精品解析：四川省绵阳市平武县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋九年级（上）期末教学质量监测试卷 （数学） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照要求将一元二次方程化成的形式，然后确定的值即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的一般形式为：． 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中的不可能事件是（ ） A. 常温下加热到水沸腾 B. 3天内将下雨 C. 经过交通信号灯的路口遇到红灯 D. 三根长度分别为2、3、5的木棒摆成三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A.常温下加热到100℃水沸腾，是必然事件，故A不合题意； B.3天内将下雨是随机事件，故B不合题意； C.经过交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故C不合题意； D.三根长度分别为2、3、5的木棒摆成三角形是不可能事件，故D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，根据垂径定理，由可求出的长，设的半径为，则，表示出，在中，根据勾股定理建立关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：连接， 寸， 寸， 设的半径为，则， 寸， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 寸， 故选：D． 5. 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 6. 点钟后，从时针到分针第二次成角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了钟表问题、一元一次方程的应用，解题的关键是掌握分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为． 先设共经过分钟，根据点钟可知现在时针与分针的角度为，再根据时针每分钟转过的角度为度，分针每分钟转过的角度为6度，可得时针走的角度为，分针走的角度为，最后根据时针到分针第二次成角列出方程求解即可． 【详解】解：设共经过分钟， 据题意得： 解得： 答：共经过分钟． 故选：D． 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据圆周角定理可得，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径， ∴阴影部分的面积=扇形的面积的面积 ， 故选：C． 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到的取值范围，进而求解，即可解题． 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抓住三要素：旋转中心是原点，旋转方向是顺时针，旋转角度是，据此画图得到点及其坐标． 【详解】解：如图所示：将点A顺时针旋转得到点，其坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查在直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是根据旋转的三要素画图得到所求点的坐标． 10. 的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 4或5 D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，构成三角形的条件，可证明，则原方程有两个不相等的实数根，进而可得是原方程的一个解，把代入原方程求出k的值，进而求出对应情形下方程的两个根，再根据构成三角形的条件判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∵中只有两条边相等，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根， ∴，即或， ∴是原方程的一个解， ∴， 解得或， 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或， 故选：B． 11. 已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根, 解得：且 则的最大整数值是 故选C. 12. 如图，点C在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论：①；②；③线段的最小值为；④当时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是．其中正确的结论的序号为（　　） A. ①②③⑤ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①由对称证明出，得到只有当时，；②由点与点关于对称可得，再根据即可证得；③根据“点到直线，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值；④连接，证得是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切；⑤首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：①连接，如图1所示， 点与点关于对称， ， ， ， ， ，， ， 只有当时，，故①错误； ②， ， ，故②正确； ③当时，如图2所示， 是半圆的直径， ， ， ，， ， ， ， 根据“点到直线，垂线段最短”可得：点D在线段上运动时，的最小值为， ， ， 线段的最小值为，故③正确； ④当时，连接，如图3所示， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， 经过半径的外端点， 与半圆相切，故④正确； ⑤点与点关于对称，点与点关于对称， 当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， 扫过的图形就是图5中阴影部分， ，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，是上一点，点是弧的中点，于点，交于点，已知，的半径为2，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、等边三角形判定与含的直角三角形的性质，关键是通过弧中点推导垂直关系，结合中位线定理与角度关系，利用含的直角三角形的性质计算线段长度． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点． ∵，的半径为， ∴，为等边三角形， ∴； ∵点是弧的中点， ∴， ∴，且为的中点． ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，，， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 15. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，进而得出，根据抛物线开口向上，最小值即为时的函数值，代入，即可 【详解】解：∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性求得对称轴是解题的关键． 18. 已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的性质，直角三角形内切圆的性质，勾股定理，完全平方公式及直角三角形的面积公式．利用直角三角形外接圆半径与斜边的关系求斜边，再通过内切圆半径公式求两直角边和，结合勾股定理和完全平方公式求两直角边乘积，最后计算面积． 【详解】解：如图，点O是的外心，点D是的内心，E、F、M是的内切圆与各边的切点， 设，，则有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为28， 故答案为：28． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 【答案】（1）， （2）， （3）每个枝干长出6个小分支 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①利用配方法求解方程即可； ②利用因式分解法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程． 【详解】（1）解方程① ， ， ， ， ，； ② ， ，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支， 由题意得：， 解得， 由于实际问题，故， 即每个枝干长出6个小分支． 20. 学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字、0、0、1、1、1． （1）若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率． （2）同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，列表法与树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，列表得出所有等可能结果是解题关键． （1）先整理得出，再依题意，列表得一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）结合（1）的列表情况，得一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵有实数根， ∴， 依题意，列表得： a b 1 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果， ∴方程有实数根的概率； 【小问2详解】 解：依题意，且结合（1）的列表情况， 一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果， ∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 21. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得： ， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 略 22. 在和中，，，，连接，． （1）如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段与总保持相等的数量关系，请说明理由． （2）如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线与的交点，当E在延长线上时，求线段的长度（只求图中的情况）． （3）在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线与射线的交点，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明即可； （2）利用得到，进一步通过得到，即可得答案； （3）分当点P在线段上和当点P在线段的延长线上两种情况进行计算． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∵为正方形，如图，当点P在线段上时， ∴， ∴ ， 当点P在的延长线上时， ； 综上所述，或． 【点睛】本题是几何变换题，主要考查了正方形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形进行边和角的转化是解决问题的关键． 23. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 【答案】（1） （2）①②4，（或1.6）③见解析 （3）点C坐标为或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设点C的坐标为，可得点C到原点的距离：，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴重物B所受拉力为， 【小问2详解】 解：①由得，则， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； ②当时，； 当时，，故答案为：4，（或1.6）； ③列表如下． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点：3．连线，可得该函数的图象，如下图即为所求： 【小问3详解】 解：∵点C在函数的图像上； ∴设点C的坐标为； 则点C到原点的距离： 当且仅当，时，d取最小值为（或）； ∴（或）； ∴点C坐标为或； 24. 点O是的外接圆，为直径，在中，，，． （1）求的度数； （2）当时，求； （3）连接交于点M，过点M作交于点N，探究，，三者之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由圆的基本性质及可判定，由全等三角形的性质得，由直角三角形的特征得，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，即可求解； （2）连接CH，、B、D、H四点共圆，由圆周角定理得，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的定义得为等腰直角三角形，作交于，由等腰三角形的性质及正切函数得，，设，则，，即可求解； （3）过点M作于T，可证明，得到，则，据此可证明；证明，由（1）可得，则，解直角三角形得到；则在中，由勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接，， 为直径，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接CH， ， 、B、D、H四点共圆， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 作交于， ， ， 设，则，， ， ． 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理，全等三角形的判定及性质，三角函数等；掌握圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，三角函数进行求解是解题的关键． 25. 已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，面积最大值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于， 设点，则， ， ， ， 当时，最大，为； 【小问3详解】 解：∵ ∴当和相似有两种情形， ①当时 ∴ ∴ 设直线的解析式为，将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ ②当时 ∴ ∵，， ∴ ∴ 设 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级（上）期末教学质量监测试卷 （数学） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件中的不可能事件是（ ） A. 常温下加热到水沸腾 B. 3天内将下雨 C. 经过交通信号灯的路口遇到红灯 D. 三根长度分别为2、3、5的木棒摆成三角形 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 5. 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 点钟后，从时针到分针第二次成角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）． A. B. C. D. 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 4或5 D. 任意实数 11. 已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 12. 如图，点C在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论：①；②；③线段的最小值为；④当时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是．其中正确的结论的序号为（　　） A. ①②③⑤ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，是上一点，点是弧的中点，于点，交于点，已知，的半径为2，则的长为__________． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 15. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 18. 已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 20. 学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字、0、0、1、1、1． （1）若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率． （2）同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 21. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 22. 在和中，，，，连接，． （1）如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段与总保持相等的数量关系，请说明理由． （2）如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线与的交点，当E在延长线上时，求线段的长度（只求图中的情况）． （3）在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线与射线的交点，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值． 23. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 24. 点O是的外接圆，为直径，在中，，，． （1）求的度数； （2）当时，求； （3）连接交于点M，过点M作交于点N，探究，，三者之间的数量关系． 25. 已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $