精品解析：四川省达州市达川区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

达川区2025年秋季教学质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 2025年第15届全运会，由广东、香港、澳门三地联合承办．如图是全运会的领奖台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指（ ） A. 连续抛掷次必有次正面朝上 B. 连续抛掷次不可能正面都朝上 C. 大量反复抛掷每次出现正面朝上次 D. 抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图象上 D. 当时， 8. 如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D，连接，，，，则点C到边的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 3 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上从左向右运动，轴，交函数的图象于点，轴交的延长线于点，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点．下列结论：①②③连接，是等腰直角三角形；④若平分，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知，则的值是___________． 12. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是___________． 13. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 14. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为_________． 15. 如图，，都是一边在轴上的等边三角形，点，都在反比例函数的图象上，点都在轴上，则的坐标为___________． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. （1）用适当方法解方程：； （2）先化简，再求值：，其中满足一元二次方程． 17. 在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将放大得到． （2）在（1）中，点的坐标为____________． （3）在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为____________． 18. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为，，求的值． 21. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 22. 达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）连接，，求的面积； （3）反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现： ①当时，＝　 　；②当时，＝　 　； （2）拓展探究： 将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值； （3）问题解决： 当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达川区2025年秋季教学质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程通过移项整理为 的标准形式是解题的关键． 将方程化为一般形式 ，其中二次项系数为，然后读取一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， ∴ 一次项系数为，常数项为． 故选：A． 2. 2025年第15届全运会，由广东、香港、澳门三地联合承办．如图是全运会的领奖台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断几何体的三视图中的俯视图．根据俯视图为从上往下看得到图形，即可得到本题答案． 【详解】解：俯视图如图所示： ， 故选：B． 3. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指（ ） A. 连续抛掷次必有次正面朝上 B. 连续抛掷次不可能正面都朝上 C. 大量反复抛掷每次出现正面朝上次 D. 抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”即可求解，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率， ∴“正面朝上”的概率为，是指抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，原说法错误，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 5. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 6. 如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据点是线段的黄金分割点，得出，又因为，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 7. 关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数系数k的符号判断图象所在象限和增减性，并验证点的坐标是否满足函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即当 时，随增大而增大， ∴故选项A、B正确，不符合题意； ∵点在图象上，∴，即， 对于点，当时，，故点在函数的图象上； 对于点，当时，，故点在函数的图象上， 故选项C正确，不符合题意； 对于D，当 时，，但当时，故当时，不一定成立，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D，连接，，，，则点C到边的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于E，求出，可得的长，然后根据面积的不同求法列式求解即可． 【详解】解：连接交于E， 由作图可得垂直平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点C到边的距离为h， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上从左向右运动，轴，交函数的图象于点，轴交的延长线于点，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何结合，已知点坐标求线段长度，求正比例函数解析式等．根据题意设，则，后设经过点的正比例函数表达式为，将点代入求出，再将点纵坐标代入即可得出，后利用面积公式即可求出本题答案． 【详解】解：∵点在函数的图象上从左向右运动， ∴设， ∵轴，交函数的图象于点， ∴， ∵轴交的延长线于点， ∴点纵坐标为， 设经过点的正比例函数表达式为， ∴将点代入中得：， ∴， ∴将点纵坐标代入中得：， ∴， ∴，， ∴的面积为：， 故选：B． 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点．下列结论：①②③连接，是等腰直角三角形；④若平分，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．对于①，可通过证明来判断是否成立；对于②，可通过证明来判断是否成立；对于③可通过证明得到，再结合，判断是否为直角三角形；对于④可先根据角平分线的性质和正方形的性质求出的长度，再结合全等三角形的性质求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故②正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴，故④正确， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知比例设参数表示a和b，代入所求表达式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设，， 则， 故答案为：． 12. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 14. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质和勾股定理，设，则，根据矩形的性质和折叠的性质，推出，利用勾股定理求出，利用类似的方法，在中，求出，即可解题． 【详解】解：， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 由翻折的性质可知，，， ， ，整理的，解得（舍去），， ，， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 15. 如图，，都是一边在轴上的等边三角形，点，都在反比例函数的图象上，点都在轴上，则的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，等边三角形性质，坐标规律等．根据题意过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，再分别求出的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ∵，都是一边在轴上的等边三角形， ∴设，则， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：或（舍）， ∴，， ∴， 同理设长度为，则长度为， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∴， 同理设长度为，则长度为， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴，， ∴， 以此类推可得：， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16. （1）用适当方法解方程：； （2）先化简，再求值：，其中满足一元二次方程． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的解法并正确化简分式是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简分式，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件代值求解即可． 【详解】解：（1）原方程化为 则或 ∴，； （2） ， ∵方程， ∴ 解得或 根据分式有意义的条件得，，， ∴ ∴原式． 17. 在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将放大得到． （2）在（1）中，点的坐标为____________． （3）在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为____________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据以坐标原点为位似中心，相似比为，得到三角形的顶点，依次连接即可 （2）由点，以坐标原点为位似中心，相似比为，可得 （3）点，分别是线段，的中点，则线段，相似比为，即可得： 【小问1详解】 ∵三个顶点的坐标分别为、、，且以坐标原点为位似中心，相似比为， ∴三个顶点的坐标分别为、、， 依次连接三个顶点可得，如下图所示： 【小问2详解】 ∵，且以坐标原点为位似中心，相似比为， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的一条中位线， ∴ ∵相似比为， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的相似比是解题的关键 18. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 19. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD ，再利用CD是斜边AB中线，可得CD=AD，证得∠A=∠ACD，从而∠CDE＝∠CAD，进而可以证明； （2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的对应边成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案． 【详解】解（1）由题意： ∵CE⊥CD， ∴， 又∵， ∴∠CDE＝∠ACD， ∵在中，CD是AB边上的中线， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴∠CDE＝∠CAD， ∴． （2）∵AC＝8，BC＝6， ∴利用勾股定理得： ∵在中，CD是AB边上的中线， ∴CD＝5， ∵ ∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5， ∴DE＝． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线特征，找准对应边和对应角是解题的关键． 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，设方程的两个实数根分别为，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，由一元二次方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，整理原方程为，则，故无论取何值，，即； （2）由得，因为设方程的两个实数根分别为，，得，，把数值代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 则， ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵设方程的两个实数根分别为，， ∴，， 则， ∴． 21. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． （2） 解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形， 连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形， 再由即可证四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 22. 达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，，再利用相似三角形性质列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵米，米， ∴，即： ， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴，即， ∴米． 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一： 任务二：50元 任务三：不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）连接，，求的面积； （3）反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）15 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． 25. 如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现： ①当时，＝　 　；②当时，＝　 　； （2）拓展探究： 将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值； （3）问题解决： 当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形中， ．，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，得到，，即可求得；②当时，由，得到； （2）连接，根据旋转性质得到，结合，推出，推出； （3）根据，求出，根据，得到，当点F在线段上时， 结合，得到，得到；当点F在线段延长线上时，得到，得到． 【小问1详解】 解：（1）①当时，见题干图1， ∵矩形中， ．，， ∴， ∵点E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图1， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，连接， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 A、F、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， ∴； 当点F在线段延长线上时，如图4， ， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题主要考查了四边形和三角形旋转的综合．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $