山东省泰安市多校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷

山东省泰安市多校2025-2026学年高二上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若曲线:表示圆,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 2．设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线的方程为，则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3．在等差数列中,,则( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4．在正方体中，E，F分别为，的中点，则( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 5．已知点P在双曲线，上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于，则C的离心率为( ) A.3 B.2 C. D. 6．直线与圆交于A，B两点，，则k为( ) A. B. C. D. 7．在四面体中,平面,,点E,F分别为棱上的点,且,,则直线与直线夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8．已知数列的前n项和为，，，则( ) A.414 B.406 C.403 D.393 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．设等差数列的前n项和为,公差为d,已知,则下列说法正确的是( ) A.的最小值为 B.满足的最小值是14 C.满足的最大n值是14 D.数列的最小项为第8项 10．已知抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上两动点,下列说法正确的有( ) A.抛物线的焦点坐标为 B.若,则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心,线段的长为半径的圆与准线相切 11．如图,正方体的棱长为2,点P在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是( ) A.若点P为线段上的动点,当时, B.若点P为线段上的动点,当时,点到平面的距离为 C.若点O为底面的中心,且,则面积的最大值为 D.若,则点P的轨迹的长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设是公差不为0的等差数列的前n项和,若,则______________. 13．在等腰直角三角形ABC中,,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过的重心,则的周长是______. 14．已知直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知等差数列的前n项和为,. （1）求的通项公式; （2）令,求证:数列等差数列. 16．（15分）如图,在平行六面体中,,,,点P为线段BC中点. （1）求; （2）求. 17．（15分）已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 18．（17分）如图，在四面体中，，，，E、F分别为、的中点. (1)证明：； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆C的方程. （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点. ①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值. 数学答案 1．答案：B 2．答案：C 3．答案：C 4．答案：A 5．答案：D 6．答案：B 7．答案：A 8．答案：B 9．答案：ABD 10．答案：BCD 11．答案：ACD 12．答案：18 13．答案： 14．答案： 15．答案：（1）; （2）证明见解析. 解析：（1）设等差数列的公差为d, 由题可得:,解得, ; （2）由知:,, ,数列是以2为公差,2为首项的等差数列. 16．答案：（1） （2） 解析：（1）设,,,这三个向量不共面,构成空间的一个基底, 则,,, 因为, 所以 （2）由（1）可知, 同理可得, . 所以 . 17．答案：(1)或； (2)； (3) 解析：（1）设直线在x，y轴上的截距分别为a，b， 当时，直线经过原点与，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为， 代入坐标，可得， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. （2）由题意知：点B在直线上，则可设， 中点为， ，解得，. 设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上， 线段的中点在角平分线上，且. 由题意知，解得，即， 因为，所以直线的方程为， 即. （3）由C为直线与直线的交点， 联立，解得，则. 由点D在线段上，由，， 可得，则，即， 可设，又， 因为，所以，解得， 由，，因为，所以存在. 18．答案：(1)证明见解析 (2) 解析：（1）取的中点M，连接、， 因为M、E分别为、的中点，所以， 因为，即，所以，同理可证， 因为，平面，故平面， 因为平面，故. （2）构造直棱柱如图所示，则，因为，则， 因为，，平面，所以平面， 以点C为坐标原点，、所在直线分别为x、z轴， 平面内过点C且垂直于的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，，， 所以二面角的平面角为，则， 因为，，则， 又因为，所以， 所以、、、， 因为E、F分别为、的中点， 所以、，所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 19．答案：（1） （2）①证明见解析； ②证明见解析 解析：（1）因为焦距，即，所以. 又因为椭圆过点，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）证明：由题意知，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为， 设，，. 由得， ， ，. ①因为点P为线段MN的中点，且点P在直线上， 所以，即，即. 所以. 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 即，即. 故线段MN的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得 ， 坐标原点到直线MN的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以取最大值时， . 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $