专题 1.15 反比例函数（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.15 反比例函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】反比例函数的概念 2 【知识点二】反比例函数的图象与性质 3 【知识点三】反比例函数表达式的确定 3 【知识点四】系数k的几何意义 3 【知识点五】反比例函数与一次函数 4 【知识点六】反比例函数中的三个模型 4 二.题型分类精析 4 基础篇（12 个题型） 4 【考点一】反比例函数的定义与表达式 4 题型 1：根据定义判断是否为反比例函数 5 题型 2：利用待定系数法求反比例函数解析式 6 题型 3：根据实际问题列反比例函数表达式 8 题型 4：确定反比例函数中参数的取值范围 10 【考点二】反比例函数的图象与基本性质 12 题型 5：判断反比例函数图象的所在象限 12 题型 6：根据图象或参数判断反比例函数的增减性 13 题型 7：根据参数范围比较函数值的大小 15 【考点三】反比例函数的基础计算 17 题型 8：已知自变量求函数值（或反之） 17 题型 9：求反比例函数图象上某点的坐标 19 题型 10：利用k的几何意义求简单面积 21 【考点四】反比例函数与一次函数的基础综合 26 题型 11：求反比例函数与一次函数的交点坐标 26 题型 12：根据交点坐标求函数解析式 29 培优篇（12 个题型） 32 【考点五】反比例函数k的几何意义综合应用 32 题型 13：多支图象中利用k的几何意义求组合图形面积 32 题型 14：多支图象中利用组合图形面积求的几何意义中的K值 38 【考点六】反比例函数与一次函数的综合推理 44 题型 15：含参数的反比例函数与一次函数图象综合识别 44 题型 16：根据函数图象求不等式的解集 47 题型 17：反比例函数与一次函数的线段长度或面积综合 50 【考点七】反比例函数与几何图形的综合 56 题型 18：反比例函数与三角形的综合 56 题型 19：反比例函数与四边形的综合 61 题型 20：利用几何图形性质求反比例函数解析式 66 【考点八】反比例函数的实际应用与建模 69 题型 21：行程与工程中的反比例函数建模 69 题型 22：经济生活中的反比例函数应用 74 【考点九】反比例函数的综合探究与创新题型 79 题型 23：含参数的反比例函数多情况分类讨论 79 题型 24：反比例函数的平移、对称、旋转综合探究 84 三.中考真题专练 93 （一）单选题（10题） 93 （二）填空题（6题） 105 （三）解答题（4题） 110 一.知识梳理 【知识点一】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 【知识点二】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点三】反比例函数表达式的确定 待定系数法：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点四】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂 线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点五】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点六】反比例函数中的三个模型 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇（12 个题型） 【考点一】反比例函数的定义与表达式 题型 1：根据定义判断是否为反比例函数 【★例题1】（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 【★变式1】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 【★变式2】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 题型 2：利用待定系数法求反比例函数解析式 【★例题2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解m即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点， ∴ 解得， 故选：C． 【★变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）如果a与b成反比例，那么“？”是 ，比例系数 ． a 4 ？ b 200 160 【答案】 5 800 【分析】本题主要考查了判断反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键； 根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，即比例系数k，利用已知数据点求出k，即可求解未知数． 【详解】解：由题意得，， “？”是： 故答案为：5，800． 【★变式2】（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数值，求反比例函数解析式，解题关键是求得函数的解析式． 先根据，，求得反比例函数解析式，再求出时函数值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 【★变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 题型 3：根据实际问题列反比例函数表达式 【★例题3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系可以表示为 ． 【答案】y= 【分析】由AB＝AC，∠BAC＝20°，得∠ABC＝80°，即∠P+∠PAB＝80°，由∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°，得∠PAB+∠QAC＝80°，由此可得∠P＝∠QAC，同理可证∠PAB＝∠Q，从而证明△PAB∽△AQC，利用相似比求函数关系式． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°， ∴∠ABC＝（180°-∠BAC）÷2＝80°，即∠P+∠PAB＝80°， 又∵∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°， ∴∠PAB+∠QAC＝80°， ∴∠P＝∠QAC， 同理可证∠PAB＝∠Q， ∴△PAB∽△AQC， ∴，即， ∴y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用等腰三角形的性质，外角的性质证明角相等，从而证明三角形相似，利用相似比得函数关系式． 【★变式1】（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 【★变式2】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 题型 4：确定反比例函数中参数的取值范围 【★例题4】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意，，且，计算即可，本题考查了反比例函数的定义及其图象分布，熟练掌握分布条件及其定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：C． 【★变式1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【★变式2】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 【★变式3】（2023·四川自贡·模拟预测）从、、这三个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图可得所有的积的等可能结果，由点在反比例函数图象上可得，进而求解． 本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法． 【详解】解：画树状图如下， ，， 共有种等可能的结果，点在反比例函图象上的有种情况， 点在反比例函数图象上的概率为， 故选：C． 【考点二】反比例函数的图象与基本性质 题型 5：判断反比例函数图象的所在象限 【★例题5】（23-24九年级上·河南周口·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：B． 【★变式1】（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象经过第二、四象限， 当时 ，反比例函数图象在第四象限， 故答案为：四 ． 【★变式2】（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数，时，正比例函数图象过第一、三象限；时，正比例函数图象过第二、四象限；（2）反比例函数，时，反比例函数图象在第一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限． 【详解】正比例函数与函数的图像没有交点， ， k的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【★变式3】（2024·广东广州·二模）关于x的方程无解，则反比例函数图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于x的方程无解， ∴， 解得， ∴反比例函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 题型 6：根据图象或参数判断反比例函数的增减性 【★例题6】（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图像性质及概率，掌握函数图像性质是解题关键．根据函数图像性质，依次分析题中一次函数、反比例函数、二次函数在第一象限的特征，再通过计算求解概率即可． 【详解】解：由题意，一次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大，反比例函数的函数图像在第一象限内随的增大而减小，二次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大， 这三个函数的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的有个， 从中随机抽取一张，所得卡片上的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的概率． 故答案为：． 【★变式1】（2025·福建·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． 【答案】增大 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，反比例函数图象的位置由比例系数k的符号决定，图象在第二、四象限，表明，在各自象限内，分析x增大时y的变化趋势． 【详解】解：由于反比例函数的图象在第二、四象限，因此比例系数， 在第二象限内，，，当x增大（即从负无穷向0移动）时，减小，而中k为负，故y的值逐渐增大， 在第四象限内，，，当x增大（即从0向正无穷移动）时，增大，而中k为负，故y的值逐渐增大（即从负值向0接近）， 因此，在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大． 故答案为：增大． 【★变式2】（2025·广东广州·一模）下列函数中，值随值的增大而减小的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； C、，，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D、，，，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 故选：D． 【★变式3】（2024·广东·二模）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是熟记函数图象的性质；根据一次函数的图象性质和反比例函数图象的性质一一判断即可得到答案； 【详解】解：A、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而增大，故A正确； B、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而减小，故B错误； C、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误； D、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：A． 题型 7：根据参数范围比较函数值的大小 【★例题7】（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】先判断出函数图象在一、三象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数）的图象过点． ∴， ∴反比例函数，此函数图象在一、三象限， ， 在第三象限；点在第一象限， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键． 【★变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 【★变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．求得当时，，再根据题意画出草图，结合图象即可得出y的取值范围． 【详解】在反比例函数中，当时，， 双曲线经过二四象限，画出图形如下： ∴根据图像可知：的取值范围为或． 【★变式3】（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，比较反比例函数值的大小． 由一元二次方程有两个相等的实数根可得判别式为零，从而求出a的值，再代入反比例函数求出与的值，比较大小即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【考点三】反比例函数的基础计算 题型 8：已知自变量求函数值（或反之） 【★例题8】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 【★变式1】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 【★变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 【★变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由条件可知点的坐标为，且在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ． 故答案为：． 题型 9：求反比例函数图象上某点的坐标 【★例题9】（2025·陕西·一模）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 【★变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 【★变式2】（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 【★变式3】（2023·福建三明·一模）已知点P在反比例函数图象上，则点P的坐标可以是 （只需写出一个符合条件的坐标） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的比例系数等于点的横纵坐标之积，即可得出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在反比例函数图象上，即， ∴当时，， ∴点P的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标，解本题的关键在得出点的横纵坐标相乘的积，满足反比例函数的比例系数． 题型 10：利用k的几何意义求简单面积 【★例题10】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 【★变式1】24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 【★变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 先分别求得，，从而可求得，，进而求得，再求得，然后利用求出结果． 【详解】解：在反比例函数中， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【★变式3】（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解； （2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解； （3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 阴影部分的面积； （2）解：如图所示，连接交于点，   四边形是平行四边形， ，即点H为的中点， ， ，， ； （3）解：，， ∴， 在中，当时， ，， ， 点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点． 【考点四】反比例函数与一次函数的基础综合 题型 11：求反比例函数与一次函数的交点坐标 【★例题11】（2024·贵州贵阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与轴交于点，轴于点，若点的坐标是，． (1)求点B的坐标及n值； (2)若，求一次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是： （1）利用面积求出点坐标，根据点坐标求出值即可； （2）利用勾股定理求出点坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，． ， ， ， 在反比例函数的图象上， ， ． （2）轴于点，若点的坐标是， ， ， ， ， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：． 【★变式1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 【★变式2】（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 【★变式3】（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 设，则，然后根据的面积，代入数据即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵轴，垂足为，交反比例函数的图象于点， ∴， ∴的面积； 故答案为：3． 题型 12：根据交点坐标求函数解析式 【★例题12】（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 【★变式1】（2025·陕西汉中·二模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 把点代入，可求出交点的坐标，再把交点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ， ∴交点的坐标为， 把点代入得： ． 故选：A 【★变式2】（2025·安徽安庆·一模）一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为， ，解得：， ， 另一个交点坐标与关于原点对称， 另一个交点坐标为， 故选：B． 【★变式3】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 培优篇（12 个题型） 【考点五】反比例函数k的几何意义综合应用 题型 13：多支图象中利用k的几何意义求组合图形面积 【★★例题13】（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键： （1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∴； （2）∵延长OA到点，使得， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴， ∴的面积． 【★★变式1】（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质与判定，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方,进而代入数据，即可求解． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 故选：D． 【★★变式2】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知曲线G是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转得到的与曲线G交于点M，N，连接，，第二象限的角平分线交直线l于点A，且，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过作交于，过作轴于，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，利用根与系数的关系和的面积是，可得结论． 【详解】解：过作交于，过作轴于， 第二象限的角平分线交直线于点，且， ， ， ， ， ， 曲线是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的， 建立新的坐标系：为轴，为轴， 则旋转后的函数解析式为：， 在新的坐标系中，，，， 设直线的解析式为：， 则，解得， 直线的解析式为：， 设，， 由得：， ，， ， 整理得， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【★★★变式3】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，连接，过点B作轴于点C，交于点E，且，E是的中点． (1)当时，的面积为 ． (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）当时，如图，过点A作轴于点F，交于点G，则四边形是矩形，，得出，．证明，即可得，根据，E是的中点，得出，即可得，求出． （2）结合（1）可得．根据，，，求出．根据E是的中点，得出，，证明，求出，得出点A的坐标为，即可求出． 【详解】（1）解：当时， 如图，过点A作轴于点F，交于点G， 则四边形是矩形，， ∴，． ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴根据（1）可得． ∵，，， ∴，即， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点A的坐标为， ∴． 【点睛】该题考查了反比例函数几何综合，反比例函数k值的几何意义，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 题型 14：多支图象中利用组合图形面积求的几何意义中的K值 【★★例题14】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 【★★变式1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 【★★变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 【★★★变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的解析式，反比例函数与正比例函数的对称性，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程根的判别式，掌握反比例函数的性质以及正确变形方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用反比例函数系数的几何意义求得，，即可求得结论； （2）由题意可知方程为，，变形为，可知方程一定有解或．由于时，其判别式，故方程①有两个不等的实根，而不是方程①的根，即可证得题设方程有三个不同的实数根． 【详解】（1）解：二次函数的图象以原点为顶点，则二次函数为， 又∵过点， ， ， 反比例函数的图象与直线交于、两点， 、关于原点对称， 过、作轴的垂线，垂足分别为、． ，， 四边形面积为， ， ， ， 故； （2）， ， ， 即或． 方程一定有解， 对于可化为， 因为，其判别式， 方程有两个不等的实根， 而不是方程的根，故题设方程有三个不同的实数根． 【考点六】反比例函数与一次函数的综合推理 题型 15：含参数的反比例函数与一次函数图象综合识别 【★★例题15】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 【★★变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据点的坐标可得，进而根据二次函数和反比例函数图象可判断的符号，再逐项判断即可求解，解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息． 【详解】解：∵， ∴一次函数与二次函数的交点的坐标为， ， ， ∵抛物线开口向上， ∴， ， ∵反比例函数图象经过第一、三象限， ， A、∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故A选项正确； B、， ， 又∵， ∴， 不成立， 故B选项错误； C、，， ， 故C选项错误； D、由二次函数和反比例函数图象知，当时，，即， ，， ， 故D选项错误； 故选：A． 【★★变式2】（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 【★★变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数的图象．由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在轴的右侧，随的减小而减小，从而排除选项D． 【详解】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项B、C不符合题意； 由，，可知在轴的右侧，随的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 题型 16：根据函数图象求不等式的解集 【★★例题16】（2025·广东揭阳·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】反比例函数与一次函数的图象相交于点，，得到，求得，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象相交于点，， 得到， 故， 解得， 故不等式即的解集为或． 故选：C． 【★★变式1】（2023·山东东营·三模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点．则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案． 【详解】解：由题意得，将代入，则， ∴， ∴， ∴关于x的不等式的解集是或； 故答案为：或． 【★★变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围． 先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．   已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或． 故选：D． 【★★★变式3】（2024·湖南·二模）如图，函数与的图象交于点，直线与函数，的图象分别交于两点． (1)求和的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时，的取值范围___________（不需说明理由）． 【答案】(1)2；2 (2)3 (3) 【分析】（1）一次函数的图象与的图象交于点，得，，解答即可． （2）根据解析式，确定B，C的坐标，利用纵坐标的绝对值，解答即可． （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，交点坐标的求解，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象与的图象交于点，得，， 解得． （2）解：根据题意，得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 当时，得，， 故， 故． （3）解：根据题意，得时，的取值范围是， 故答案为：． 题型 17：反比例函数与一次函数的线段长度或面积综合 【★★例题17】（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 【★★变式1】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 【详解】解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 【★★变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据已知图形的面积求值，根据点坐标，求出值，根据的面积求出点横坐标，代入直线解析式，求出点坐标，进而求出k的值即可． 【详解】解：把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 当时，； ∴， ∴； 故答案为：6． 【★★★变式3】（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝ (2) (3)存在，点E的横坐标或 【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积； （3）先求出点D坐标，再算出面积，设点，根据列出方程，求出点E坐标即可． 【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，，即， 把代入表达式， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，． 当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． （3）在直线中，当时，， ∴ 根据题意可知， 设点， ， 解得或， ∴点E的横坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键． 【考点七】反比例函数与几何图形的综合 题型 18：反比例函数与三角形的综合 【★★例题18】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 【★★变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（    ） A．8 B．4 C．32 D．16 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点C作轴于点E，然后证明，设点A的坐标为，可以得到点C和的坐标，代入反比例函数解析式即可解题． 【详解】解：过点C作轴于点E， 则， 设点A的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点和在反比例函数的图象上， ∴， 解得（舍去），， 故选：D． 【★★变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，进而得出点的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点代入中得：， 解得． 故答案为：． 【★★★变式3】（25-26九年级上·河南郑州·月考）新情境  含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中（，），小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点N的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值； （1）将代入，即可求解； （2）过点，分别作，垂直于轴分别于点，，根据得出为等腰直角三角形，进而证明，在中，．进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵是反比例函数图象上的点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）过点，分别作，垂直于轴分别于点，， ∵， ∴，， 又∵点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，． ∴． 解得． ∴点N的横坐标为． 题型 19：反比例函数与四边形的综合 【★★例题19】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①将四个点的坐标代入反比例函数表达式即可求解； ②证明，得到，即，即可求解； （2）过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 由，则，，即可求解． 【详解】（1）解：①因为，，，， 所以除了第二个点外，其余点都在反比例函数上， ∴， 故答案为：2； ②是定值，理由： 设点，点， 如图1，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， 四边形为正方形，则，， ，， ， ，， ， 则，即， 则为定值； （2）如图2，过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 设直线的表达式为：， 设点，点， 由（1）②知，， 则，， 即，， 由得，，由得，， 所以，， ∵，， ∴． 【★★变式1】（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：D． 【★★变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．    【答案】 12 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键． 过点A作轴的垂线，交的延长线于点，根据A，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可表示，的长，根据菱形的面积为，求得的长；在中，勾股定理计算的长，列方程即可得出的值． 【详解】解：过点A作轴的垂线，交的延长线于点，   轴， ， ，两点在反比例函数的图象上，且纵坐标分别为，， ，， ，， 菱形的面积为， ，即， ，即菱形的边长为； 在中，， ， ． 故答案为：，12 题型 20：利用几何图形性质求反比例函数解析式 【★★例题20】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． (1)求反比例函数的解析式； (2)请连接、．并求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出A的坐标，再求出k即可； （2）设一次函数图象与y轴交于D，求出D的坐标，联立一次函数和反比例函数的解析式求出B的横坐标，根据几何关系即可求解． 本题考查一次函数和反比例函数的图象性质． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图， 设一次函数图象与y轴交于D， ∴， 由，得，即， ∴， ∴B的横坐标， ∴． 【★★变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，也考查了平行四边形的性质． 设点，由，求出的值，即可求解． 【详解】设点， ， ． ，解得． ． ． 故答案为：24． 【★★变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 如图，连接，先求得，再根据反比例函数k的几何意义可得；再说明，易得设，则；设 ，则，进而得到，可求得a、b的值，进而确定点H的坐标． 【详解】解：如图，连接，    则 ， ， ； ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设，则 ， 同理：设 ，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：6，． 【考点八】反比例函数的实际应用与建模 题型 21：行程与工程中的反比例函数建模 【★★例题21】（2024·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)；(2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 【★★变式1】（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 【★★变式2】（25-26九年级上·河南新乡·期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每小时至少要卸货吨 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数性质解决不等式问题． （1）根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型； （2）利用反比例函数的增减性解决实际最值问题，根据反比例函数的性质可知，在的范围内，随的增大而减小；因此要使卸货速度最小，需取的最大值，将代入函数解析式计算，即可得到平均每小时至少要卸货的吨数． 【详解】（1）解：根据题意，卸货总量为吨，卸货速度为吨/小时，时间为小时， 由“卸货总量=卸货速度×时间”，得，变形可得， 因此关于的函数解析式为； （2）已知卸货时间不超过小时，即， 由，可知随的增大而减小， 因此当取最大值时，取得最小值， 将代入，得， 所以平均每小时至少要卸货吨． 【★★★变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分钟）成正比例：燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时与燃烧后y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1)药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为 (2)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查了反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式和反比例解析式即可； （2）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的解析式为， 由题意可得：， ∴， 设燃烧后的函数解析式为， 由题意可得：， 解得， 即药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为． （2）解：由题意可得： ， 解得：， ∴（分钟）， 即对病毒有作用的时间长为分钟． 题型 22：经济生活中的反比例函数应用 【★★例题22】（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)个月 (3)个月 【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平； （3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即， 当时，，当时，， ； （2）当时，， 解得：， ， 机器全部完成更新个月后，利润达到万元； （3）对于，当时，； 对于，当时，， ， 资金紧张的时间为个月． 【★★变式1】（23-24九年级下·湖南常德·期中）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元 (3)该化工厂资金紧张期共有5个月 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， （2）解：在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）解：在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 【★★变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 【答案】(1) (2)该商店月份至少要卖出120件上衣 (3)营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）由题意得，，据此可得答案； （2）由题意得，解不等式即可得到答案； （3）设营业员需要卖出m件上衣，根据题意可知每件上衣的实际利润为48元，再根据利润要达到5000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得， 解得， 答：该商店月份至少要卖出120件上衣； （3）解：设营业员需要卖出m件上衣， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为105， 答：营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务． 【★★★变式3】（22-23九年级上·广西南宁·月考）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围； (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)13 (3)5 【分析】 （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， （2）在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【考点九】反比例函数的综合探究与创新题型 题型 23：含参数的反比例函数多情况分类讨论 【★★★例题23】（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与不等式、反比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）根据反比例函数的性质确定不等式的解集即可． （3）由题意可得：函数， 的图像在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质用m表示出、的最小值和最大值，然后组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小； ∴当，且时，x的取值范围为或． （3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限， ∴当时，函数有最小值，即； 当时，函数有最大值m，即； 所以，解得． 【★★★变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值； 【详解】由题意得，， ， 当时，m 有最小值，当时，m有最大值， ， ，， 当时，n随着b的增大而减小， 当时，n 有最小值1， 当时，n有最大值4， ， ， ， ， 解得：， ， ， n有最大值3，最小值1； 故选：C． 【★★★变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则，，由小到大的顺序是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，利用函数的性质比较函数值的大小，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．根据反比例函数的性质，结合自变量取值范围判断函数值的符号，并利用函数的单调性比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵反比例函数， 当时，， 当时，， ∴，，，故最小， 对于，函数是单调递增的，即 随的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【★★★变式3】（24-25九年级上·江苏南通·月考）已知函数图像上一点，当自变量x的范围满足时，函数y有最大值M和最小值N，令，则下列函数： (1)若一次函数，当时，求h的值； (2)若反比例函数，当h的值等于4时，求t的值； (3)若二次函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）由题意求出，再由定义可求的值； （2）由题意然后根据h的值列方程解题即可； （3）分四种情况讨论：①当 时， ②当 时， ③当 即 ④当 可得或 解题即可． 【详解】（1）解：， ， ∵函数， ∴函数的最大值，函数的最小值， ； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴， 解得：或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴； （3）解：存在实数，使得函数的最大值等于的最小值，理由如下： ， ∴函数的对称轴为直线 的最大值为， ①当时，即 此时，， ， 此时的最小值为，则，解得； ②当时，即 此时， ， 此时的最小值为，则，解得； ③当 即 此时， ， ∴的最小值为； ④当 即 此时 ， ∴的最小值为 ； 由题意可得 解得； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象 及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键． 题型 24：反比例函数的平移、对称、旋转综合探究 【★★★例题24】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． (3)把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 【答案】(1)，； (2)在；见解析； (3)且．． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，求得交点坐标是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将点代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，通过证得，得出，，即可求得，得出，代入反比例函数解析式即可判定点在反比例函数的图象上． （3）根据直线的旋转，当直线过点时为临界点，求出此时的即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 把点代入，得， ∴， 把，分别代入， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点在反比例函数的图象上． 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 在中，当时，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上； （3）解：由（2）可知，， ∴直线的解析式为， 当直线过点时，由（2）知，； 当直线顺时针旋转时，不符合题意； 当直线逆时针旋转时，符合题意，直到直线过点， 此时，，解得， 综上，的取值范围：且． 【★★★变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 【★★★变式2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 【★★★变式3】（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接，沿着将矩形折叠使、两点重合，连接对角线． (1)点坐标是______（用含有的代数式表示）； (2)如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； (3)若折叠后，是等腰三角形，求此时反比例函数的值； (4)连接，直接写出的最小值为_____． 【答案】(1) (2)2 (3)或． (4) 【分析】（1）由点A的坐标及点在反比例函数上，可求得点E的横坐标，从而求得点E的坐标； （2）由题意得点F的坐标，进而可证明，从而可得，由平行线的性质及折叠的性质得，即可得； （3）分三种情况：；；；利用三角函数及折叠的知识即可求解； （4）确定点D在与的夹角等于的射线上运动，当时最小，利用正弦函数关系即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，且， ， ∵矩形中轴， ∴点E的纵坐标为3， 点在反比例函数上， ∴， ∴， ， （2）解：， ， ， ∵点在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， ， ； （3）解：过点作于N， ①当时，如图3， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ； ； ③当时，， ， ，即， ， 此时、、三点共线且点与点重合，不符合题意舍去， ， 综上所述，所求值为或． （4）解：的最小值．理由如下： 连接，如图， 由（2）知， 由折叠知， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点D在射线上运动， 根据垂线段最短，得当时，最小，故， 又， 故， 故的最小值． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 3．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 10．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． （二）填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 12．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 13．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可， ∴， 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． （三）解答题（4题） 17．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 18．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 20．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.15 反比例函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】反比例函数的概念 2 【知识点二】反比例函数的图象与性质 2 【知识点三】反比例函数表达式的确定 2 【知识点四】系数k的几何意义 2 【知识点五】反比例函数与一次函数 3 【知识点六】反比例函数中的三个模型 4 二.题型分类精析 4 基础篇（12个题型） 4 【考点一】反比例函数的定义与表达式 4 题型 1：根据定义判断是否为反比例函数 4 题型 2：利用待定系数法求反比例函数解析式 5 题型 3：根据实际问题列反比例函数表达式 5 题型 4：确定反比例函数中参数的取值范围 6 【考点二】反比例函数的图象与基本性质 6 题型 5：判断反比例函数图象的所在象限 6 题型 6：根据图象或参数判断反比例函数的增减性 7 题型 7：根据参数范围比较函数值的大小 7 【考点三】反比例函数的基础计算 7 题型 8：已知自变量求函数值（或反之） 7 题型 9：求反比例函数图象上某点的坐标 8 题型 10：利用k的几何意义求简单面积 9 【考点四】反比例函数与一次函数的基础综合 10 题型 11：求反比例函数与一次函数的交点坐标 10 题型 12：根据交点坐标求函数解析式 11 培优篇（12个题型） 12 【考点五】反比例函数k的几何意义综合应用 12 题型 13：多支图象中利用k的几何意义求组合图形面积 12 题型 14：多支图象中利用组合图形面积求的几何意义中的K值 14 【考点六】反比例函数与一次函数的综合推理 15 题型 15：含参数的反比例函数与一次函数图象综合识别 15 题型 16：根据函数图象求不等式的解集 16 题型 17：反比例函数与一次函数的线段长度或面积综合 17 【考点七】反比例函数与几何图形的综合 19 题型 18：反比例函数与三角形的综合 19 题型 19：反比例函数与四边形的综合 20 题型 20：利用几何图形性质求反比例函数解析式 21 【考点八】反比例函数的实际应用与建模 22 题型 21：行程与工程中的反比例函数建模 22 题型 22：经济生活中的反比例函数应用 24 【考点九】反比例函数的综合探究与创新题型 26 题型 23：含参数的反比例函数多情况分类讨论 26 题型 24：反比例函数的平移、对称、旋转综合探究 26 三.中考真题专练 28 （一）单选题（10题） 28 （二）填空题（6题） 31 （三）解答题（4题） 33 一.知识梳理 【知识点一】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 【知识点二】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点三】反比例函数表达式的确定 待定系数法：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点四】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂 线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点五】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点六】反比例函数中的三个模型 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇（12个题型） 【考点一】反比例函数的定义与表达式 题型 1：根据定义判断是否为反比例函数 【★例题1】（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【★变式2】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型 2：利用待定系数法求反比例函数解析式 【★例题2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【★变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）如果a与b成反比例，那么“？”是 ，比例系数 ． a 4 ？ b 200 160 【★变式2】（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【★变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 题型 3：根据实际问题列反比例函数表达式 【★例题3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系可以表示为 ． 【★变式1】（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 题型 4：确定反比例函数中参数的取值范围 【★例题4】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【★变式1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 【★变式2】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【★变式3】（2023·四川自贡·模拟预测）从、、这三个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点二】反比例函数的图象与基本性质 题型 5：判断反比例函数图象的所在象限 【★例题5】（23-24九年级上·河南周口·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【★变式1】（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 【★变式2】（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【★变式3】（2024·广东广州·二模）关于x的方程无解，则反比例函数图象在第 象限． 题型 6：根据图象或参数判断反比例函数的增减性 【★例题6】（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是 ． 【★变式1】（2025·福建·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． 【★变式2】（2025·广东广州·一模）下列函数中，值随值的增大而减小的是（   ）． A． B． C． D． 【★变式3】（2024·广东·二模）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 题型 7：根据参数范围比较函数值的大小 【★例题7】（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 【★变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【★变式3】（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考点三】反比例函数的基础计算 题型 8：已知自变量求函数值（或反之） 【★例题8】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【★变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为 ． 题型 9：求反比例函数图象上某点的坐标 【★例题9】（2025·陕西·一模）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【★变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【★变式3】（2023·福建三明·一模）已知点P在反比例函数图象上，则点P的坐标可以是 （只需写出一个符合条件的坐标） 题型 10：利用k的几何意义求简单面积 【★例题10】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【★变式1】24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【★变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 【★变式3】（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 【考点四】反比例函数与一次函数的基础综合 题型 11：求反比例函数与一次函数的交点坐标 【★例题11】（2024·贵州贵阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与轴交于点，轴于点，若点的坐标是，． (1)求点B的坐标及n值； (2)若，求一次函数的表达式． 【★变式1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【★变式2】（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【★变式3】（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 题型 12：根据交点坐标求函数解析式 【★例题12】（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【★变式1】（2025·陕西汉中·二模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【★变式2】（2025·安徽安庆·一模）一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【★变式3】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 培优篇（12个题型） 【考点五】反比例函数k的几何意义综合应用 题型 13：多支图象中利用k的几何意义求组合图形面积 【★★例题13】（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 【★★变式1】（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【★★变式2】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知曲线G是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转得到的与曲线G交于点M，N，连接，，第二象限的角平分线交直线l于点A，且，若，则k的值为 ． 【★★★变式3】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，连接，过点B作轴于点C，交于点E，且，E是的中点． (1)当时，的面积为 ． (2)若，求k的值． 题型 14：多支图象中利用组合图形面积求的几何意义中的K值 【★★例题14】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【★★变式1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【★★★变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 【考点六】反比例函数与一次函数的综合推理 题型 15：含参数的反比例函数与一次函数图象综合识别 【★★例题15】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【★★变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【★★变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(   ) A． B． C． D． 题型 16：根据函数图象求不等式的解集 【★★例题16】（2025·广东揭阳·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【★★变式1】（2023·山东东营·三模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点．则关于x的不等式的解集是 ． 【★★变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【★★★变式3】（2024·湖南·二模）如图，函数与的图象交于点，直线与函数，的图象分别交于两点． (1)求和的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时，的取值范围___________（不需说明理由）． 题型 17：反比例函数与一次函数的线段长度或面积综合 【★★例题17】（2023·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【★★变式1】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【★★变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 【★★★变式3】（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【考点七】反比例函数与几何图形的综合 题型 18：反比例函数与三角形的综合 【★★例题18】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【★★变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（    ） A．8 B．4 C．32 D．16 【★★变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 【★★★变式3】（25-26九年级上·河南郑州·月考）新情境  含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中（，），小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点N的横坐标． 题型 19：反比例函数与四边形的综合 【★★例题19】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【★★变式1】（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．    题型 20：利用几何图形性质求反比例函数解析式 【★★例题20】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． (1)求反比例函数的解析式； (2)请连接、．并求出的面积． 【★★变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为 ． 【★★变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 【考点八】反比例函数的实际应用与建模 题型 21：行程与工程中的反比例函数建模 【★★例题21】（2024·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【★★变式1】（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【★★变式2】（25-26九年级上·河南新乡·期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【★★★变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分钟）成正比例：燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时与燃烧后y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 题型 22：经济生活中的反比例函数应用 【★★例题22】（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【★★变式1】（23-24九年级下·湖南常德·期中）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【★★变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 【★★★变式3】（22-23九年级上·广西南宁·月考）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围； (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【考点九】反比例函数的综合探究与创新题型 题型 23：含参数的反比例函数多情况分类讨论 【★★★例题23】（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 【★★★变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【★★★变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则，，由小到大的顺序是 ． 【★★★变式3】（24-25九年级上·江苏南通·月考）已知函数图像上一点，当自变量x的范围满足时，函数y有最大值M和最小值N，令，则下列函数： (1)若一次函数，当时，求h的值； (2)若反比例函数，当h的值等于4时，求t的值； (3)若二次函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型 24：反比例函数的平移、对称、旋转综合探究 【★★★例题24】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． (3)把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 【★★★变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【★★★变式2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 【★★★变式3】（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接，沿着将矩形折叠使、两点重合，连接对角线． (1)点坐标是______（用含有的代数式表示）； (2)如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； (3)若折叠后，是等腰三角形，求此时反比例函数的值； (4)连接，直接写出的最小值为_____． 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ （二）填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 12．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 13．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． （三）解答题（4题） 17．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为3时，求m的值． 18．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $