2025-2026学年九年级寒假中考专题训练：材料题

材料题 重庆中考 16 题的整除类材料题是高频考向之一，属于新定义材料题的核心细分题型，以 “新定义整除规则 / 数的特征” 为载体，考查数的整除性质、代数式变形、规律探究和分类讨论能力，解题关键是吃透自定义整除规则、转化为代数等式、结合数的特征分析求解。以下是贴合重庆考情的专属技巧，含核心解题流程、题型细分技巧、避坑要点，直击该类题型得分点。 一、题型核心特征（重庆考情专属） 题干形式：先给出全新的整除定义（区别于课本上的 2、3、5、9 的整除规则），如 “若一个数的末两位数字之和能被 4 整除，则称这个数为‘4 友好数’”“若一个三位数abc满足a+c−2b能被 7 整除，则称这个数为‘7 倍数’”，再结合定义提出问题（求符合条件的数、参数值、最大 / 最小值等）； 考查载体：多以两位数、三位数、四位数（用ab、abc表示数位）为载体，偶见代数式形式的数； 核心考点：数位的代数表示、整式变形、数的取值范围（正整数、数位数字 0-9 的限制）、分类讨论、简单规律推导； 计算特点：思维量大、计算量小，易因数位表示错误、忽略数字限制、漏解丢分。 二、解题核心流程（固定步骤，破解所有整除类材料题） 读定义圈关键→数位转代数→列整除等式→定取值范围→分类讨论求解→验证答案 读定义圈关键：圈出自定义的整除规则（如 “谁能被谁整除”“整除的代数式特征”）、数的形式（如三位数、两位数）、问题要求（如求最大的数、求参数的整数值）； 数位转代数：将带横线的数位表示转化为整式形式（核心步骤），如100a+10b+c、10x+y（为首位数字，不能为 0，其余数位数字 0-9）； 列整除等式：根据自定义规则，列出整除的代数表达式—— 若A能被k整除，则设A=kt（t为整数），这是将整除问题转化为代数问题的核心； 定取值范围：根据数位特征确定每个数字的取值范围（如首位数字：1≤a≤9，其余：0≤b,c≤9；参数若为数位数字，同样遵循此规则）； 分类讨论求解：结合整除等式和取值范围，按整数 t 的可能值 / 数位数字的可能值分类讨论，逐一验证； 验证答案：将求出的数代入自定义整除规则验证，同时检查是否符合数位取值范围，避免错解、漏解。 1．对于任意的一个三位数．如果满足各数位上的数字互不相同，且均不为0，那么称这个数为“新年快乐数”．将一个“新年快乐数”任意两个数位上的数字交换后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，因为456为“新年快乐数”，交换后得到三个不同的新三位数为465，654，546，所以，若M为最大的“新年快乐数”，则F(M)的值为 ；若“新年快乐数”（其中，且x，y均为整数），均为整数，则满足条件的M的值是 ． 2．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为 ；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为 ． 3．如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字，千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”，则最小的“对称数”为 ；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为，其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的差为，若为“对称数”（其中，，，，且a，b，c，d为整数），且，均为整数，则满足条件的A的值为 ． 4．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称为“跳跃数”，最小的“跳跃数”为 ，将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为，规定：，若为整数，是整数，则满足条件的自然数为 ． 5．如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数，则 ．若四位数（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为 ． 6．若一个四位数的千位数字比个位数字大，百位数字和十位数字之和为，则称这个数为“凑十数”． （1）已知一个能够被整除的“凑十数”各个数位上的数字有个都是相同的，则这个“凑十数”是 ；（2）若两个“凑十数”、，其中的千位和百位数字分别为，其中均为整数，且，若为整数，且的各数位上的数字之和与的各数位上的数字之和的比值为，则满足条件的的最大值与最小值之和为 ． 7．对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是 ；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为 ． 8．如果一个四位自然数M各数位上的数字不全相同，将这个四位自然数M的千位数字和十位数字互换，百位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数N，规定；将这个四位自然数M的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数A，再将A的千位数字放到个位数字的右边，组成一个新的四位数B，规定．若，则 ．若（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有的和为 ． 9．若一个四位自然数的百位数字比千位数字大，个位数字是十位数字的倍，且各个数位上的数字均不为，则称这个四位数为“加数”．若一个四位自然数的百位数字是千位数字的倍，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为，则称这个四位数为“倍数”．例如是“加数”，是“倍数”．则最小的“加数”与最大的“倍数”之和是 ．若为“加数”，为“倍数”，与的千位数字均为，的十位数字为，的十位数字为，且各数位上的数字之和分别记为、，当为整数时，的最小值为 10．我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出 ；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为 ． 11．一个四位正整数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足（k为正整数且），则称这个四位数为“奇方数”．例如：四位正整数2341，因为，且，所以2341是“奇方数”．若是“奇方数”且，则最小的N为 ；若也是一个“奇方数”，令，记，若除以11余数为5，则符合条件的所有A的最大值与最小值的差为 ． 12．若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为8，则称为“能量数”，并将分解成的过程称为“能量分解”．例如，，，所以968是“能量数”，968分解成的过程就是“能量分解”．按照这个规定，最小的“能量数”是 ．把一个“能量数”进行“能量分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，将放在的右边组成一个四位数，若能被8整除，且（为整数），则满足条件的整数的值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 24 217 【分析】本题主要考查新定义下实数的运算、二元一次方程的解、数字类规律探索，掌握数位变换后的数的规律是解题的关键． 首先求解的规律，发现其是数字的和，从而通过最大的“新年快乐数”是987，其数字之和为，故F(M)=24；再通过，判断M的百位数是x，十位数是，个位数是7，再通过为整数列举求得满足条件的数字，最终结合整除和数字互不相同的约束的条件，求解得出满足条件的数字即可． 【详解】解：设， ∴对调后的三个新三位数分别为，，， ∴，即为数字之和， ∵最大的“新年快乐数”是987， ∴； ∵， ∴，即M的百位数是x，十位数是，个位数是7， ∵为整数， ∴为整数，列举解得：，或，或，， ∴当，时，，此时，成立； 当，时，，不满足各数位上的数字互不相同； 当，时，，不满足各数位上的数字互不相同； ∴满足条件的M的值是217； 故答案为：24，217． 2． 8172 0 【分析】本题主要考查了新定义运算，分式化简，解题的关键是理解新定义．根据“开心数”的定义，即四位数满足十位与个位数字和的平方等于千位与百位数字组成的两位数，且各位数字互不相等且均不为零，首先寻找最大的“开心数”，需千位数字尽可能大，且满足条件的平方数；通过化简的表达式，并利用整除条件确定的值，进而计算的所有可能值，求其最大值与最小值的和即可． 【详解】解：设四位数，则“开心数”满足，且a，b，c，d互不相等且均不为零， ∵为两位数， ∴， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时，故， 此时， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，，时十位数字最大， 故，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ， 根据题意得：， ∴ ， 设， ∵， ∴， 则， ∵能够被9整除， ∴能被9整除， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能值为1，，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为， 最大值与最小值的和为． 故答案为：8172；0． 3． 10120 39633 【分析】本题考查整式的加减运算，不定方程， 设这个“对称数”为，根据“对称数”的定义，得到，进而求出最小的“对称数”是10120； 根据为“对称数”，得到，得到，，根据，均为整数，得到，均为整数，设，，由，得，，得，得，得，得，得，分类讨论进行求解即可． 【详解】解：第一填空： 设“对称数”为，根据题意有，， 为使五位数最小，万位应取最小值1，千位应取最小值0， 则，， 为使百位最小，且满足与， 则的最小整数值为1， 此时，， ∴最小的“对称数”是10120． 第二填空： ∵为“对称数”，，，，，且a，b，c，d为整数， ∴ ，（，）， 即， ∴， ∴， ∵ ， ． ∴， ， ∵，均为整数， ∴，均为整数， 设，（m、n均为整数）， 则， ∵，，，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴, 即, ∴， 当时，，，整数， ∴符合； 当时，，，分数， ∴不符合， ∴，，，， ∴， ∴满足条件的A的值为39633. 故答案为：10120；39633． 4． 或 【分析】本题考查的是数的整除，整式加减运算的应用，二元一次方程组的解法，根据新定义的含义可得最小的“跳跃数”的千位为，再进一步可得最小的“跳跃数”，分别求解，，可得，求解，结合整除的性质建立方程组解题即可． 【详解】解：∵一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称为“跳跃数”， ∴，， 则当时，M最小， ∴最小的“跳跃数”为， ∵将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∵为整数， ∴是的倍数， ∵为至的正整数且互不相同， 而， ∴或或或， ∵是整数， ∴是整数， ∴是的倍数， 而， ∴或， 当，解得：， ∴，， ∴， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，解得：， ∴，，不符合题意舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 综上：为． 故答案为：；． 5． 15048 【分析】本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 对于，根据定义计算和，然后求差．对于，通过数字关系得到B的各位数字表达式，代入给定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和． 【详解】解：若四位数，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四位数（，，x，y为整数）， ∴， ∴B的各位数字为， ∵数位上的数字均不为零， ∴， 解得：， ∴Q的各位数字为， ∴， ∴， ∴R的各位数字为， S的各位数字为， ∴， ， ∴， 代入方程，， 得， 化简得， ∵，，，且均为正整数， ∴，，且均为整数， ∴或， 解得：或． 则B值为6633和8415，和为． 故答案为：，15048． 6． 【分析】本题考查定义新运算，整式的加减，解不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）由“凑十数”定义发现千位数字和个位数字不可能相等，即可根据“凑十数”各个数位上的数字有个都是相同得到百位数字和十位数字必定是相同的，为，千位数字和个位数字其中一个也为，最后根据能够被整除的“凑十数”确定结果即可； （2）先求出，再设的千位和百位数字分别为， ，由为整数，得到或者，解不等式组得到，或者，再由的各数位上的数字之和与的各数位上的数字之和的比值为， 整理得，求出或，再根据为偶数，得到的千位数字是，个位数字为，或或或或者，据此求出的最大值与最小值之和即可． 【详解】解：（1）∵“凑十数”千位数字比个位数字大，百位数字和十位数字之和为，各个数位上的数字有个都是相同的， ∴百位数字和十位数字必定是相同的，为，千位数字和个位数字其中一个也为， 当千位数字为4时，则个位数字为，此时四位数为，各个数位之和为，不能够被整除，即不能够被整除，不合题意； 当个位数字为4时，则千位数字为，此时四位数为，各个数位之和为，能够被整除，即能够被整除，符合题意； 故答案为：． （2）∵“凑十数”的千位和百位数字分别为， ∴个位数字为，十位数字为，， ∴， 设的千位和百位数字分别为， ∴个位数字为，十位数字为，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴为13的倍数， ∵， ∴， ∴，或者， ∴，或者， 当时，，解得， ∴， 当时，的百位数字为，的百位数字为， 那么， ∵的各数位上的数字之和与的各数位上的数字之和的比值为， ∴， 整理得， ∵，，，，且和都为正整数， ∴或， ∴的千位数字是，个位数字为或千位数字是，个位数字为， ∵，为偶数， ∴的千位数字是，个位数字为， ∵的百位数字是，，或者， ∴或或或或， ∵必定是的倍数，而个位数字为，， ∴， 解得； ∴， ∵， ∴十位数字为， 或或或或， 或者或或者或者 ∴或者或者或者（舍去）或者， ∴当时，取最大值，最大值为； 当时，取最小值，最小值为； ∴满足条件的的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 7． 7968 3524 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．根据“繁花数”的定义即可求出最大的“繁花数”；根据求出和，再根据是12的倍数，求出t的值，根据求出s的值即可． 【详解】解：根据“繁花数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴十位上的数最大只能为6，则个位上的数为8，最大的繁花数是7968； ∵s是“繁花数”， ∴，， ； ∵t是“繁花数”， ， ∴， ； ∵是12的倍数，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7968，3524． 8． 18481 【分析】根据题意求出，，即可求出的值，由题意可得，从而求出，，代入得出，整理得出，结合题意可得或，再分情况求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ， ，， ∴， ， ∵（，，x，y为整数）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，x，y为整数 ∴，， ∴或， 当，即时，此时， 当，即时，此时， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 9． 【分析】根据定义可得最小“加数”为，最大“倍数”为，据此即可求解； 根据题意可得，，，，进而得到，，再代入代数式可得，进而根据为整数即可求解； 本题考查了列代数式，整式的加减运算，理解新定义解题的关键． 【详解】解：①由题意可得，当四位自然数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为时，所得“加数”最小，最小为；当四位自然数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为时，所得“倍数”最大，最大为， ∴最小的“加数”与最大的“倍数”之和是， 故答案为：； ②由题意得，，， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴ ， ∵为整数，，， 取最小值， ，， ∴的最小值为， 故答案为：． 10． 106 809190 【分析】本题主要考查了因式分解以及完全平方数的性质，根据题干的定义进行计算即可；化简以及，根据与的比值求出c的值，然后根据是完全平方数求出M的最大值即可． 【详解】解： ； 根据定义可知，， ∵一位数一位数， ∴上面两个加法每个数位都没有进位， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数的10倍， ∵后三位以及后两位存在， ∴， ∴m最大取8， ∴最大可以为， 此时，， ∴， ∴． 故答案为：106，809190． 11． 2359 3500 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题． 对于第一部分，由和，代入条件公式得，且数字互异，故最小为2359；对于第二部分，由除以11余数为5，得，且为奇方数，解得为2953和6453，差为3500． 【详解】解：①∵，， ∴，， 代入条件公式，得， 即， 又数字互异且均不为0， 故或或或， 对应N为2359，2458，2854，2953，最小为2359． ②∵，其中，， 故． ∵除以11余数为5，1001、110除以11余数为0，90、101除以11余数为2， ∴除以11余数为5， ∴除以11余数为5， ∵c，d为的数字， ∴． 又A为奇方数，满足，其中， 故， 则． ∵且数字互异，，k为正整数， ∴或或或或， ∵，k为正整数， 当时，，，，无解； 当时，，时，，，得，；时，，，得，；时无解； 当时，：，，，时均无解； 当时，：，2，3，4，5时均无解． 故为2953和6453． 验证：对于2953，除以11余数为5； 对于6453，除以11余数为5． 最大值与最小值差为． 故答案为：2359和3500． 12． 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，理解“能量数”的概念及计算方法是关键． ①根据题意设，则，，则，当的值最小时，“能量数”最小，由此即可求解； ②根据题意，设，则，，分别表示出的值，那么，结合（为整数），即，推出即是完全平方数，，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：①∵，是正整数， ∴设，则，， ∴ ， ， 当的值最小时，“能量数”最小， ∴时，的值最小，此时，， ∴， ∴最小的“能量数”是； ②设，则，， ∴， ， ∴ ， ∵能被8整除， ∴是8的倍数， ∵（为整数），即， ∴， 即是完全平方数，， ∴， ∴当时，， ∴， 此时， ∵不是8的倍数， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， 此时， ∵不是8的倍数， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， 此时， ∵，能被8整除， ∴符合题意； 当时， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，，，则； 故答案为：①；② ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $