2025年北师大版数学中考专题——《圆》复习

2025年北师大版数学中考专题——《圆》复习及解析 1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D．若AB＝6，则BD的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 2．如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O的直径，且AC⊥BD．若∠ACD＝28°，则∠CBD的度数为（　　） A．28° B．30° C．36° D．45° 3．如图，AB是⊙O直径，C、F为⊙O上的点，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．20° 4．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．65° 5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线AE是⊙O的切线，CD平分∠ACB，若∠CAE＝21°，则∠BFC的度数为（　　） A．66° B．111° C．114° D．119° 6．如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（　　） A．35° B．40° C．55° D．60° 7．如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（　　） A． B．2 C．2 D．2 8. 如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 9．把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于（    ）    A． B． C． D． 10. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠AED＝32°，则∠DCB的度数是（　　） A．116° B．122° C．132° D．148° 12．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠ADC＝66°，则∠AGB的度数为（　　） A．66° B．69° C．104° D．114° 13.如图，△ABC内接于⊙O，AC，BD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线交于点E．若∠BAC＝53°，则∠E的度数是（　　） A．37° B．43° C．53° D．57° 14．如图，四边形是⊙的内接四边形，，则的度数是（    ）   A． B． C． D． 15. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A B. C. D. 16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E为AD上一点，以点E为圆心，ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 　 　． 17．如图，正六边形ABCDEF的边长为9，以顶点A为圆心，AF的长为半径画圆，则图中阴影部分面积的大小为 　 　． 18．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4．点F位于AB的处、且靠近点A的位置，点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4．E为CD的中点．连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的面积为 　 　． 19．如图，圆内接正六边形ABCDEF，以顶点D为圆心，以DF长为半径画，若AB＝2，则 的长为 　 　．（结果保留π） 20．图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 　 　平方英寸． 21．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 　 　． 22.如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积 为 　 　m2． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为　 　． 24．如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 25. 如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 26．如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为 27．如图，在扇形AOB中，OA＝4，C为上的一点，连接AC，BC．如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 28．如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝90°，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 29．如图，半圆O的直径AB＝3，．E是上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 　 　． 30. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 31．如图，在矩形ABCD中AB＝2AD＝2，以点A为圆心，AD的长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BG交CD于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 32. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 33．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，点E是AD中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若图中阴影部分面积为4π，则AD＝　 　． 34. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 35. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，△OBC绕点B顺时针旋转60°得到△O，BC，，若AB=2，则图中阴影部分面积是_______ 36．如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 37．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC； （2）若AD＝4，AC＝5，则AB的长为　 　 ． 38.如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，使得OC＝CD．过点D作⊙O的切线DB，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，连接OA，AD，BC，AC． （1）证明：AD为⊙O的切线； （2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论． 39.如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则求的度数． 40.如图，AB是⊙O直径，AB＝20，C为⊙O上一点，过C作⊙O切线，交AB延长线于D，连接OC，过A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，AE＝15． （1）求BD的长度； （2）连接CF，则∠AFC的度数为 　． 41．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上． （1）EB是⊙O的切线吗？为什么？ （2）若，则∠DBC的度数为 　 　°． 42．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC＝CD，∠A＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积． 2025年北师大版数学中考专题——《圆》复习解析 1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D．若AB＝6，则BD的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【分析】先由AB是⊙O的直径得出∠ACB＝90°，再根据勾股定理求出AB的长，连接AD，则∠ADB＝90°，再由CD平分∠ACB可知∠ACD＝∠BCD，推出△ADB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 连接AD，∠ADB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴AD＝BD，即△ADB是等腰直角三角形， ∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36， 解得BD＝3． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理及等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2．如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O的直径，且AC⊥BD．若∠ACD＝28°，则∠CBD的度数为（　　） A．28° B．30° C．36° D．45° 【分析】由垂径定理及圆周角定理进行计算，即可得到答案． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径，且AC⊥BD， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ACD＝∠ABD＝28°， ∴∠CBD＝28°， 故选：A． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题关键是熟练应用垂径定理及圆周角定理． 3．如图，AB是⊙O直径，C、F为⊙O上的点，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．20° 【分析】连接OC，根据圆的对称性质和等腰三角形的性质，得∠ABD＝∠OCB，根据切线和直角三角形的两锐角互余的性质，推导得∠OCB＝∠ABD＝40°，再根据三角形内角和定理和圆周角定理可得答案． 【解答】解：连接OC， 根据题意，得：OB＝OC， ∴∠ABD＝∠OCB， ∵AE是⊙O的切线， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADB＝50°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝40°， ∴∠OCB＝∠ABD＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠ABD﹣∠OCB＝100°， ∴∠BFC＝BOC＝50°， 故选：B． 【点评】此题考查了切线的性质、圆周定理及三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的对称性． 4．如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．65° 【分析】根据圆周角定理知∠AOB＝2∠C，再根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝∠O+∠A，易得答案． 【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠O＝90°， ∴∠C＝∠O＝45°， ∵∠B+∠C＝∠O+∠A， ∴∠B＝∠O+∠A﹣∠C＝90°+20°﹣45°＝65°． 故选：D． 5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线AE是⊙O的切线，CD平分∠ACB，若∠CAE＝21°，则∠BFC的度数为（　　） A．66° B．111° C．114° D．119° 【分析】根据切线的性质即可求得∠BAC的度数，根据直径所对的圆周角是直角，然后根据角平分线的定义求得∠ACD的度数，然后在△ACF中，利用三角形的外角的性质求解． 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°． ∵直线AE是⊙O的切线，AB是圆的直径． ∴∠BAE＝90°，即∠BAC+∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠CAE＝90°﹣21°＝69°， ∴∠BFC＝∠BAC+∠ACD＝69°+45°＝114°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理以及切线的性质定理，三角形的外角的性质，正确求得∠BAC的度数是关键． 6．如图，在△ABC中，AC＝4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF＝70°，则∠BDF的度数是（　　） A．35° B．40° C．55° D．60° 【分析】连接CD，由切线的性质得出CD⊥AB，∠CDB＝90°，利用解直角三角形求出∠ACD＝60°，由圆周角定理求出∠ACB＝140°，进而求出∠DCB＝80°，再利用等腰三角形的性质求出∠CDF的度数，继而求出∠BDF的度数． 【解答】解：如图，连接CD， ∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵AC＝4，CD＝2， ∴cos∠ACD＝＝＝， ∴∠ACD＝60°， ∵∠EHF＝70°， ∴∠ACB＝2∠EHF＝140°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝140°﹣60°＝80°， ∵CD＝CF， ∴∠CDF＝∠CFD＝＝50°， ∴∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF＝90°﹣50°＝40°， 故选：B． 7．如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（　　） A． B．2 C．2 D．2 【分析】先利用圆的内接四边形的性质计算出∠C＝67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC＝45°，连接OB、OC，如图，根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质求出BC即可． 【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣112.5°＝67.5°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝67.5°， ∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， 连接OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴BC＝OB＝2． 故选：C． 8. 如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，连接、，由切线的性质得，则，由圆周角定理得，再根据直径所对的圆周角是直角得，则． 【详解】解：设交于点，连接、， 与相切于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故选：C． 9．B 【分析】由题意可以求出、、的大小，然后根据四边形的内角和可以得到解答． 【详解】解：如图，可以给题中一些角标上记号如下：    由题意可得：，， ∴， 故选B . 【点睛】本题考查正多边形的应用，熟练掌握正五边形、正六边形的内角计算方法是解题关键． 10. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠AED＝32°，则∠DCB的度数是（　　） A．116° B．122° C．132° D．148° 【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠ABD＝32°，∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BAD，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接BD， 由圆周角定理得：∠ABD＝∠AED＝32°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝58°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝180°﹣58°＝122°， 故选：B． 12．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠ADC＝66°，则∠AGB的度数为（　　） A．66° B．69° C．104° D．114° 【分析】先根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠B＝∠ADB＝45°，则可计算出∠BDC＝21°，再利用圆周角定理得到∠C＝∠B＝45°，然后根据三角形内角和计算出∠DGC，从而得到∠AGB的度数． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵＝， ∴∠B＝∠ADB＝45°， ∵∠ADC＝66°， ∴∠BDC＝66°﹣45°＝21°， ∵∠C＝∠B＝45°， ∴∠DGC＝180°﹣45°﹣21°＝114°． ∴∠AGB＝114°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 13．如图，△ABC内接于⊙O，AC，BD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线交于点E．若∠BAC＝53°，则∠E的度数是（　　） A．37° B．43° C．53° D．57° 【分析】由AC，BD是⊙O的直径，可知AC、BD都经过点O，∠ABC＝90°，所以OB＝OC，由切线的性质得∠BDE＝90°，由∠E+∠OBC＝90°，∠A+∠OCB＝90°，且∠OBC＝∠OCB，得∠E＝∠A＝53°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AC，BD是⊙O的直径， ∴AC、BD都经过点O，∠ABC＝90°， ∴OB＝OC， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠E+∠OBC＝90°，∠A+∠OCB＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB，∠A＝53°， ∴∠E＝∠A＝53°， 故选：C． 14．如图，四边形是⊙的内接四边形，，则的度数是（    ）   A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：四边形是⊙的内接四边形，且， ， 又与同弧， ， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键． 15. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点作于点，解直角三角形即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ∴的半径长为， 故选：B． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E为AD上一点，以点E为圆心，ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 　3π+10﹣12　． 【分析】过点H作HE⊥AD，BG⊥AD，FQ⊥AD于点E，G，Q，由切线的性质可得GF⊥BC，得矩形BHEG，然后利用含30度角的直角三角形得到线段的长，由阴影部分面积＝S扇形EHD+S梯形BHEA﹣S△ADF，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点H作HE⊥AD，BG⊥AD，FQ⊥AD于点E，G，Q， ∵以点E为圆心，ED的长为半径作弧与BC相切于点H， ∴EH⊥BC， 得矩形BHEG， ∴EH＝BG，BH＝GE， ∵点F为线段AB中点， ∴AF＝AB＝2， ∵∠BAD＝60°， ∴AQ＝AF＝1，AG＝AB＝2， ∴FQ＝，BG＝2， ∴EH＝BG＝2， ∴DE＝EH＝2， ∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2， ∴BH＝GE＝AE﹣AG＝6﹣2， 则阴影部分面积＝S扇形EHD+S梯形BHEA﹣S△ADF ＝+（6﹣2+8﹣2）×2﹣8× ＝3π+10﹣12． 故答案为：3π+10﹣12． 【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 17．如图，正六边形ABCDEF的边长为9，以顶点A为圆心，AF的长为半径画圆，则图中阴影部分面积的大小为 　27π　． 【分析】先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°， ∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°， ∵正六边形的边长为9， ∴S阴影＝＝27π， 故答案为：27π． 【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 18．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4．点F位于AB的处、且靠近点A的位置，点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4．E为CD的中点．连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的面积为 　　． 【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，利用S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT． ∵∠AOB＝90°，， ∴∠BOF＝60°， ∵CE＝DE，CD＝4， ∴OE＝CD＝2， ∵OF＝4， ∴EF≥OF﹣OE＝2， ∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合， ∴此时EF＝2， ∵OF＝OB，∠BOF＝60°， ∴△BOF是等边三角形， ∵OT＝TF， ∴BT⊥OF， ∴BE＝BT＝， ∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n°的圆心角所对的弧的长度为． 19．如图，圆内接正六边形ABCDEF，以顶点D为圆心，以DF长为半径画，若AB＝2，则 的长为 　　．（结果保留π） 【分析】连接AE、AC，根据正六边形的性质求出AE，∠EAC的度数，再利用弧长公式可得答案． 【解答】解：连接AE、AC， ∵四边形ABCDEF是正六边形， ∴∠F＝∠FAB＝∠ABC＝120°，AF＝FE，AB＝BC， ∴∠FAE＝∠BAC＝30°， ∴∠EAC＝60°，AE＝2 ∴的长度＝的长度为＝， 故答案为：． 20．图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 　（﹣）　平方英寸． 【分析】延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积． 【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G， ∵CD与MN成角为30°，CD∥AB， ∴∠AHC＝30°， ∵BE∥MN， ∴∠ABE＝30°， ∵OE＝OB， ∴∠BOE＝120°， ∵AB＝4英寸， ∴OB＝OE＝2英寸， 在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝， ∵OG⊥BE， ∴BE＝2BG＝2， ∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸）， ∵S扇形OEB＝＝（平方英寸）， ∴S阴影＝（﹣）平方英寸， 故答案为：（﹣）． 21．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】如图，连接CG，GE，根据S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD，求解即可． 【解答】解：如图，连接GC，GE， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2， ∴AC＝BC•tan30°＝2，∠A＝60°， ∴AB＝2AC＝4， ∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，AC＝CD＝2， ∴△ECG≌△ACD，且△ECG和△ACD都是等边三角形， ∴∠GCE＝∠ACD＝60°， ∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCB＝30°， ∴S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD ＝S扇形GCD+S扇形CEG﹣S△CEG+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD ＝S扇形CEG﹣2S△CEG+S△ABC ＝﹣2××2×+×2×2 ＝． 故答案为：． 22．如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 　9　m2． 【分析】根据圆周角定理由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，即BC＝6m，根据等腰直角三角形的性质得AB＝3m，然后根据S阴影＝S圆﹣S弓形BDC﹣S半圆BAC即可求解． 【解答】解：如图，连接BC，OA， ∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径， ∴BC＝2×3＝6m， ∴AB＝BC＝3m， ∴S扇形ABC＝＝π（m2）， ∴S弓形BDC＝S扇形ABC﹣S△ABC＝π﹣BC•OA＝π﹣×6×3＝（π﹣9）m2， ∴S阴影＝S圆﹣S弓形BDC﹣S半圆BAC＝π×32﹣（π﹣9）﹣π×32＝9（m2）， 故答案为：9． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为　12﹣　． 【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点， ∴BF＝BG＝2， ∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2， ∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣， 故答案为：12﹣． 24．如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【分析】连接AD，OC，由⊙O是正六边形的外接圆可求得∠COD＝60°，△COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD，根据三角形面积公式可求S△COD，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解． 【解答】解：如图，连接AD，OC， ∵⊙O是正六边形的外接圆， ∴AD必过点O，∠COD＝＝60°， 又∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形，OC＝OD＝CD＝2， ∵直线l1、l2的夹角为60°， ∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD， 即∠COK＝∠DOH， 又∵∠DOH＝∠AOG， ∴∠COK＝∠AOG， ∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA， ∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON， ∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG， ∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD， ∵S扇形COD＝＝π， S△COD＝＝， ∴S阴影＝π﹣． 故选：C． 25. 如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．连接，过点作于点，四边形是菱形可知，再由可知是等 边三角形，，故与为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴与为边长相等的两个等边三角形． ∵， ∴． ∴． 故答案为： 26．如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接OC，BC，可证得， ，，再过点O作于点D，可求得OD、AD，最后根据，即可求得． 【详解】解：连接OC，BC， ， ， ， ， ，， ， 过点O作于点D， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键． 27．如图，在扇形AOB中，OA＝4，C为上的一点，连接AC，BC．如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【分析】连接OC，根据四边形AOBC是菱形得出△OAC和△BOC是等边三角形，再求出扇形OAB和菱形的面积，将两者相减即可解决问题． 【解答】解：连接OC， ∵四边形AOBC为菱形， ∴OA＝AC． 又∵OA＝OC， ∴OA＝OC＝AC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°． 同理可得，∠BOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴＝． 过点O作AC的垂线，垂足为M， ∴AM＝， ∴OM＝， ∴， ∴菱形AOBC的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 28．如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝90°，则图中阴影部分的面积是　4﹣π　 ． 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣扇形EAF的面积，然后代入数据计算即可． 【解答】解：连接AD，如图所示， 由已知可得，AD⊥BC，AD＝AE＝AF＝2，∠EAF＝90°，BC＝4， ∴阴影部分的面积为：﹣＝﹣＝4﹣π， 故答案为：4﹣π． 【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 29．如图，半圆O的直径AB＝3，．E是上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 　　． 【分析】连接OE，可证四边形HOEF是平行四边形，则DF+AH+HF＝3，所以当E与C点重合时，AD弧的长最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的长＝，进而求阴影部分周长的最大值． 【解答】解：连接OE， ∵DE//AB，OF⊥AB， ∴OF⊥DE， ∴DF＝EF， ∵DE∥AB，OH＝EF， ∴四边形HOEF是平行四边形， ∴HF＝OE，DF＝OH， ∵HO＝EF， ∴DF+AH＝HO+AH＝AO， ∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB， ∵AB＝3， ∴DF+AH+HF＝3， ∵点E是上一个动点， ∴当E与C点重合时，AD弧的长最大， 此时阴影部分周长最大， ∵＝3， ∴∠BOC＝45°， ∴AD弧的长＝＝π， ∴阴影部分周长的最大值为π+3， 故答案为：π+3． 30. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 31．如图，在矩形ABCD中AB＝2AD＝2，以点A为圆心，AD的长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BG交CD于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：连接AF，过点G作GH⊥AB于点H，如图， ∵BG为圆的切线， ∴AF⊥BG， ∵以点A为圆心，AD的长为半径作圆，交AB于点E， ∴AF＝AD＝1， ∴sin∠ABF＝， ∴∠ABF＝30°． ∵四边形ABCD为矩形，GH⊥AB， ∴四边形ADGH为矩形， ∴GH＝AD＝1，DG＝AH， ∴BH＝＝， ∴AH＝AB﹣BH＝2﹣， ∴DG＝2﹣． ∴S梯形ADGB＝＝， ∴图中阴影部分的面积为＝﹣＝． 故答案为：． 32. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 33．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，点E是AD中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若图中阴影部分面积为4π，则AD＝　4　． 【分析】连接DF，BD，由平行四边形的性质求出∠ADC＝135°，由切线的性质得出∠FDC＝90°，求出∠BAD＝∠ADF＝45°，证得S△ABE＝S△AFD，由扇形的面积公式可得出答案． 【解答】解：连接DF，BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ADC＝135°， ∵以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D， ∴FD⊥DC， ∴∠FDC＝90°， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝135°﹣90°＝45°， ∴∠BAD＝∠ADF， ∴AF＝DF， 又∵DF＝BF， ∴AF＝BF＝DF＝AD， ∴S△AFD＝△ABD， ∵E为AD的中点， ∴S△ABE＝S△ABD， ∴S△ABE＝S△AFD， ∴S阴影＝S△AFD+S扇形FDB﹣S△ABE＝S扇形FDB＝＝4π． ∴AD＝4， 故答案为：4． 34. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得． 【详解】解：连接AC，延长AP，交BC于E， 在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2， ∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， 在△APB和△APC中， ， ∴△APB≌△APC（SSS）， ∴∠PAB＝∠PAC， ∴AE⊥BC，BE＝CE＝1， ∵△BPC为等腰直角三角形， ∴， 在Rt△ABE中，AE＝AB＝， ∴AP＝﹣1， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝， 故答案为：． 35. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，△OBC绕点B顺时针旋转60°得到△O，BC，，若AB=2，则图中阴影部分面积是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先计算出OB，再判断出阴影部分的面积是两个扇形的面积之差即可． 【详解】解：∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2， ∴， ∵△OBC绕点B顺时针旋转60°得到△， ∴△OBC≌△， ∴S△OBC=， ∵S扇形CBC’=， S扇形OBO’=， S阴影= S扇形CBC’+S△OBC-- S扇形OBO’= S扇形CBC’- S扇形OBO’=， 故答案为：. 36. 如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由切线的性质并结合题意可得，再由平行线的性质和圆周角定理即可得解； （2）由垂径定理可得，弧弧，推出，由勾股定理可得，再由面积法计算即可得解． 【小问1详解】 解：切于点，是半径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接 是直径， ∴，弧弧 ． 是直径， ． ∵， ， ． 37．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC； （2）若AD＝4，AC＝5，则AB的长为　　 ． 【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，证明OC∥AD，根据切线的性质得到OC⊥DC，根据平行线的性质证明； （2）连接BC，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质求出AB． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DC， ∴AD⊥DC； （2）解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴＝，即＝， 解得：AB＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径． 38．如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，使得OC＝CD．过点D作⊙O的切线DB，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，连接OA，AD，BC，AC． （1）证明：AD为⊙O的切线； （2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到∠OAD＝∠OBD，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，根据切线的判定定理得到AD为⊙O的切线； （2）根据直角三角形的性质得到BC＝OC＝OD，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠BOC＝∠AOC， 在△BDO与△ADO中， ， ∴△BDO≌△ADO（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBD， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD为⊙O的切线； （2）解：四边形OACB是菱形， 证明：∵∠OBD＝90°，OC＝CD， ∴BC＝OC＝OD， ∵， ∴AC＝BC， ∵OA＝OB＝OC， ∴OA＝OB＝AC＝BC， ∴四边形OACB是菱形． 39.如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，点在上（不与点重合），连接．若，则求的度数． 【分析】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出的度数是解此题的关键．连接，根据切线的性质求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图所示 连接， 切于， ， ， ， 的度数是， 的度数是， ， 故答案为：． 40.如图，AB是⊙O直径，AB＝20，C为⊙O上一点，过C作⊙O切线，交AB延长线于D，连接OC，过A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，AE＝15． （1）求BD的长度； （2）连接CF，则∠AFC的度数为 　120　°． 【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，推出OC∥AE，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）连接BC，得到OC＝，求得∠D＝30°，得到∠COB＝60°，根据等边三角形的性质得到∠CBO＝60°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵DE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵AE⊥DE， ∴OC∥AE， ∴△ODC∽△ADE， ∴， ∴， ∴OD＝20， ∴BD＝OD﹣OB＝10； （2）连接BC， ∵∠OCD＝90°，OC＝10，OD＝20， ∴OC＝， ∴∠D＝30°， ∴∠COB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∴∠CBO＝60°， ∴∠AFC＝180°﹣∠ABC＝120°， 故答案为：120． 41．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上． （1）EB是⊙O的切线吗？为什么？ （2）若，则∠DBC的度数为 　30　°． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题； （2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下， 连接OB， ∵AC是圆的直径， ∴∠CBA＝90°， ∴∠C+∠CAB＝90°， ∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠C+∠OBA＝90°， ∵∠EBA＝∠C， ∴∠EBA+∠OBA＝90°， ∴半径OB⊥BE， ∴EB是⊙O的切线； （2）连接OD， ∵BD＝AC， ∴BD＝OD＝OB， ∴△OBD等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∵D为的中点， ∴∠COD＝∠BOD＝60°， ∴∠DBC＝∠COD＝30°． 故答案为：30． 42．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC＝CD，∠A＝30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，利用等边对等角求得∠OCA＝30°，∠D＝30°，利用三角形内角和定理求得∠OCD＝90°，即可证明CD是⊙O的切线； （2）证明BE是△OCD的中位线，利用S阴影＝S梯形OBEC﹣S扇形OBC，根据扇形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∵AC＝CD， ∴∠ADC＝∠OAC＝30°， 在△ACD 中，由三角形内角和得： ∠OCD＝180°﹣∠CAD﹣∠ACO﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）得 OC⊥CD， ∴△OCD 为直角三角形， ∵OC＝4，∠ADC＝30°， ∴OD＝8，，∠COD＝60°， ∴BD＝OD﹣OB＝8﹣4＝4， ∵BE⊥ED，∠ADC＝30°， ∴BE＝2，， S阴影＝S△OCD﹣S△BED﹣S酶形OBC ＝ ＝， ∴图中阴影部分的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $