已知D，E为的边上的两点，且． （1）求证：． （2）当时，求的长． 22. 某校对下午放学时校门口的“堵塞”情况做了一个调查，发现每天下午放学后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（单位：）与放学时间（单位：）之间的函数关系描述．如图，放学后分钟分钟与呈二次函数关系，且在第分钟达到该函数最大值，此后变化大致为反比例函数的图象．“拥挤指数”不低于 判定为“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值． （2）小艺认为“拥挤状态”持续的时间会超过分钟，请通过计算说明小艺的说法是否正确． 23. 如图，是的直径，弦 相交于点，，点F在的延长线上， ，连接． （1）求证：是的切线； （2）若 ，，求直径的长． 24. 某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 25. （1）如图①，在中，，以为边作菱形 ，点刚好落在边上．求证： ． （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 问题解决 （3）如图②，在菱形中，为对角线的中点，分别在，的延长线上取点和点，使 与交于点．若菱形的边长为5，，求菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $