第16章《二次根式》 单元测试卷 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

八年级数学下册 第16章《二次根式》 单元测试卷 沪科版 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列各式中，不属于二次根式的是 （　　） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是(　　) A．＝±3 B．＝－3 C．＝3 D． 4．已知实数x，y满足，下列选项正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）． A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 9．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知 ， ，则a与b的关系为（　　）. A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1 11．在下列式子中等号能成立的式子共有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12． 如图，手扶电梯（扶梯）AB 的坡比（AC：BC）为1： .已知 BC的长为12 m，则小明乘坐扶梯从 B 处到A 处上升的高度AC 为（　　） A．6m B．6 C．12m D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简　 　. 14．已知，，则　 　． 15．小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　 　 . 16．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为　 　s. 三、解答题：本大题共7小题，共68分. 17．计算： （1）； （2） 18．下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： 解：原式① ② ③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程。 19．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把化成一个完全平方式； 20．观察下列等式： ①； ②； ③； … 解答下列问题： （1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是　 　； （2）利用你观察到的规律，化简； （3）计算：. 21．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 22． 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式. 例如：因为，所以与互为有理化因式. （1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由； （2） 请直接写出的有理化因式； （3） 请比较与的大小. 23． （1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为　 　 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式； B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式； C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式； D选项，被开方数>0，故是二次根式. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））. 2．【答案】A 【解析】【解答】 解： ∵二次根式在有意义 ∴ ∴ 故答案为：A 【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数大于0，列式为，解不等式即可解答. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A选项 ，故A错误； B选项-9在根号里没有意义，故B错误； C选项 ，故C错误； D选项，故D正确. 故选D. 【分析】本题考查二次根式的定义与化简规则，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断选项。首先明确二次根式的被开方数必须是非负数，因此B选项中根号内的-9无意义，可直接排除；再根据算术平方根的定义，算术平方根是一个非负的平方根，所以表示9的算术平方根，结果应为3，而非，故A选项错误；对于带负号的根号，应先求出9的算术平方根3，再取其相反数，结果为-3，因此C选项错误；最后，表示9的两个平方根，即3和-3，所以结果为，D选项正确。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：已知 ，其中绝对值|x-3|≥0，算术平方根≥0。由于两者之和为0，故每个部分均需为0。 即：|x-3|=0，=0， 解得：x=3，y=-2。 故选：C 【分析】根据非负数之和为零的条件（非负数之和为零则每个非负数均为零），可分别求出x和y的值，从而确定正确选项。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意； 故选：B． 【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A， 和 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中， 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，，所以 ，并非6，C错误；选项D中，因为 ，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 ，D运算正确。 8．【答案】B 【解析】【解答】解： （小明解答正确）， （小丽解答错误）， （小红解答错误）， （小亮解答正确）； 小丽和小红解答错误， 故选：B． 【分析】根据二次根式的四则运算规则，逐步求解即可． 9．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：． 【分析】 二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为，然后把，代入求值即可． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b， 故答案为：A. 【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意； ②，不成立，故不符合题意； ③，不成立，故不符合题意； ④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； ⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意； ∴成立的个数为0， 故选：A． 【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可． 12．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意，得 AC=BC÷=12÷=12(m). 故选C. 【分析】根据坡比的定义代入数据计算即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b＜0 ，∴＋=b+b-a=2b-a . 故答案为：2b-a. 【分析】根据数轴上a，b对应的点的位置进行化简即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：据题意得：， n=， ∴mn=3×=. 故填：. 【分析】根据题意，将“×”“ ”代入中的“”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：当h=60时， ， 故答案为：. 【分析】将h=60和g=10代入公式，结合二次根式的性质计算即可. 17．【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】（1）先根据=⋅（a≥0，b≥0）将二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果； （2）利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行展开计算，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果。 （1）解： （2）解： 18．【答案】解：①； 原式 【解析】【解答】解：任务一： =小雷同学的第 ① 步错误. 故答案为： ① 【分析】是完全平方式计算为，所以小雷同学的第 ① 步错误； 二次根式的混合运算先相乘，运用完全平方式计算，再合并同类二次根式计算结果. 19．【答案】（1）解：（1）∵， ∴， ∴，； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）先把等号右边的完全平方式展开并合并同类项，再等号左右对应相等即可； （2）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因此可把7拆成2与的平方和，则原式恰好可以转化成2与的完全平方和公式． 20．【答案】（1） （2）解：； （3）解：原式 . 【解析】【解答】解： （1）由题意可得：，结果为有理数， 故答案为：； 【分析】（1）根据平方差公式即可求解； （2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以，即可求解； （3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可. 21．【答案】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米. （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为： （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法求得这个舞台的宽； （2）利用二次根式的混合运算求得舞台装饰后的面积. （1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 22．【答案】（1）解： 是；因为， 所以与是有理化因式 （2）解：(2) 或 （3）解：因为， 而 所以 【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可； （2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或； （3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果. 23．【答案】解：如图， ∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形的面积为：，∴正方形的边长为：，∴ 正方形的边长为. （1） （2）解：如图， ∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴ 正方形的边长为. 【解析】【解答】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：. 【分析】（1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积为，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长为. （2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积为，进而求出其边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $