江西省九江市同文中学2025-2026学年九年级数学12月月考卷

九江市同文中学2025-2026学年度上学期12月统一练习 九年级数学试卷 考试范围：九上全部内容；考试时间：120分钟；试卷满分：120分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+a2-1=0的常数项为0，则a的值为() A.±1 B.1 C.-1 D.0 2.如图所示几何体的俯视图是() D 3.某数学兴趣小组利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率的试验时，统计某 一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是() 频率 0.4- 0.3 0.2 0.1 0 100200300400500600转动次数 图① 图② A.转动转盘后，出现比5小的数 B.转动转盘后，出现奇数 C.转动转盘后，出现能被5整除的数D.转动转盘后，出现3的倍数 4.如图，AB∥CD∥B,AC与BD交于点B,若CB=3,c=2,AB=8C,则DE=() DB A为 B. C.2 D.3 5.如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，若EC=3,EB=1,则BD的长为() A.4 B.3 C.2 D.1 6.在探究“反比例函数的图象与性质”时，初三(1)班学习小组先将直角边长为5个单位长度的等腰 直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC,BC分别落在x轴负半轴、y轴正 半轴上（如图所示)，然后将三角板向右平移α个单位长度，再向下平移α个单位长度后，小明发 现A,B两点恰好都落在函数y=6的图象上，则a的值为() A.2或3 B.3或5 C.2或5 D.2 试卷第1页，共5页 B 第4题图 第5题图 第6题图 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.已知点AL),B(4,)均在反比例函数y=k>0)图象上，则y为（填<、>、=）. 8.现有四张外观、形状、大小完全相同的卡片，卡片的正面分别写有数字-1、0、2、3，将这四张 卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记 下数字，得到的数字分别记为a、b,则数字a、b的积为负数的概率为 9.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图， 即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618)，若车头与倒车镜的水平距离为1.91m,则该车车身总 长为m. 10.如图，菱形ABCD中，∠B=45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F,作EG⊥BC 于点G,若EF+EG=3,菱形ABCD的面积为 11.己知实数x满足(x2-x)-4(x2-)-12=0,则代数式x2-x+1的值为 12.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5,0)，点C的坐标为(0,4)，四边形ABC0为矩形， k 点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线=上，则k值可以是 D 1.91 第9题图 第10题图 第12题图 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)解方程：x2-2x-2=0 (2)如图，己知△ABC∽△A'B'C',AD,AD分别是它们对应的 高线，已知A=,若AD=10,求4D的长， B'万 第13题图 试卷第2页，共5页 14.如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选 择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位)· ① ③ (1)甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是 餐 桌 (2)若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列 ② 表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率. 回 第14题图 15.体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球是学生喜爱的两个体育项目，某体育用 品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为65元，销售价为88元.经统计， 8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套. (1)求这种跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式.调查 发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400 元，这种跳绳和排球套装的销售价应降低多少元？ 16.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上， 请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） ()在图1中的边AB上确定一点D,使CD=AB. 21 (2)在图2中的边AB上确定一点E,使AE=2. 图1 图2 第16题图 17.己知：如图，在△ABC中，点D是边AC上的一点，∠DBC的平分线交AC 于点E,且AE=AB. (1)求证：△ABDP△ACB: (2)若AD=5,CD=4,求AB的长. 第17题图 四、（本大题共3小题。每小题8分，共24分） 18.如图，在口ABCD中，对角线BD⊥AB,E为BC的中点，分别延长AB 和DE,两线相交于点F,连接ABE,CF. (I)试判断四边形BFCD的形状，并证明你的结论； (2)若AB=1,BC=2,求AE的长. 第18题图 试卷第3页，共5页 19.如图，一次函数y=-x+4的图像与反比例函数y=(:>0)的图像交于点 A(3)和B(3,n). (1)求反比例函数解析式： (②)当x为何值时，-x+4≤《： 第19题图 (3)若点P是线段AB的中点，求△POB的面积. 20.在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼AB,其垂直于水平地面 BD,他萌生了测量该建筑高度的想法.他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡 DC上（如图所示），他测得地面上的影长BD为86米，坡面上的影长DC为12米，已知该山坡与 水平地面形成的锐角为30°.与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米.（参考数 据√5≈1.73) D 2.4 第20题图 (1)求点C到水平地面的距离： (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.定义：若关于x的一元二次方程2+bx+c=0(a≠0)两个实数根分别为x1,(:<x),分 别以，1，x,为横坐标和纵坐标得到点M(x,x),则称点M为该一元二次方程的衍生点. (1)直接写出方程x2+2x=0的衍生点M的坐标为 ； (2)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0,求该方程衍生点M的坐标； (3)已知不论(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=c+3(2-)上， 求b,c的值. 试卷第4页，共5页 2.如图1，一-次函数y=kx+b与反比例函数y=飞在第一象限交于M0,0、N6,m两点，点P 是x轴负半轴上一动点，连接PM,PN, (1)求反比例函数及一次函数的表达式： (2)若△PMN的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，若点E为直线PM上 一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点 F,使得以点E、F、MN为顶点的四边形是平行四 图1 图2 边形？若存在，直接写出点E的坐标：若不存在，请 第22题图 说明理由。 六、（本大题12分） 23.综合与实践 【问题呈现】 (1)如图①，△AOC和△ADE都是等腰直角三角形，∠AOC=∠ADE=90°，连接OD,CE,则OD, CE之间的数量关系是 ,∠OCE= (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D(不与点B,C重合)是直线CB上的一动 点，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得到DE,连接CE,AE. 【类比探究】 ①如图②，点D在线段CB上时，求证：AC-CE=√2BD. 【拓展提升】 ②如图③，AB=AC=4√2，在点D运动的过程中，当∠CAE=60°时，请直接写出CD的长. E E 图① 图② 图③ 第23题图 试卷第5页，共5页 《九江市同文中学2025-2026学年度上学期12月统一练习》参考答案 1.C2.D3.D4.B5.A6.A 7.>8.年9.510.95 11.712.10或12或8. 13.(1)x=1+3,x2=1-V3;(2)8. 【详解】（1)解：x2-2x-2=0,a=1,b=-2,c=-2, △=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=4+8=12, x=b1瓜.2生匝2生25t5,5=1+V5,x=1-5, 2a2 2 (2)解：：知△ABC∽△ABC,AD,AD分别是它们对应的高线，AD=B= AD=10,.A'D'=8. 4.四四号 【详解】(1)解：，一张空餐桌共4个座位，∴.甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座 位上的概率是，故答案为：： (2)列表如下：（横向表示甲坐的位置，纵向表示乙坐的位置） ① ② ③ ④ ① (②，①) (③，①) (④，①) ② (①，②) (③，②) (④，②) ③ (①，③) (②，③) (④，③) ④ (①，④) (②，④) (③，④) 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③， ①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种， ·甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为8-2 123 15.(1)25%(2)降低8元 【详解】(1)解：设该款跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率为x. 根据题意，得2561+x)2=400,解得x=0.25=25%,x,=-2.25(不符合题意，舍去)， 答：月平均增长率为25%： (2)解：设该款跳绳和排球套装售价降低y元，根据题意，得(88-y-65)(400+20y)=8400, 答案第1页，共5页 解得乃=8，y2=-5(舍去)， 答：该款跳绳和排球套装降低8元时，月销售利润达8400元. 16.(1)见解析(2)见解析 【详解】(1)解：如图，取格点M,连接CM交AB于点D,则CD即为所作，，由格点 的特点可得，四边形ACBM为矩形，由矩形的性质可得，AD=BD,∠ACB=90°，再由直 角三角形的性质可得，CD=4B: (2)解：如图，取格点N,连接CN交AB于点E, 点E即为所作，由格点的特点可得：AN∥BC, ANEn△BCE,C=BE，即2=AE P3BE 图1 图2 .AE+BE=5,.AF=2. 17.(1)见解析(2)3√5 【详解】（I)解：.'AE=AB,.∠ABE=∠AEB,BE平分∠DBC,.∠DBE=∠CBE, :∠ABE=∠ABD+∠DBE,∠AEB=∠C+∠CBE,·∠C=∠ABD,又：∠A=∠A, .△ABD△ACB； (2)解：.AD=5,CD=4,AC=AD+CD=5+4=9,:△ABD∽△ACB, AD AB.5AB ABAC’· AB=9,AB=45,AB>0,∴AB=3W5，,AB=AB=35. 18.(1)四边形BFCD是矩形，证明见解析(2)√5 【详解】(I)解：四边形BFCD是矩形，证明如下： ,口ABCD,.AB∥CD,AB=CD,.∠EBF=∠DCE,E为BC的中点，.BE=CE, ,∠BEF=∠DEC,,△BEF≌ACED(ASA),∴，EF=DE,,BE=CE,∴.四边形BFCD是 平行四边形，，BD LAB,∴四边形BFCD是矩形 (2)解：，GABCD,AB=1,BC=2,.CD=AB=1,:四边形BFCD是矩形， ÷BF=CD=1,D5=BC=2,B服=号BC=LBF=DF=1, .BE=EF=BF=AB=1,∠FAB=∠BEA∴.△BEF是等边三角形，∠FAB=∠BEA, AF=AB+BF=2,.∠AFE=∠FBE=60°，，∠FBE=∠FAB+∠BEA=60°， .∠FAB=30°，.∠AEF=180°-∠FAE-∠AFE=90°，∴.AE=√AF2-EF2=V22-12=V5 答案第2页，共5页 19.(四y=2)0<x≤1，x233)Saam=2 【详解】(1)解：把A(3)代入y=-x+4,∴得m=1,则A13),:点A3)在y=在上， k=3,反比例函数为y=3； (2)解：由图像可知，当0<x<1,x之3时，-x+4≤ (3)解：连接OA,作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D, ,B(3,n在直线y=-x+4上，.n=-3+4=1,.B(3,1), B 0800+0=CDx31)x(3-D=4. 2 D 1 “点P是线段AB的中点，·Saos2S409=2. 20.(1)点C到水平地面的距离为6米；(2)小明测得的九天楼高度为70米. 【详解】(1)解：过C作CH⊥BD交BD延长线于H,在Rt△CDH中，∠CHD=90°， ∠CDH=30:.CH=CD=x12=6(米)：答：点C到水平地面的距离为6米： 2 2 (2)解：过H作HE∥AC交AB于E,,AE⊥BD, CH⊥BD,∴，AE∥CH,∴四边形AEHC为平行四边形 ∴.AE=CH=6米在Rt△CDH中，∠CHD=90°， DH=VCD2-CH2=V122-6=65(米) BH=BD+DH=86+6√3（米），身高1.6米的小明在 水平地面上的影长为2.4米，BE=1.6_2, B阳243，即 565-号解得BE6+6)=64, BE 2 ∴.AB=AE+BE≈6+64=70（米)·答：小明测得的九天楼高度为70米. 21.(1)(-2,0)(2)①(m,m+2):②b=-9,c=18 【详解】(1)解：x2+2x=0,方程左边分解因式，得x(x+2)=0,所以x+2=0或x=0, 解得：=-2，x2=0,.方程x2+2x=0的衍生点M的坐标为(-2,0)，故答案为：（-2,0)： （2)①解：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2m=0,a=1,b=-2(m+1),c=m2+2m, A=6-4ac=[-2m+-m2+2鸿=4>(x=20m+生4=m,x=m+2, 2 ,方程的衍生点M为(，m+2); 答案第3页，共5页 ②.y=x+3(2-k)=k(x-3)+6,.直线过定点M(3,6),,关于x的方程x2+bx+c=0的 衍生点M始终在直线y=c+3(2-k)上，.方程x2+bx+c=0的两个实数根为=3，x2=6, .x+x2= -b=3+6=9,%-c=3x6=18,b=-9,c=18 1 22.1)反比例函为y=6,一次函数表达式为y=-2x+8(②P(-2,0) (3)存在，点E的坐标为(4,12)或(2,8)或(-2,0) 【详解】(1)：反比例函数y=k的图象经过M0,句、N3,m两点，：k,=1x6=3, 解得：k2=6,=2.N(3,2),由点MN的坐标得，直线MN的表达式为：y=-2x+8: “反比例函数表达式为y= ,一次函数表达式为y=-2x+8: (2)如图，设直线MN交x轴于H,过点M作MDLx轴于D,过点N作NE⊥x轴于E, 设P(x,0),:M,6),N(3,2),·.MD=6,WE=2直线N的表达式为：y=-2x+8,则 H(4,0),.PH=4-x, Sw=8w-Sw-xPH×MD-z)=4-6-2）-124-06-2)=12, 2 解得：x=-2,.P(-2,0): (3)存在，点E的坐标为(4,12)或(2,8)或(-2,0).由点P、M的坐 标得，直线PM的解析式为y=2x+4,设E(t,2t+4),，F(0,s) .M1,6,N(3,2), PODEH 当N、EF为平行四边形对角线时，N与EF的中点重合， [1+3=t 5=-4 6+2=21+4+5’解得： 则 t=4,B412),F0-49: 当ME、NF为平行四边形对角线时，ME与NF的中点重合， t+1=3 5=12 21+4+6=5+2,解得： 则 {1=2,B2,8,F012): 当EN、MF为平行四边形对角线时，EN与MF的中点重合， 3+t=1 5=-4 21+4+2=5+6’解得： 则 t=-2'B(-2.0),F0-40: 综上所述，点E的坐标为(4,12)或(2,8)或(-2,0). 答案第4页，共5页