精品解析：广东省汕头市金平区2025-2026学年上学期八年级数学期末卷

2025-2026学年度第一学期八年级教学质量监测数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 年月日是第个全国消防日.国务院安委会办公室、国家消防救援局定于月份在全国开展消防宣传月活动，主题是“全民消防、生命至上——安全用火用电”．认识并熟记常见的消防标识，既是个人安全素养的体现，也是应对火灾等紧急情况的“必备技能”．以下文字上方的消防标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 22 B. 30 C. 31 D. 33 9. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 24 C. 30 D. 150 10. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（ ） A. 84 B. 48 C. 42 D. 24 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 计算：_____． 13. 因式分解：_______． 14. 如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 15. 在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为，，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，．已知组合图形各顶点的坐标如图所示，则此组合图形的重心坐标为_____． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图是一个五角星， （1）是三角形_____的外角，是三角形_____的外角． （2）请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是等边三角形． （2）如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 20. 潮汕海鲜丸子品类丰富，其中达濠鱼丸，是潮汕家庭的“暖心味”．炸虾丸潮菜宴席上的“鲜之精华”，某店虾丸比鱼丸每斤贵45元，用800元购买虾丸的斤数是用175元购买鱼丸斤数的2倍． （1）求该店虾丸和鱼丸单价分别是多少元/斤？ （2）若公司计划购买虾丸和鱼丸共100斤，且所花费用不超过5300元，求最多能购买几斤虾丸？ 21. 综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_____． （2）的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． （3）计算：． （4）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 23. 通过对图1中数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点． 由，， 得． 又， ． _____，_____ _____． 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；请补全上面的证明过程． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，过作于点，延长交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，其中正方形和正方形的面积分别是4和9，的面积为，的面积为，的面积为，则的值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级教学质量监测数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 年月日是第个全国消防日.国务院安委会办公室、国家消防救援局定于月份在全国开展消防宣传月活动，主题是“全民消防、生命至上——安全用火用电”．认识并熟记常见的消防标识，既是个人安全素养的体现，也是应对火灾等紧急情况的“必备技能”．以下文字上方的消防标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是做题的关键．根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故不符合题意； B. 不是轴对称图形，故不符合题意； C. 是轴对称图形，故符合题意； D. 不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．直接运用全等三角形的性质求解即可． 【详解】， 故选：C． 3. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．去分母时，方程两边同乘最简公分母，注意符号变化，即可作答． 【详解】解：∵， 则， 整理得， 故选：B． 4. 如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 故选：B． 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质和变形，分式变形需基于分式基本性质，分子分母同乘或同除同一非零整式，分式的值不变，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 22 B. 30 C. 31 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，先根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∴， 故选：B． 9. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 24 C. 30 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解的应用．先对原式提取公因式，再对括号内的多项式利用完全平方公式进行分解，将原式化为，然后代入已知条件求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， 故选：D． 10. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（ ） A. 84 B. 48 C. 42 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ；  故选：A． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 计算：_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算．先化简零指数幂和负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案． 【详解】 故答案为： 14. 如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 【详解】解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 15. 在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为，，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，．已知组合图形各顶点的坐标如图所示，则此组合图形的重心坐标为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：延长交于，如图 长方形的重心坐标，面积为 长方形的重心坐标，面积为 组合图形重心坐标，， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【答案】 解：可添加，证明如下： ，点，在线段上， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键；利用全等三角形的证明方法添加条件证明即可． 【详解】略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再运算乘法，然后运算减法，得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时，． 18. 如图是一个五角星， （1）是三角形_____的外角，是三角形_____的外角． （2）请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理， （1）根据三角形外角的定义可得是的外角，是的外角， （2）由三角形外角的性质可推出，再由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：是三角形的外角，是三角形的外角， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，是的外角，是的外角， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是等边三角形． （2）如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2） 证明和是等边三角形， ，， ， 即， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得，进而得证； （2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到，，再利用证得，进而可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 潮汕海鲜丸子品类丰富，其中达濠鱼丸，是潮汕家庭的“暖心味”．炸虾丸潮菜宴席上的“鲜之精华”，某店虾丸比鱼丸每斤贵45元，用800元购买虾丸的斤数是用175元购买鱼丸斤数的2倍． （1）求该店虾丸和鱼丸单价分别是多少元/斤？ （2）若公司计划购买虾丸和鱼丸共100斤，且所花费用不超过5300元，求最多能购买几斤虾丸？ 【答案】（1）虾丸80元/斤，鱼丸35元/斤 （2）40斤 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据某店虾丸比鱼丸每斤贵45元，用800元购买虾丸的斤数是用175元购买鱼丸斤数的2倍，进行列方程，解方程，即可作答． （2）理解题意，结合公司计划购买虾丸和鱼丸共100斤，且所花费用不超过5300元，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设虾丸元斤，则鱼丸元斤， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ， 该店虾丸80元/斤，鱼丸35元/斤； 【小问2详解】 解：设购买虾丸斤，则购买鱼丸斤， ， 解得：， 最多能购买40斤虾丸． 21. 综合与实践 【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短． 【解决问题】如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，_____， _____． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请分别在和上各找一点，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，，当的周长取最小值时，的大小为_____度． 【答案】[解决问题] ，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； [知识应用] 如图，即为所求， ； [知识拓展] 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂直平分线的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； [解决问题]根据轴对称的性质，三角形三边关系即可求解； [知识应用] 分别作关于的对称点，连接交分别于点，连接，即可求解； [知识拓展]根据作图可得垂直平分，垂直平分，设，，进而表示出，即可求解． 【详解】[解决问题]解：如图，在平面镜上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． 故答案为：，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边． [知识应用]略 [知识拓展]∵作图可知关于的对称点分别是， 即垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_____． （2）的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． （3）计算：． （4）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】（1） （2）， （3）64 （4） 证明：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 【解析】 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． 【小问3详解】 解：通过规律可知， 令得到， ∴． 【小问4详解】 略 23. 通过对图1中数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点． 由，， 得． 又， ． _____，_____ _____． 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；请补全上面的证明过程． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，过作于点，延长交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，其中正方形和正方形的面积分别是4和9，的面积为，的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】（1），，； （2）证明：如图，过点作于点，过点作与的延长线交于点， 由“字”模型可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，含30度的直角三角形，能够读懂题意作出辅助线证明三角形全等是解题关键； （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点，过点作与的延长线交于点，由“字”模型可知，，，得到，，再证得，进而得到； （3）过点作与的延长线交于点，过点作与交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，的延长线与交于点，由“字”模型可知，，，进而证得，得到，再证，，得到，，进而，再利用含30度的直角三角形性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作与的延长线交于点，过点作与交于点， 过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，的延长线与交于点， 由“字”模型可知，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形和正方形的面积分别是4和9， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $