上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

吴淞中学高二期末数学试卷 2026.01 一.填空题 1.直线y=√3x+2的倾斜角的大小为 2.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 3.在等比数列{an}中，a4=1,ag=81,则公比q= 4.已知函数f)=x2+1,则1imf2+)-f2) 10 5.方程2 =1表示椭圆方程，则k的取值范围为 k-34-k 6.设x、y∈R,向量a=(x,-1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则 a.b= 7.圆x2+y2-4x+2y+3m2+2m+4=0的圆心在第三象限，则m的取值范围为 8.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则f'(I)= 9.已知数列{a,}满足a=33,a1-an=2n,则的最小值为 10.已知动点P(x,y)满足x2+y2-2|x-21y=0,则x2+y+1)2的最大值为 11.已知点Q(0,2√2)及抛物线y2=4x上一动点P(x,y),则x+|PQ1的最小值为 R、E分别层双曲线C花Q>0,b>0的左、右焦点，点P、b 在C的左、右两支上，且满足FP∥F2,PE⊥PF,|FQ=2|FP|,则C的离心率 二.选择题 13.若动点P到定点F(1,0)和直线1：y=0的距离相等，则动点P的轨迹是() A.线段 B.直线 C.椭圆 D.抛物线 =3-,则=( S 14.己知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且 T.n+5 、b26 77 B.155 149 19 A. C. D. 31 57 55 15.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近 似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半 圆所在的圆过椭圆的右焦点F(6,0),半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=3V2与 半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则△ABF的面积是( 3(W2+1) A. B. 2 9N2+0 4 C.V2+1 D. 9N2+10 16.下列说法正确的是() A.若ab<0,则(a,b)是钝角 B.直线1的方向向量a=(0,1,-1),平面a的法向量n=(1,-1,-1),则1⊥ C.空间-直线1经过点A23,),B0,10,则P3,2)到1的距离为y5 D.若{a,b,c是空间的一组基底，则{a+b,b+c,c+也是空间的一组基底 三.解答题 17.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3,b=9,41=b，a4=b4· (1)求{an}的通项公式： (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式. 18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(3,0),B(1,2)两点. (1)求圆C的方程： (2)过点P(0,2)的直线I与圆C相交于M、N两点，且|MN=2√3，求直线1的方程， 19.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2, CC=3,点D、E分别在棱AA和棱CC,上，且AD=1,CE=2,M为棱AB,的中点. (1)求证：C,M⊥BD: (2)求二面角B-B,E-D的正弦值； (3)求直线AB与平面DB,E所成角的正弦值. E 2 20.已知函数f)=)2+anx (1)若a=-1,求f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值： (2)若a=1,求f(x)在[1，e]上最大值和最小值： (3)若a=1,求证：在区间[山，+o)上函数f)的图象在函数g)=名x图象的下方. 21.设F为椭圆E:女+少 2W2 9+方=16>0)的右焦点，点M, )在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程： (2)设P、Q分别为⊙C:x2+(y-4)2=3和椭圆E上的点，求P、Q两点间最大距离： (3)斜率为k的直线1过抛物线G:y2=8√2x的焦点与G交于C、D,与E交于A、B, 是否存在常数元，使得，1+，月为常数？若存在，求出元的值；若不存在，说明理由。 ABICDI 3 参考答案 一.填空题 3 2.2π，圆锥的底面半径为1，母线长为2，圆锥侧面积为S=πrl=π×1×2=2π· 3. q=±3，在等比数列{an}中，a4=1,as=81,公比为9， ·.由题意可得g=s=81,解得q=±3 a 4.4,:)=2x,f2=4,1im2+0-f②=f2=4 1)0 k-3>0, (》小若方3+1太示圆，则4-0 k-3≠4-k, 解得3<<子或子<<4：ke3引[径4 6.0,由题意，ic=2x+4+2=0,解得x=-3,即a=(←-3，-1,1)，且}=上=} 2-42 解得y=-2,则b=(1,-2,1),则a.b=-3×1+(-1)×(-2)+1×1=0. 7.m<-1,由题可得：圆的方程为：(x-2m)2+(y+1)2=m2-2m-3,圆心坐标为 (2m,-1).因为圆心在第三象限，所以 2m<0 m2-2m-3>0，解得m<-1. 8.24,函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2,则f'(x)=3x2+6ax+b,又f(x)在x=-1处 取得极值0，则 f'(-1)=3-6a+b=0 a=1 a=2 f(-)=-1+3a-b+a2=0,解得 b=3 时， f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意： 当/a2 6=9时，f6)=3x+12x+9=30x+3Xx+),当x<-3或x>-1时，f>0, 当-3<x<-1时，f'(x)<0,所以f(x)在(-0，-3)，(-1，+o)上单调递增， 在(-3，-1)上单调递减，故f(x)在x=-1处取得极小值，符合题意， 所以 6=9f'(=3x2+12x+9,则0=24 a=2 9. 2,由题意可得a,=(a.-a)+(a-a)++(a,-a,)+a 2 =20n-10+20m-2)+…+2+33=[20m-)+2]0m-D+33=m2-n+33, 24 故-广-n+33=n+33-1.由于函数y=x+33在(0，V53)单调递减， n n n 在(N3,+四）单调递增，故当a=n+33-1在n=5,或n=6时取最小值， n n 当a=5时+是1-当n-6时，+识1=名号放会最小道为 n n 625 n 10.7+2√10，依题意，动点P(x,y)满足x2+y2-2|x-2|y=0, 即：当x≥0，y≥0时，x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2: 当x≥0，y<0时，x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2: 当x<0,y<0时，x2+y2+2x+2y=0,即(x+1)2+(y+1)2=2; 当x<0,y>0时，x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2, 由此画出P点对应的轨迹如下图所示， x2+(y+1)2表示点P(x,y)与点(0，-1)两点间距离的平方， 最大值为(V0-0)2+1+1+V2=(5+2)2=7+210 (0,-1) 故答案为：7+2√10 11.2,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),易知抛物线的准线为直线x=-1 设d为点P(x,y)到准线的距离，则x+|PQ=d-1+|PQ曰PF|+|PQ|-1FQ1-1, 当2，P,F共线时取等号，.x+|P9|的最小值是|FQ1-1·Q0,2√2)， ∴.x+|PQ1的最小值是|QF|-1=3-1=2, √29 12. 连接QE,延长QF,与双曲线交于点P 连接FP,如图所示：由FP/1F,Q,根据对称性可知 FP=FP，所以四边形PEPF为平行四边形， 又PE⊥PF，所以四边形PEPF2为矩形，由FQ=2FP, 定义EP=m(m>0),则F,g=2m，由双曲线定义，FP-EP=2a, 且|Fg-F,g=2a，所以|FPl=m-2a,FPl=|EFP叫=m-2a,Fgl=2m+2a 因为lQPl=lF+P'E=2m+m-2a=3m-2a,△FP中，lQPP+|P'E=lF, 且rA-PR=m,6m-2a+m=2m+2a,得网9。，F=m9。 所以F月-9。-2a=音0，在直角三角形RPS中，PF+PKf=Kr。 二.选择题 13.B 14.D,等差数列{a},,}的前n项和分别为S,工，，且三=3n- T,n+5 51(a+as) 51(a1+a51) 51a25= 由等差数列的前n项和公式可得 2 51b26 51(b+b1) 51(b+b1) 2 2 .0题=S1=3x51-_19 .故选：D 51+57 15.B,由题意知，半圆的方程为x2+y2=9(x≤0)， 设半椭圆的方程为 x2.y2 +存=1(a>b>0,≥0)， 则b=c=3,所以a2=b2+c2=18,故半椭圆的方程为 x2,y2 18+9=1(x≥0) 则+=9，所以=5，设叫2 设 2 则+ 2 18 9 2 16.D,根据题意，依次分析选项： 对于A,若a·b<0,则〈a,b)是钝角或平角，故A错误： 对于B,因为直线1的方向向量a=(0,1,-1),平面心的法向量n=(1,-1,-1), 则 0,1-1 ,故ā与元不共线，即1La不成立，故B错误；对于C, 1-1-1 因为A(2,3,1),B(01,0),P 32则=(2-2-（亚=0， .AB⊥AP,故P 对于D,利用反证法的思想，假设a+b,b+c,c+a三个向量共面， 则a+b=x(b+c)+y(c+a),变形可得：(1-y)a=(x-1)b+(x+y),若y=1, 则(x-1)b+(x+1)c=0，则b,c共线，{a,b,c}不能作为空间的一组基底，这与 {a,6,是空间的一组基底矛盾：若y≠1，则a=X-16+X+yc,则有a,6,c 1-y1-y 共面，{a,b,c}不能作为空间的一组基底，这与{a,b,c}是空间的一组基底矛盾， 所以假设不成立，即a+b,b+c,c+a不共面，所以{a+b,b+c,c+a}也是空间的 组基底，故D正确.故选：D. 6 三.解答题 17.1)等比数列{，}的公比g=63 -A=9=3,所以6=2=1b,=hg=27。 q 设等差数列{an}的公差为d·因为a1=b=1,44=b4=27，所以1+13d=27, 即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,)· (2)由(1)知，an=2n-1,bn=3”-.因此cn=an+b,=2n-1+3-1. 从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3”- -+2n-+1-3=+31 2 1-3 2 18.(1)因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(r>0), (3-a)2+02=r2 a=1 因为圆C经过A(3,0),B(1,2)两点，所以 (1-a)2+22=r2 ，解得 r=2 所以圆C的方程为(x-1)2+y2=4: (2)由(x-1)2+y2=4,可得圆心C1,0),半径为r=2, 因为直线I与圆C相交于M,N两点，且|MN=23, 所以恩心C到直线1的距离为d--(-1 当直线1的斜率不存在时，直线1为x=0,满足题意： 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=c+2,即c-y+2=0, +2=1,解得k=-3,所以直线1的方程为y=4x+2, 3 3 则 V1+k2 4 4 即3x+4y-8=0,综上直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0. 19.以C为原点，CA,CB,CC的方向为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3), E A(2,0,3),B(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3), D (1)证明：依题意，CM=(1,1,0),B,D=(2,-2,-2), ∴.CM.B,D=2-2+0=0,∴.CM⊥B,D; (2)依题意，CA=(2,0,0)是平面BB,E的7个法向量，EB,=(0,2,1),ED=(2,0,-1), i.EB=0「2y+z=0 设i=(x,y,z)为平面DB,E的一个法向量， i.ED=0’2x-z=0 ,设x=1, CA.n6 .二面角B-BE-D的正弦值 V30 6 (3)依题意，AB=(-2,2,0),由(2)知，n=(1,-1,2)为平面DB,E的一个法向量， .cos(4B,n)=- AB.i3 ，∴直线AB与平面DBE所成角的正弦值为- 5 AB3 3 20.(1)当a=-1,f)=号x2-1nx定义域为0，o),f=x-1--x+D 故f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数， 故f)在x=1处取得极小值f0-2: (2)当a=1时，f,=)2+lnx的定义域为(0，+o∞)，f)=x+>0 故fw)在Le上是增函数，故人6)=f0=2)=e)=+1: 3证明：令F四=8四-f网5r'-)2-nr 则0=2F--2.xel*or≥0， F)在L,+0)上是增函数，故F()≥F0=L>0: 6 2 故在区间山，+o）上，函数f的图象在g)=专r的图象下方. 21.(1)将M 代入椭圆方程得二+ 。+8宁1可得：6=1，所以椭圆文+产=13 9 (2)因为|P9SQC1+r,r=V3,所以只需找到|QC1的 最大值即可，设Q(x,y),而C(0,4),则|QC2=x2+y-4)2, 由+少=1可得x2=91-少），代入消去x可得： 9 2 0C=91-y2)+0y-42=-8y2-8y+25=-8y++27, 8 因为y[-1,山，所以当y=-号时，1QCEm=27→0Cs33 从而|P9SQC|+r≤4v3: (3)设直线1：y=k(x-2V2),A(x,y),B(x2,2),C(x,),D(x4y4), 与椭圆联立方程： 2今9+x-36N2x+72k-90 28不，*--9 36V2k2 6k2+ ∴.x1+X2= 直线与抛物线联立方程： 22s-x80 4V2k2+8V2 ∴.x3+x4= k2 ：CD是焦点弦，CD5+5+4W2-82(+ k2 、1+元=1+9k2 Ak? 4W2+36W2k2+3元k24V2+(362+3元)k2 1AB11CD16(k2+1)82(k2+1) 242(k2+1 242(k2+1 若 为数则365+32-452- 2,常数为· 所以存在实数=32V2 .使 为常数. ABI CD 9