精品解析：江西省南昌市外国语学校2025-2026学年高一上学期数学周练试卷10

2025—2026学年高一上学期周练（10） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为：，B正确. 故选：B 2. 已知全集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由补集的运算，求得，即得答案. 【详解】由题可知，所以， 因为， 故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较. 【详解】因为，，， 所以， 故选：D 4. 从1至9这9个自然数中任取两个： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数； 至多有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的时间，然后挨个分析四组事件即可 【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数，这两个事件不是互斥事件； ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数包括了两个都是奇数和一个是奇数，包含了两个数都是奇数，故不是对立事件 ③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数包括有一个是奇数和没有一个是奇数，和两个数都是奇数为对立事件； ④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件 故选 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件，解题的关键是分清互斥事件和对立事件之间的关系，属于基础题． 5. 若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“有点奇函数”可得，方程转化为：，令，，则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，分类讨论可得答案. 【详解】根据“有点奇函数”的定义可知，函数有解即可， 即， ，即有解即可， 令，则问题转化为存在大于等于2的解即可， 设，对称轴， ①若，则， 即，此时； ②若，要使在时有解， 则即 解得.综上，. 故选：B. 6. 若函数在区间上有，则的递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质得到，然后根据复合函数求单调性的方法判断即可. 【详解】设，当时，， 因为，所以，函数在上单调递减， 因为的单调递减区间为， 所以的递增区间为. 故选：A． 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】对于，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 8. 已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】依题意，， 即， 设，是奇函数且在上递增， 所以，即， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解. 二、多选题 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义及判定方法，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由幂函数的性质，可得在，所以在上是减函数，所以A正确； 对于B中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由时，可得在减函数，所以B正确； 对于C中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质，可得函数在减函数，所以C正确； 对于D中，由函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为奇函数，不符合题意，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则、满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出，，利用换底公式结合对数的运算性质可判断A选项；利用基本不等式可判断BCD选项. 【详解】因为，则，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，由A选项可知，，则，即，B对； 对于C选项，，， 所以，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答. 【详解】由，得：函数是R上的偶函数， 由，，得：在上单调递增， 对于A，，A正确； 对于B，，又函数的图象是连续不断的， 则有，解得，B不正确； 对于C，由及得，，解得或， 由得：，解得， 化为：或，解得或，即，C正确； 对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增， 因此，，，取实数，使得，则，，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|). 三、填空题 12. 已知点在直线上，则的最小值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知可得，然后对利用基本不等式求解即可 【详解】因为点在直线上， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号 故答案为：4 13. 设，，则函数是减函数的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性推出，即可利用古典概型概率公式进行计算. 【详解】，基本事件总数， 函数是减函数，且函数在上单调递减， ，则函数是减函数包含的基本事件有：，共6个， 函数是减函数的概率为. 故答案为： 【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题. 14. 已知函数，对任意的，若，恒有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有在上是单调函数，再结合指数函数、二次函数的单调性得到，即可求范围. 【详解】由题意，在上是单调函数，而， 令，则在上单调， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以只需，即. 故答案为： 四、解答题 15. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数（得数保留两位小数）． 【答案】（1） （2）分位数约为，平均数为 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数约为. 由频率分布直方图可知，平均数为. 16. 计算下列各式的值. （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)先把每个指数都求值，再计算； (2)利用换底公式把全部对数换成以6为底的对数，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 【点睛】指对数混合运算技巧： (1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质； (2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质；. 17. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）人； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【小问1详解】 调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. 【小问2详解】 由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 18. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求证：当时，恒有； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若，求不等式的解. 【答案】（1） 已知定义在上的函数满足， 令，则， 又当时，，所以，即， 当时，则.在中， 令，有，所以， 综上：当时，恒有 （2） 设是上的任意两个实数，且， 则，且， ， 由第一问可知当时，恒有，且， 所以， 因此函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）运用赋值法，令，代入求出，由条件舍去0，得到，由于，时，只需时，即可，令，则，对讨论即可； （2）运用函数的单调性定义证明，令，则，由时，，得，再由，得到，再由（1）得证； （3）根据条件，令，求出，再令，求出，再根据得到，结合单调性解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，求不等式的解， 在中，令，则，即， 令，则， 不等式等价于， 即，即， 所以不等式的解集为. 19. 设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． （1）判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； （2）若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； （3）若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）①不是，②是；理由如下： ①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义可判断①；由恒成立，可判断②； （2）根据条件转化为方程无解，参变分离后，可求得所求范围； （3）若函数不是“无奇”函数，转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数m的范围，进一步计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在无解， 即在无解， 所以 【小问3详解】 若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一上学期周练（10） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 从1至9这9个自然数中任取两个： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数； 至多有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是　　 A. B. C. D. 5. 若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上有，则的递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 二、多选题 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则、满足的关系是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 三、填空题 12. 已知点在直线上，则的最小值是_______． 13. 设，，则函数是减函数的概率为_____________． 14. 已知函数，对任意的，若，恒有，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数（得数保留两位小数）． 16. 计算下列各式的值. （1）； （2） 17. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求证：当时，恒有； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若，求不等式的解. 19. 设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． （1）判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； （2）若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； （3）若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $