精品解析：河北省廊坊市霸州市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末教学质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个黑体汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 将数字写成形式，其中，n由原数左边第一个非零数字前的0的个数决定． 【详解】解：∵的小数点向右移动6位得到， ∴． 故选：A． 3. 图中两个三角形是全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形对应角相等得到，即可求解． 【详解】解：如图， 由三角形内角和定理可得， ∵两个三角形是全等三角形，且与是对应角， ∴， 故选：D． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，逐一验证各选项． 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：B． 5. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的特征，根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称， 横坐标不变，为5；纵坐标变为相反数，为7， 对称点的坐标为， 故选：C． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的三条对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 成轴对称的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．本题考查逆命题的真假判断，需写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假. 【详解】解：A、逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，∵绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴是假命题. B、逆命题为如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等，∵根据全等三角形的判定定理，三边对应相等则三角形全等，∴是真命题. C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，∵锐角三角形不一定三边相等（如三边不等的锐角三角形），∴是假命题. D、逆命题为如果两个三角形全等，那么它们成轴对称，∵全等三角形不一定对称（如通过平移重合），∴是假命题. 故选：B． 7. 如图，在中，，，是的外角的平分线，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求得，，再根据角平分线的定义求得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，，则高与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 详解】解：，， ，即， ， 故选：B 9. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质. 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 10. 如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，三角形外角的性质，以及角所对的直角边等于斜边的一半． 由与的度数均为，的长为10米可得，米，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵与的度数均为，的长为10米， ∴，米， ∵在处立了一根与水平方向垂直立柱， ∴米． 故选A． 11. 如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识点有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号，合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 12. 如图，中，延长，，的平分线与的平分线交于点，过点作于点，于点，于点，连接，则下列结论中正确的有（ ） ①平分；②；③点到，，的距离相等；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质． 由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的性质可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ③∵， ，，， ∴点到，，的距离相等；故③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，故④正确； 可知正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系作答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为7，11，， ∴， 即． 故答案为：． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此求解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 16. 若的展开式中不含的一次项，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）使用分配律计算单项式乘以多项式； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再依次进行单项式的除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； （2）在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握轴对称性质，是解决本题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，关于直线n的对称点、、，连接点、、，连接点、、，得到和，即为所求； （2）连接交直线n于点P，连接，根据两点之间线段最短可知，此时最小，所以的周长最小． 【小问1详解】 解：如下图所示，分别作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，连接点、、，得到； 分别作出点A、B、C关于直线n的对称点、、，连接点、、，得到， 和 即为所求； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，交直线n 于点P，连接， 此时的周长最小， 理由如下：由（1）知，点B、关于直线n对称， ， ， 根据两点之间线段最短， 可知最小， ∴的周长最小． 19. 下面是嘉嘉化简分式的过程： 解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………………………第三步 （1）嘉嘉的化简过程从第______步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二 （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． （1）第二步分子相减时，符号出现错误； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法化为乘法运算，则约分得到最简结果，然后选择适当的a值代入计算即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉的化简过程从第二步开始出现错误； 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ； ∵，，， ∴， ∴符合条件， ∴原式． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求各角的度数． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）设，根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理得到，求出，即可求出各角的度数． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵的平分线交于点， ∴， ∴， 解得：， 则， ∴，． 21. 【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 （1）设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． （2）请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 【答案】（1）①；②, （2）16千米/时 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．（1）①设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，可得出答案；②用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间分别为；，； （2）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间-乘汽车同学所用时间=30分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【小问1详解】 解：①设骑车学生的速度为x千米/小时， 根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； ②根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时， 乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， ∴原方程的解为． 答：骑车同学的速度为16千米/小时． 22. 如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点、连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直的定义证明， 根据等边对等角证明，然后根据证明即可； （2）根据线段的等量关系证明，然后证明， 从而得证． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分． 23. 认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 （1）分解因式：①；②． （2）①说明：代数式最大值为5． ②求代数式的最小值． 【答案】（1）①② （2）①见解析② 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：和． （1）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大（小）值． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：① ， ∵， ∴， ∴，即代数式的最大值为5． ② ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 24. 如图1，在等腰三角形中，，点是射线上的一个动点（不与，重合），连接．以点为顶点，在的右侧作线段，使得，且．连接，． （1）当点在线段上运动时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当点在线段的延长线上运动时，直接写出与的数量关系． （3）如图2，当点运动到的中点时，的平分线交于点，交于点．若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）①见解析；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先得出，利用即可证明；②根据等边对等角得到，再利用全等得到，进而求出结果； （2）先证明，得到，再利用等边对等角得到，进而求出； （3）根据等边对等角以及三角形内角和定理以及角平分线定理即可推出，再根据等腰三角形性质得到，最后利用三角形内角和定理得出最后结果． 【小问1详解】 ①证明：， 则，即， 在和中， ， ； ②解：， ； 【小问2详解】 解：如图： ， 则，即， 在和中， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：，理由如下： ，， ， 点为的中点， ， ， 平分， ， ， 则为等腰三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末教学质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 汉字是博大精深文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个黑体汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 图中两个三角形是全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的大小是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的三条对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 成轴对称两个三角形全等 7. 如图，在中，，，是的外角的平分线，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，则的高与的比是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 10. 如图是某温室大棚需搭建三角形侧边支架，已知水平底边的长为10米，与的度数均为．为了增强支架稳定性，在处立了一根与水平方向垂直的立柱，则的长为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 10米 11. 如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，延长，，的平分线与的平分线交于点，过点作于点，于点，于点，连接，则下列结论中正确的有（ ） ①平分；②；③点到，，的距离相等；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 14. 分解因式：______． 15. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 16. 若的展开式中不含的一次项，则实数的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； （2）在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 19. 下面是嘉嘉化简分式的过程： 解：原式…………第一步 …………………………第二步 …………………………………………第三步 （1）嘉嘉化简过程从第______步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求各角的度数． 21. 【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 （1）设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． （2）请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 22. 如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点、连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 23. 认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 （1）分解因式：①；②． （2）①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 24. 如图1，在等腰三角形中，，点是射线上的一个动点（不与，重合），连接．以点为顶点，在的右侧作线段，使得，且．连接，． （1）当点在线段上运动时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当点在线段的延长线上运动时，直接写出与的数量关系． （3）如图2，当点运动到的中点时，的平分线交于点，交于点．若，求的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $