北京市八一学校2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题

北京市八一学校教育集团2025-2026学年第一学期期末练习 高二级数学 2026.01 班级 姓名 学号 本试卷共4页，120分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 1.在直角坐标系中，直线x-2y+3=0经过( A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限 己点P是椭圆兮+苫-1上的动点，则尸到畅圆两个焦点的距离之和为( A.2W2 B.2W3 C.25 D.27 3.在空间直角坐标系O-2中，点A1,2,1),B(-1,2,-1),则( A.直线AB/∥坐标平面xOy B.直线AB∥坐标平面xOz C.直线AB⊥坐标平面xO) D.直线AB⊥坐标平面xOz 4.圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离是( ) A.2√5 B.2 C.32 D.√6 5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点，设OA=ā，OB=b, D OC=c,则向量OD可用a,b,c表示为( A.a-b+2c B.a-b-2c 6.如图，在边长为m的正方形组成的网格中，有椭圆C1,C2,C,它们的离心率分别为e,e2,e3,则 ( A.e=ez<es B.e2=e3<e C.e=e2>e3 D.e2=es>e 第1页，共4页 7.己知平面a⊥平面B,则“直线⊥平面a”是“直线∥平面B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设{a}是等差数列，下列结论中正确的是（ A.若4+4>0，则4+4>0 B.若a+a4<0,则4+42<0 C.若0<4<a2,则42>√a4 D.若a<0,则(a-4)(4-4)>0 9.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反 向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线E:。花=业 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，耳，，从耳发 出的光线经过图2中的AB两点反射后，分别经过点C和D,且cos☑BAC=},B15D,则z的离 心率为( 8.V17 D.√5 2 3 10.已知点A(1,0),BA,0),C(0,2),直线y=c+b(k>0)将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数b 的取值范围为( ) B.(0,1) c a-D D.(2-V2,1) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11.过点(0,1)且与直线x-2y=0垂直的直线方程为 12已知双曲线！-1，则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率可以是」 (写 43 出满足条件的一个取值即可) 第2页，共4页 13.某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥S-ABCD(如图2).已知AB长为4米，且平面SAD⊥平面 SBC,则正四棱锥S-ABCD的侧面积为 平方米.（注：棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥 的侧面积) 图 图2 14.己知抛物线y2=2x ①该抛物线的准线方程是 ②设抛物线焦点为F,点A、B在抛物线上（点A在第一象限），若△FAB为等边三角形，则点A的 纵坐标为 15.己知点P是曲线m2+y2=1(其中a,b为常数)上的一点，设M,N是直线y=x上任意两个不同的点， 且W=t.给出下列四个结论： ①当ab>0时，方程x2+by2=1表示椭圆： ②当ab<0时，方程ax2+y2=1表示双曲线； 1 1 ③当a= 24,b-g,且1=4时，使得aWP是等腰直角三角形的点P有6个： ④当a= )，b=。,且0<t<4时，使得ANP是等腰直角三角形的点P有8 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题8分) 设等差数列{an}的公差不为0，{an}的前n项和为Sn.若S=3,且a2,a,a。成等比数列. (I)求{a}的通项公式： (Ⅱ)求使Sn>35成立的n的最小值. 第3页，共4页 17.（本小题12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°.AC交BD于点O,点E是棱 PA上一点，且OE∥平面PCD. (I)求证：点E是棱PA的中点： (Ⅱ)若PB=PD,OP=√，请再从条件①，条件②这两个条 E 件中选择一个作为已知，求平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值， D 条件①：平面PBD⊥平面ABCD; 条件②：PB⊥AC 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题15分) 已知箱圆c:若芳-1a>0的有预点420，为肺C上的动点，且点：不在转上，。 是坐标原点，△AOB面积的最大值为1 (I)求椭圆C的方程及离心率： (IⅡ)过点H(-1,O)的直线与椭圆C交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,F.当 EF=2时，求直线PO的方程. 19.（本小题10分) 已知各项均为正整数的有穷数列An:a1,a2,…,an(n>3)满足1≤i<j<n,有a≠a,·若a.等于 a+a,A≤i<j≤m中所有不同值的个数，则称数列A,具有性质P. (I)判断下列数列是否具有性质P,并说明理由： ①A1:3,1,7,5 ②A:2,4,8,16,32 (Ⅱ)已知数列A。:2,4,8,16,32,m具有性质P,求出m的所有可能取值； (Ⅲ)若一个数列Ao:a1,42,,aoo具有性质P,则aoo是否存在最小值？若存在，求出这个最小值， 并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第4页，共4页 北京市八一学校教育集团2025-2026学年第一学期期末练习答案 高二级数学 2026.01 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 1-5 ACBCD 6-10 DDCBD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11.y=-2x+1 123 (答案不唯一，一 也正确) 13.16√2 14=-2:2+5减2-6 15.②③④ 说明：14题第一空2分，第二空3分： 15题选择1个且正确2分，2个且正确3分，3个且正确5分，错选0分. 三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题8分) (I)解：设等差数列{an}的公差为d,d≠0， 因为S3=3,则4+a+4=3a2=3,所以42=1， 因为4,4，a,成等比数列，所以a=a2·a6,一一2分 即(1+d)2=1+4d, 解得d=2,或d=0(舍去)，一一4分 所以{a}的通项公式为a,=a2+(n-2)d=2n-3, 即a.=2n-3-一5分 (Ⅱ)因为an=2n-3,4=-1 所以3=6+a）=-2,一一7分 2 依题意有n2-2n>35,解得n>7, 使Sn>35成立的n的最小值为8.一一8分 第1页，共4页 17.（本小题12分) (I)因为OE∥平面PCD: 因为OEc平面PAC,且平面PAC∩平面PCD=PC, 所以OE∥PC.一一2分 因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点，所以E是PA的中点一一3分 (Ⅱ)选择条件①： 因为PB=PD,O是BD的中点，所以PO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD, 平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD, 所以PO⊥平面ABCD,-一5分 0 C 因为ACC平面ABCD,所以PO⊥AC, 又AC⊥BD,所以OB,OC,OP两两垂直， 以0为原点建立空间直角坐标系O-.一一6分 因为菱形的边长为2，∠BAD=60°，所以BD=2,AC=25, 所以C(0,√5,0)，D(-1,0,0),P0,0,√5) 所以DC=1,√3,0)，DP=1,0,V3) 设i=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量， 上C得C0所以， 由 所以 n⊥Dp,i.Dp=0, x+V3z=0 ,所以n=(W3,-1-少，--8分 因为BO⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为m=L,0,0),一一9分 5 所以cos<,n> Imlln 55 一一11分 因此平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值 5 一-12分 选择条件②： 因为PB⊥AC.在菱形ABCD中，BD⊥AC, PB∩BD=B,所以AC⊥平面PBD, 因为POC平面PBD,所以AC⊥PO,因为PO⊥BD,AC⊥BD —一5分 所以OB,OC,OP两两垂直.以下同条件② 第2页，共4页 18.（本小题15分) （I)因为右顶点A(2,0),故a=2,一一1分 又因为△40B面积的最大值为)ab,所以b=1,方=1-一2分 又c2=a2-b2,所以c=√5，--3分 所以树图C的方程为于=1，度心学为 .-5分 4 2 (IⅡ)①当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为x=-1. 设1马aL9剥2=5由于64P0w 所以1E列-PQ-2不合题意.一分 ②当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为y=k(x+1)(k≠O),一一7分 y=k(x+1) 由{2+42=4得1+x2+8M2+(42-)=0,-一8分 △=163k2+1)>0,k∈R. 8k2 42-4 设P心)，Qy),则+=1十2=i+42, 一一9分 直线AP的方程为y=当，：-2)，由于5≠2 五-2 42,则0.-2 令x=0,得点E的纵坐标=-2 m1-2,-—10分 同理可得F(0.一22 2-2 所以1EF1=1-2--2=22=2)-22 1-22-2 (-2)(r2-2 -2+11-2=m+12-2斗=6k 1-2 (-2)(2-2) '1:r2-2(+r2)+4 一一11分 因为x-x=V化+x2)3-4x, -8k2 -4.42-4_4V3k2+1 V1+4k2 一一12分 1+4k2 1+4k2 xx2-2(31+x2+4= 4k2-4 2.-8k3 1+4k2 1+42+4 36k2 一13分 1+4k2 4W3k2+1 EF=6k 1+4k2 4W3k2+1 2W3k2+1 =6k -一14分 36k2 36k2 3 1+42 第3页，共4页 因为EF 23G打-2，则3+1-9g,解得k=士6 满足△>0 3引k 6 所以直线PH的方程为x-√6y+1=0或x+√6y+1=0.一一15分 19.（本小题10分) （I)①A4:3,1,7,5,任意两项和的结果有4,6,8,10,12共5个，而a4=5,所以具有性质P. ②A:2,4,8,16,32,任意两项和的结果有6,10,12,18,20,24,34,36,40,48共10个，而=32，所以不 具有性质P. 一一2分 (Ⅱ)对于数列A。:2,4,8,16,32,m,任意两项和不同的取值最多有15个，所以m≤15. 而A:2,4,8,16,32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数， (1)当为奇数时，a,+m(1≤i≤5)都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则 A6:2,4,8,16,32,m中所有4+a,1≤i<j≤6)的值共有15个，所以m=15. （2)当m为偶数时，a,+m1≤i≤5)都是偶数，所以10≤m<15.所以m∈10,12,14， =10时，10+32=42在前5项中任两项和的结果中未出现， 所以A。:2,4,8,16,32,m中任意两项和的不同值的个数大于10，即m>10,矛盾. m=12时，12+32=44,12+16=28,12+2=14这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出 现，所以A。:2,4,8,16,32,m中任意两项和的不同值的个数大于12，即>12，矛盾. =14时，A。:2,4,8,16,32,m中任意两项和的不同值6,10,12,16,18,20,22,24,30,34,36,40,46,48 共14个，成立. 综上，m=14或m=15. 一一6分 ()a存在最小值，且最小值为197. 将Ao。的项从小到大排列构成新数列Bo:b,b2,…,bo, 所以b+b2<b+b,<.<b+b0<b+bo0<b3+b0.<bg+bo 所以b+b,1≤i<j≤100)的值至少有99+98=197个. 即a+a,1≤i<j≤100)的值至少有197个，即ao≥197. 数列A0:98,99100195,196.197符合条件.即4=i+97,i=1,2,3…,100 此时，A:98,99,100.…195,196197为等差数列，由等差数列性质， 当i+j≤100时，4+a=4+a+-1;当i+j>100时，a+a,=a+-10+ao, 因此每个4+a,Q<i<j≤100)等于a,+a,(2≤k<100)中的一个，或者等于 am+a1oo1≤m<100)中的一个. 即所有和的不同值为197,198,199，…393，共197个不同值，且41o=197. 综上，a1的最小值是197， 一个满足条件的数列A0:98,99100…195196197.一一10分 第4页，共4页