精品解析：北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

北京师大附中2025—2026学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：______姓名：______学号：______ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直接用空间向量的数量积公式计算即可求解. 【详解】已知 ，， 因为，所以， 即，化简得 故选：A 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【详解】在等差数列中， 故选：B. 4. 与直线平行且过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 5. 已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得. 【详解】圆的圆心为：，半径为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得. 故选：D. 6. 已知抛物线：的焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 分析】由抛物线准线方程结合抛物线定义即可求解. 【详解】由题可得抛物线开口向左，准线方程为， 因为抛物线上的点到直线的距离为7，所以到直线的距离为5， 所以. 故选：C 7. 已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义可分别得到的值，然后由余弦定理可得，从而可得，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】由题可知，，， 因为、分别为和的中点， 所以，所以， 且， 在中，由余弦定理可得 ， 则， 所以. 故选：A. 8. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由方程为椭圆求出参数m，再由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 9. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2． 10. 已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. 的最大值为20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算数列的奇数项和偶数项，可得出选项A，分别计算奇数项的和，偶数项的和，相加得，可得出选项B，分别计算前n项和的最大值，可得出选项C，代入的公式可得出选项D. 【详解】奇数项 ，构成首项为8、公差为 的等差数列. 通项； 偶数项： ，构成周期为2的周期数列；， 通项：， 选项A，，对应， ，选项A 错误. 选项B，为偶数， 奇数项和：， 偶数项和：， ， 为奇数， 偶数项和：， ， 选项B 错误. 选项C，由 为偶数，， 为奇数，， 开口向下的二次函数，对称轴都为， 所以， ，C错误. D. ， ，即 ， ， ， ， ，选项D 正确. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 详解】令可得，即. 故答案为： 12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 13. 若圆：与圆：无交点，则的一个值可以是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据两圆位置关系进行求解. 【详解】因为圆：与圆：无交点， 所以圆与圆相离或内含，， 当两圆相离时，， 当两圆内含时，， 综上或； 故答案为：（答案不唯一） 14. 设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式和求和公式列方程求解. 【详解】当时，，成立； 当时，，又，所以， 化简得， 解得 或． 综上可知，公比的值为或． 故答案为：1或 15. 已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线， 对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式可得答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，的公比为， 因为，，所以， 解得，，所以 由，，可得，解得或， 因，则，故. 【小问2详解】 由（1）知，， 17. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1. 18. 已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的离心率； （2）求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程结合离心率定义即可得解. （2）先求出直线方程，接着联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和点到直线距离依次求出和点A到直线的距离即可由面积公式求解. 【小问1详解】 因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； 【小问2详解】 由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：； （2）若点在棱上且，求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）易知，结合面面垂直与线面垂直的性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 由为的中点，知， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此. 【小问2详解】 连接，取的中点，连接， 此时可知，由可知为正方形， 则， 易知，， 所以，故. 连接，则，所以， 又平面，平面，所以. 建立如图空间直角坐标系， 又均为等腰直角三角形，所以. ， 则，又， 又，所以. 易知为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则， 设平面与平面所成角为， 则，所以， 即平面与平面所成角的大小为. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】（1）； （2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【小问1详解】 由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上. 21. 已知数列是递增的整数数列，.定义数列的“相邻数列”为，其中，，或，. （1）若，数列，写出的所有“相邻数列”； （2）若，数列满足，，且的所有“相邻数列”均为递增数列.求满足条件的数列的个数； （3）若，数列满足，，且存在的一个“相邻数列”，使得对任意，，求的最小值. 【答案】（1）；；；； （2）11个； （3）37 【解析】 【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可； （2）任取的一个“相邻数列”，根据相邻数列的概念可得且，对于的取值分情况讨论，利用为递增数列可得是公差为1的等差数列，列不等式组求解即可； （3）令可得对任意，设，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，进而根据定义求解即可. 【小问1详解】 根据“相邻数列”的概念可知，， 或，或， 所以数列的所有“相邻数列”有；；；. 【小问2详解】 任取的一个“相邻数列”， 因为或， 或， 所以有且， 对于的取值分以下4种情形： （a）， （b）， （c）， （d） 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形， 由于递增，，即， 由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足条件的数列的有11个； 【小问3详解】 令，所以对任意， 设，则且， 先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合． 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合， 因此，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时，对任意的，由得， 所以对任意的，注意到， 所以， 等号当且仅当时取到；此时符合题意； （ii）存在整数，使得 对任意的，对任意的， 所以 ， 此时取等条件需满足条件， 且， 故，与题意矛盾，无法取等，即此时； （iii）．此时，对任意的，与情形（i）类似， 对任意的，注意到， 所以累加得， 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025—2026学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：______姓名：______学号：______ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 与直线平行且过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ） A 2 B. C. 4 D. 6. 已知抛物线：焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. 的最大值为20 D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的渐近线方程是___________． 12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 13. 若圆：与圆：无交点，则一个值可以是______. 14. 设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为________. 15. 已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 18. 已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的离心率； （2）求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：； （2）若点在棱上且，求平面与平面所成角的大小. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 21. 已知数列是递增的整数数列，.定义数列的“相邻数列”为，其中，，或，. （1）若，数列，写出的所有“相邻数列”； （2）若，数列满足，，且所有“相邻数列”均为递增数列.求满足条件的数列的个数； （3）若，数列满足，，且存在的一个“相邻数列”，使得对任意，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $