精品解析：四川省眉山市洪雅县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级（上）期末教学质量检测 数学试卷 2026.01 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）. 1. 下列各数中3.141，，π，，，0.1010010001，…无理数有（ ） A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个 2. 16的算术平方根为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 6. 下列命题中，真命题的是（　　） A. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等 C. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等 7. 如图所示，三角形为直角三角形，分别以三条边为直径向外做半圆，三个半圆的面积分别为，，，则，，三者之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，满足，则以，为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 20 10. 以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是 （ ） A. 5、12、13 B. C. 1、、1 D. 11. 如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形△ABD与△ACE，线段BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠BAC；③∠BFC＝120°，④FA+FB＝FD，其中正确的有（　　）个． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在英文“”中“”出现的频数是____________ 14. 分解因式：_________________ 15. 若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 16. 若，则的值是______． 17. 将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式.若，则x=_________. 18. 如图，在中，，点是外一点，连接，若，则______________ 三、解答题（本大题共8个小题，共78分） 19. 计算： 20. 先化简再求值：，其中 21. 为了解学生选择生物实验的情况，现从该校七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，小红绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题： （1）此次共调查学生 人； （2）将条形统计图补充完整：选择生物实验D所在扇形的圆心角为 °； （3）若该校七年级共有学生800人，请估计选择生物实验E的学生有多少人？ 22. 如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为米，宽为米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加米，宽增加米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含的式子表示） （2）当时，求增加的土地面积． 23. 如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求线段的长． 24. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 25. （1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 26. 已知是等边三角形， （1）如图1，在线段、上各取一点、，、相交于点，若，求证：； （2）如图2，在线段上取一点使得，在线段上有一个动点，、相交于点，连接，若，求的值； （3）如图3，若是等边的中线，点、分别是线段、上的动点，且，当取得最小值时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期末教学质量检测 数学试卷 2026.01 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）. 1. 下列各数中3.141，，π，，，0.1010010001，…无理数有（ ） A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：根据题意，无理数有π，，0.1010010001…，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、无理数等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键． 2. 16的算术平方根为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：16的算术平方根为4； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 4. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 解：如图，， ， 点A在原点右边， 点 A 表示的数为． 故选C． 5. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选B． 6. 下列命题中，真命题的是（　　） A. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等 C. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】真命题是题设成立，结论也成立的命题，由此即可判断． 【详解】解：选项，有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，可根据“角边角”判断这个两个直角三角形全等，符合题意； 选项，周长相等的两个三角形全等，不能确定三边的大小关系，原题不符合题意； 选项，两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等，根据“两边及两边的夹角对应相等则两个三角形全等”可知，原题不符合题意； 选项，全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等，其中“全等三角形的面积相等”成立，“面积相等的两个三角形全等”不成立，原题不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，判断命题的真假就是根据各命题的题设和结论来判断，理解命题中题设和结论的正确与否是解题的关键． 7. 如图所示，三角形为直角三角形，分别以三条边为直径向外做半圆，三个半圆的面积分别为，，，则，，三者之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和圆的面积的应用；利用圆的面积公式表示出、、，然后根据勾股定理即可解答； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果． 【详解】解：由步骤①可知是的垂直平分线，由步骤②可知是的角平分线 ，， 是的角平分线 ， 是的垂直平分线 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键． 9. 已知，满足，则以，为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，等腰三角形的定义和构成三角形的条件，先根据完全平方公式得到，据此求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义讨论腰长为a和b两种情况，进而结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当该等腰三角形的腰长为2时，则三边长分别为2，2，4， ∵， ∴此时不能构成三角形， 当该等腰三角形的腰长为4时，则三边长分别为2，4，4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：A． 10. 以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是 （ ） A. 5、12、13 B. C. 1、、1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，关键是比较两小边的平方和与最长边的平方是否相等． 根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A．∵，∴，∴5、12、13能组成直角三角形； B．∵，∴，∴不能组成直角三角形； C．∵，∴，∴1、、1能组成直角三角形； D．∵，∴，∴能组成直角三角形； 故选B． 11. 如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，如图，延长交于，于．根据三角形内角和性质以及直角三角形的两个锐角互余，得，利用角平分线的性质定理，证明，整理得，结合三角形的面积公式以及进行分析，得出，即可作答． 【详解】解：如图延长交于，于． ， ∴， ∵三角形两内角的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ∵ ，故①正确， ，，， ， ，，， ， ， ，故②正确， ，平分， ， ， 即 ， ， ， ， ， 故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，三角形内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形△ABD与△ACE，线段BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠BAC；③∠BFC＝120°，④FA+FB＝FD，其中正确的有（　　）个． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】证明△ADC≌△ABE，根据全等三角形的性质可推出①③正确，在DF上取一点K，使得FK=FA，可得△AKF是等边三角形，再证明△DAK≌△BAF，可推出④正确，证明AF平分∠DFE，根据三角形外角的性质可推出②不一定成立，故②错误. 【详解】解：如图设AC交BE于点O． ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAC=∠EAB， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD=BE，∠AEB=∠ACD，∠ABE=∠ADC，故①正确 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， ∵△ADC≌△ABE， ∴AM=AN， ∴AF平分∠DFE，∠DFA=∠EFA， 在△ABF和△AFC中， ∠BAF=∠EFA-∠ABF，∠CAF=∠DFA-∠ACD， ∵∠ACD和∠ABF不一定相等， ∴无法判断∠BAF和∠CAF相等，即无法判断AF平分∠BAC，故②错误， ∵∠AOE=∠COF， ∴∠OAE=∠OFC=60°， ∴∠BFC=120°，故③正确， 在DF上取一点K，使得FK=FA， ∵∠AFK=∠AFN=60°， ∴△AKF是等边三角形， ∴AF=AK, ∠DAB=∠KAF =60° ∴∠DAK=∠BAF 又∵AB=AD ∴△DAK≌△BAF(SAS)， ∴DK=BF， ∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确， 故①③④正确选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，与角平分线有关的证明.掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是证明①③的关键，能正确画出辅助线，构造全等三角形是证明④的关键. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在英文“”中“”出现的频数是____________ 【答案】 3 【解析】 【分析】此题主要考查了频数，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数． 根据频数定义可得答案． 【详解】解：在“”中，“”包含两个“a”，“”包含一个“a”，其他部分无“a”， 因此“a”出现的频数为3． 故答案为3． 14. 分解因式：_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解：， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 16. 若，则的值是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于m，n的等式，进而求出答案，正确掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15 ． 17. 将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式.若，则x=_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x即可. 【详解】由题意可得， (x-1)（x+1）- (x-1）2=6， 解得x=4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键． 18. 如图，在中，，点是外一点，连接，若，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，度角的性质． 构造，延长交于E， 连接，延长交于F，再证明，然后证明，根据度角的性质得到，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，构造，延长交于E， 连接，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方和开方，再算加减即可． 【详解】解： ． 20. 先化简再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 当时，原式． 21. 为了解学生选择生物实验的情况，现从该校七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，小红绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题： （1）此次共调查学生 人； （2）将条形统计图补充完整：选择生物实验D所在扇形的圆心角为 °； （3）若该校七年级共有学生800人，请估计选择生物实验E的学生有多少人？ 【答案】（1）200 （2） 补充条形统计图： 108 （3）选择生物实验E的学生有120人 【解析】 【分析】（1）从条形统计图和扇形统计图可知有40人选择实验C，占比为，部分人数除以对应的百分比即为总人数； （2）总人数乘以选择实验B的人数占比为选择实验B的人数，可补充条形统计图；部分人数除以总人数即为对应的百分比，乘以选择实验D的人数占比即为选择生物实验D所在扇形的圆心角度数； （3）七年级总人数乘以选择实验E的人数占比即为七年级选择生物实验E的学生人数． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：200． 【小问2详解】 （人）； ， ； 故答案为：108． 【小问3详解】 （人）． 答：选择生物实验E的学生有120人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、由扇形统计图求总量、求扇形统计图的圆心角和用样本的频数估计总体的频数，熟练掌握相应的计算公式是解题的关键． 22. 如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为米，宽为米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加米，宽增加米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含的式子表示） （2）当时，求增加的土地面积． 【答案】（1）； （2）增加面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，列代数式是解题的关键， （1）利用矩形的面积公式进行作答即可； （2）将分别代入该基地现在的土地面积和原来基地的面积，然后做差即可得出答案． 【小问1详解】 解：(平方米)， 答：该基地现在的土地面积是平方米， 【小问2详解】 解：当时， 该基地现在的土地面积为(平方米)， 原来基地的面积为(平方米)， (平方米)， 答：增加的土地面积是平方米， 23. 如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） ，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． （1）由全等三角形的性质推出，判定； （2）由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 24. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 25. （1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 26. 已知是等边三角形， （1）如图1，在线段、上各取一点、，、相交于点，若，求证：； （2）如图2，在线段上取一点使得，在线段上有一个动点，、相交于点，连接，若，求的值； （3）如图3，若是等边的中线，点、分别是线段、上的动点，且，当取得最小值时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，平行线的性质等， 对于（1），先根据等边三角形的性质得，，再根据三角形的外角的性质求出，然后根据“角边角”证明，则此题可证； 对于（2），分两种情况：当时，可证明，进而得出， 此时，然后则，接下来表示出，可得答案；第二种情况：时，由等边三角形的性质，当时，仍然有，即可求出答案； 对于（3），作，使，连接，先证明，可得，即，当点B，P，F共线时，取得最小值，再根据等腰三角形的性质得，然后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， 设则， ∴， ∴， ∴； 当时，由等边三角形的性质，当时，仍然有， 同理，得． 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：作，使，连接， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，P，F共线时，取得最小值， 如图所示， ∴， ∴， ∴， 所以的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $