第17章一元二次方程及其应用单元检测卷 广西梧州市2025-2026学年沪科版八年级数学下学期

**基本信息** 广西梧州八年级数学沪科版17章一元二次方程单元卷，以《九章算术》文化传承、电影票房及抗疫捐款等社会热点为情境，覆盖方程定义、解法、应用等核心知识，梯度设计适配单元复习，培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|根的判别式、配方法、增长率应用|新定义运算（题6）、电影票房增长率原创题（题9）| |填空题|5/15|根与系数关系、程序框图应用|正比例函数与方程结合（题14）| |解答题|5/55|《九章算术》几何应用、利润问题、点阵探究|抗疫捐款利润题（题19）、三角形点阵建模探究（题20）|

广西梧州市八年级数学春学期新沪科版 第17章一元二次方程及其应用单元检测卷 参考答案与评分标准 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D C B A D D A 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，当时，是一元二次方程，不符合题意； B. 化简为，最高次数是1，不是2次，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 2．C 【分析】先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故m的值可以是2， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 3．B 【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 即， 解得， 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 故方程的另一个根为． 故选：B． 4．D 【分析】此题考查了一元二次方程-配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即， 故选：D． 5．C 【分析】先解一元二次方程，得到第三边长为1、7，再根据三角形三边关系进行判断，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长． 【详解】解：， 或， 解得：或， 当时，三角形的三边长分别为5、7、8，且，满足三角形三边关系，此时三角形的周长， 当时，三角形的三边长分别为1、5、8，且，不满足三角形三边关系，不符合题意， 综上所述，三角形的周长为18， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解一元二次方程，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 6．B 【分析】先根据新定义得到，再方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，从而得到方程根的情况． 【详解】解：方程转化为， 方程化为一般式为， ， 方程无实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果是一元二次方程（a，b，c为常数，）的两个解，则，． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知概念、准确计算是解题关键； 把代入原方程得到关于m的一元一次方程，解关于m的方程即可. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：； 故选：D. 9．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，因增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元，根据三天后票房收入累计达100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元， ∴依题意得：． 故选：D． 10．A 【分析】设矩形的长为xm，则宽为（10-x）m，设面积为y，由矩形的面积公式建立解析式就可以求出结论． 【详解】设矩形的长为xm，面积为y，由题意，得 y=x（10-x）， y=-x2+10x， y=-（x-5）2+25． ∴a=-1＜0， ∴y有最大值， ∴x=5时，y最大=25． ∵26＞25． ∴面积为26m2不成立． 故选A． 【点睛】考查了矩形的周长公式的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答关键是根据面积公式求出解析式． 11．， 【分析】先把等号左边的式子因式分解，进而即可求解． 【详解】解： 或 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 12． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【详解】解：方程中，，，， 由根与系数的关系，得，． 故答案为：，． 13．或/-6或2 【分析】根据图形中的运算，得出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 即：，或 解得：， 故答案为或 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是理解题中的程序图，列出方程． 14．2 【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 15． 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 16．（12分）(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，……………………1分 ∴，……………………3分 ∴，……………………5分 解得，；……………………6分 （2）解：∵， ∴， ∴……………………8分 ∴，……………………9分 ∴或，……………………11分 解得．……………………12分 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．（8分）8尺 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，……………1分 依题意得：，……………………3分 化简得：，……………………4分 解得：，．……………………6分 当时，，，不合题意，舍去； 当时，．……………………7分 答：门高为8尺．……………………8分 18．（10分）(1)0 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：∵方程有一个根是3， ∴，……………1分 解得：．……………2分 ∴原方程为，即，……………3分 解得，．……………4分 ∴该方程的另一个根为0；……………5分 （2）∵ ……………7分 ……………8分 ∴，……………9分 ∴无论取何值，该方程总有实数根．……………10分 19．（10分）(1)①；② (2)30元/件 【分析】（1）①根据利润等于售价减成本价，即可含x的代数式表示出销售每件六堡茶叶的利润； ②根据每天售出该六堡茶叶的件数降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该六堡茶叶的件数； （2）根据总利润等于销售每件六堡茶叶的利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①销售每件六堡茶叶的利润为元； 故答案为： ……………2分 ②每天能售出该六堡茶叶的件数为件； 故答案为： ……………4分 （2）解：根据题意得： ，……………6分 整理得：， 解得：，……………8分 ∵， ∴不符合题意，舍去，……………9分 答：该六堡茶叶的售价为30元/件．……………10分 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．（15分）（1）；（2）当时，这个点阵的点数和是841；（3）11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，规律型：图形的变化； （1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即； （2）设，，则，算出T就可知道S的值，参照（1）的计算方法可将T正立和倒立组成一个平行四边形点阵，从而得出T，再得出S，最后令，就可知点数和能否是841； （3）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘沙糖桔的总数为，根据这些沙糖桔平均分配每人可得6个，可建立方程求解. 【详解】解：（1）∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为，……………1分 ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为．……………3分 故答案为．……………4分 （2）这个点阵的点数和能是841，……………5分 理由：设，， 则，……………6分 由（1）的方法可得正立T和倒立T可组成如下图的平行四边形点阵， ∴， ∴，……………8分 当时，解得或，……………9分 ∵n为正整数， ∴．……………10分 故当时，这个点阵的点数和是841.……………11分 （3）设这群人共有x人．……………12分 由题意得，……………13分 即， 解得（舍去），．……………14分 故这群人共有11人．……………15分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 广西梧州市八年级数学春学期新沪科版 第17章一元二次方程及其应用单元检测卷 细目表 题号 知识点 题型 分值 难度系数 1 一元二次方程的定义 选择题 3 0.9 2 根的判别式及一元二次方程的定义 选择题 3 0.8 3 一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程 选择题 3 0.8 4 一元二次方程-配方法 选择题 3 0.8 5 三角形三边关系，解一元二次方程 选择题 3 0.7 6 根的判别式 选择题 3 0.6 7 根与系数的关系的应用 选择题 3 0.7 8 一元二次方程的解 选择题 3 0.7 9 由实际问题抽象出一元二次方程（增长率） 选择题 3 0.8 10 形的周长公式的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解 选择题 3 0.6 11 因式分解法解一元二次方程 填空题 3 0.7 12 一元二次方程根与系数关系 填空题 3 0.7 13 一元二次方程的求解 填空题 3 0.6 14 正比例函数的图象、一元二次方程的应用 填空题 3 0.5 15 一元二次方程的定义 填空题 3 0.8 16 解一元二次方程 计算题 12 0.8 17 一元二次方程的应用以及勾股定理 解答题 8 0.7 18 一元二次方程的根的概念，根的判别式 解答题 10 0.6 19 一元二次方程的应用以及列代数式 解答题 10 0.5 20 一元二次方程的应用，规律型的图形变化 解答题 15 0.4 Sheet2 Sheet3 $ 广西梧州市八年级数学春学期新沪科版 第17章一元二次方程及其应用单元检测卷 题卷 考试时间：60分钟 满分：100分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知三角形的两边长分别是5和8，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（    ） A．14 B．16 C．20 D．14或20 6．定义运算：对任意实数，，总有，例如：，则方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 7．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程有一个根是，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．4 9．（原创）电影《给阿嫲的情书》凭借真挚的情感表达与扎实的口碑传播，在激烈的竞争中跻身票房前五．某市电影院第一天票房收入约30万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达100万元，设增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．想用一根长20米的绳子围成以下面积的矩形，一定做不到的是（ ） A．26 B．25 C．24 D．23 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一元二次方程的根是_____________________． 12．已知是方程的两个实数根，则______，__________． 13．按照如图所示的操作步骤，若输出y的值为11，则输入x的值为____． 14．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 15．关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足______． 三、解答题（本题共5小题，共55分） 16．用适当的方法解方程．（本题共2小题，每小题6分，共12分） (1)； (2) 17．（8分）（原创）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽多4尺；竖放，竿比门高多2尺；斜放，竿与门对角线长等长．求门高． 18．（10分）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根. 19．（10分）（原创）六堡茶是我国传统黑茶，某茶叶作坊通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该六堡茶叶60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件六堡茶叶需要19元成本，设该六堡茶叶的售价为x元/件（）． (1)请用含x的代数式填空： ①销售每件六堡茶叶的利润为________元； ②每天能售出该六堡茶叶的件数为________． (2)为了支持抗疫行动，茶叶作坊决定每销售一件该六堡茶叶便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该六堡茶叶的纯利润为900元，求该六堡茶叶的售价． 20．（15分）．综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点． 数学建模 （1）容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前n行的点数和是______． 问题解决 （2）如图3，该点阵每行的点数从上到下依次为1，3，5，7，…，2n-3，2n-1，2n-3，…，7，5，3，1，这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． （3）一群人走进果园去摘沙糖桔，第一个人摘了1个沙糖桔，第二个人摘了2个沙糖桔，第三个人摘了3个沙糖桔，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个沙糖桔，这群人刚好把果园的沙糖桔全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个沙糖桔，问这群人共有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $