精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末监测 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共23道小题，满分150分．答题时间120分钟． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是_____． 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数n 20 40 60 80 120 150 200 投中次数m 15 33 47 65 95 120 160 投中频率 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次时投中的概率是______．（结果保留小数点后两位） 12. 方程的解是______． 13. 已知是关于的二次函数，那么________． 14. 在东方传统建筑中，瓦片（如图1）是屋顶的必备用材，其横截面是一段如图2所示的弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，若，，则的长是____．（结果保留π） 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标为______； （2）将绕原点O逆时针旋转后得到，画出． 18. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到、点A、C旋转后的对应点分别为点D、E，连接． （1）若，求的长； （2）求的度数． 19. 为促进学生全面发展，阳光中学开设了4门劳动课程，分别是A（蔬菜种植），B（整理收纳），C（简单烹饪），D（动物饲养）．学生可以从这些课程中选择一门学习． （1）九（1）班的小辰随机选择了一门劳动课程，他选到B（整理收纳）的概率是____； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别随机选择了一门劳动课程，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 20. 如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 21. 李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 22. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在的延长线上，连接．且，连接，，与相交于点F． （1）求证：是的切线． （2）已知的半径为3． ①若，则阴影部分的面积为_______；（结果保留） ②若，．求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末监测 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共23道小题，满分150分．答题时间120分钟． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需注意方程中未知数的个数和次数． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2）判断各选项． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； B、方程中未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程； C、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； D、方程中只含未知数x，且最高次数为2，满足定义，是一元二次方程． 故选：D． 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵交通信号灯的变化是随机的， ∴经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴事件“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件． 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】由抛物线可得，顶点坐标为． 故选：A 5. 如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由旋转可知即为旋转角，再由在同一条直线上，，即可求出的大小． 【详解】解：∵在同一条直线上，， ， 即至少旋转了， 故选：B． 6. 如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解． 【详解】解：∵正六边形内接于， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：A． 7. 二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是_____． 【答案】点在圆内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知，因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 当时，点在圆上；当时，点在圆外， 所以点在内． 故答案为：点在圆内． 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数n 20 40 60 80 120 150 200 投中次数m 15 33 47 65 95 120 160 投中频率 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次时投中的概率是______．（结果保留小数点后两位） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率．试验的次数越多频率稳定在概率附近，据此解答即可． 【详解】解：由频数分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率稳定在常数附近， 所以一次投中的概率是． 故答案为：． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13. 已知是关于的二次函数，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 14. 在东方传统建筑中，瓦片（如图1）是屋顶的必备用材，其横截面是一段如图2所示的弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，若，，则的长是____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据已知可得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴的长是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理．先由旋转的性质得到，，然后由计算出的长度，最后由勾股定理算出线段的长． 【详解】解：由旋转得，，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可求解； （2）利用因式分解法计算即可求解． 【小问1详解】 解： ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， 即或， 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标为______； （2）将绕原点O逆时针旋转后得到，画出． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，可知点的坐标为； （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作原点对称图形，作旋转图形． （1）找出对称点，连线即可；根据平面直角坐标系作答即可； （2）找出对应点，连线即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到、点A、C旋转后的对应点分别为点D、E，连接． （1）若，求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． （1）根据旋转得出，证出是等边三角形，即可得． （2）在中，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， 根据旋转可得， ∴． 19. 为促进学生全面发展，阳光中学开设了4门劳动课程，分别是A（蔬菜种植），B（整理收纳），C（简单烹饪），D（动物饲养）．学生可以从这些课程中选择一门学习． （1）九（1）班的小辰随机选择了一门劳动课程，他选到B（整理收纳）的概率是____； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别随机选择了一门劳动课程，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可； （2）画出树状图求解即可． 【小问1详解】 解：小辰随机选择了一门劳动课程，他选到B（整理收纳）的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的劳动课程相同的结果有4种， ∴他们选择的劳动课程相同的概率． 20. 如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． （1）若矩形菜地的面积是，求x的值． （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，围成的菜地面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； 【小问2详解】 解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 22. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在的延长线上，连接．且，连接，，与相交于点F． （1）求证：是的切线． （2）已知的半径为3． ①若，则阴影部分的面积为_______；（结果保留） ②若，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由是的直径，得到，进而推出，即可得证结论； （2）①求出，根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式即可求解．②根据，，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，， ， ， ． ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【小问1详解】 解：当时 ， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $