湖北省沙市中学2026届高三上学期阶段性测试（二）数学试题

2026届高三阶段性测试（二） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,1,2,4,B={xx-1<1},则A∩B= A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 2.(2+2i)1-2i)= A.-2+41 B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形 状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的 正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积， 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长 的比值为 A. 5-1 B.5-1 c.5+1 D.5+1 4 2 4 2 4.己知等比数列{a}的前3项和为168，a2-a,=42,则4。= A.14 B.12 C.6 D.3 5.己知函数fx)=2sim(2x+o01<). 若关于x的方程f(x)=1在(0，π)上恰有一个 实数根，则f(2)= A.-2 B.-5 c.V3 D.2 数学试卷第1页（共5页） 6.方程x2-xcos0+sin0=0的两个不等实根为m,n,那么过点A(m2,m),B(n,n)的直 线与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相交 B.相切或相交 C.相切 D.与0的大小有关 7.设函数f(x)=e(2x-1)ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x。,使得f(x)<0, 则a的取值范围是 A.-3,1) B.【-33 D.) 2e 2e4 22 8.设椭圆g:+上 a+:=1(a>b>0)的左右焦点为A,乃，右顶点为A,已知点P在椭圆B 上，若∠FPF,=90°，∠PAF,=45°，则椭圆E的离心率为 A.月 B.6 C.2-√2 D.5-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知O为坐标原点，点P(cosa,sina),P,(cosB,-sinB),P,(cos(a+B),sin(a+P),A(1,0) 则 A.OR=OP B.AR=AP C.OA.OP:=OR.OP D.OA.OP=OB.OP 10.已知定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且f(2x)+f(x+yf(心-y)=0,则 A.f(0)=-1 B.f(x)f(-x)=2 C.f(3)=f(1]3 D.f(x)+f(-x)≤2 11.已知正四面体ABCD的棱长为2V2,其外接球的球心为O.点E满足AE=1AB(0<1<1), CF=uCD(0<u<1),过点E作平面u行于AC和BD,平面&分别与该正四面体的 棱BC,CD,AD相交于点M,G,H,则 数学试卷第2页（共5页） A.四边形EMGH的周长为定值 B.四棱锥A-BMGH的体积的最大值为 81 C.当2=二时，平面α截球O所得截面的周长为√元 4 D.当1=u=二时，将正四体ABCD绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分体积为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(2,o),且P(2<X≤2.5)=0.36.则 P(X>2.5)=_ 13.记品为数列{a)的前n项和.已知识+n=3如+1，a-号，则数列(a}的通项公式 是 14.己知△4BC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当1C 取得最小 AB 值时，BD= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.(13分) 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次 配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工 艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分 别记为x,y,(=1,2,3,,10).试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率x 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率y 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，=x,-y,(1=1,2,3,,10),，记1,2，，1o的样本平均数为二，样本方差为s2. (1)求，s2: 数学试卷第3页（共5页） (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是 否有显著提高（如果≥2 则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后 10 的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高) 16.(15分) 如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点， (1)证明：平面BED⊥平面ACD: D (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上， 当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的 正弦值. 17.(15分) 己知函数f(x)=e+a2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x≥0时，fx)≥x3+1,求a的取值范围 18.(17分) 己知点A(-2,0),B(2,0),动点M,)满足直线AM与BM的斜率之积为-二记M的轨 迹为曲线C (1)求C的方程，并说明C是什么曲线： (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E, 连结QB并延长交C于点G (i)证明：△PQG是直角三角形： (ii)求△PQG面积的最大值 数学试卷第4页（共5页） 19.(17分) 己知无穷数列{a}满足：4,4为正整数，且a,=a1-a2,neN. (1)若m=1,=2,求44： (2)证明：“存在k∈N,使得k=0”是“{a}是周期为3的数列的必要不充分条件： (3)若4≠a2,是否存在数列{a},使得a.<2026恒成立？若存在，求出一组a,a2的 值；若不存在，请说明理由. 数学试卷第5页（共5页） 2026届高三阶段性测试（二） 数学参考答案与解析 1 2 3 4 6 8 9 10 B D D A 小 D D AC ACD 11 ABD 1.【试题来源】2022年新高考二卷第1题 2.【试题来源】2022年新高考二卷第2题 3.【试题来源】2020年新课标一卷（理科）第3题 4.【试题来源】2022年全国乙卷（理科）第8题 5.【试题来源】原创题（考察三角函数的周期性） 6.【试题来源】原创题（考察圆与直线的关系） 7.【试题来源】2015年新课标一卷（理科）第12题 【详解】设g(x)=e(2x-1),y=a(x-1) 由题意知，函数y=g(x)在直线y=ar-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， g()=e(2x+),当x≤时，80：当>-时，8()>0 所以.数=（的受小值为）2 y=ax-a 又g(0)=-1,g1)=e>0 直线y=axr-a恒过定点(1,0)且斜率为a, y=e(2x-1) 2e 5a<l 故-a>g(0)=-1且g(-1)=-32-a-a,解得 8.【试题来源】2024一2025学年度武汉市部分学校高三年级九月调研第8题 【if解1白所圆8若+片=1a>b>0,可得<0R队.Aa0. 不妨设点P(:,y)在第一象限，由椭圆的定义知P+PF,=2a, 因为∠RPR=90,可得|P+|PE=R,即PF+PED-2PPE=4, 可得4a2-2PPF=4c2,所以PFPF=2(a2-c2)=2b2 所以△FPP,的面积为8=PrP=b3,可得×2cy=,解得y=6 答案第1页 b2 b2 b2 又因为a-xp=yp,可得x。=a-D,即P(a- c 将点P代入精圆的方程，可狗(a匀： a+ b21 整理得a2+b2-2ac=0, 因为b2=a2-c2,可得c2+2ac-2a2=0,即e2+2e-2=0, 解得e=√5-1和e=-√5-1（舍去），即离心率为√5-1： 9.【试题来源】2021年新高考一卷第9题 10.【试题来源】2022年新高考一卷第12题深度改编 【详解】对于A:令x=y,则f(2x)+f(2x)f(0)=0, 即f(2x)1+f(0)=0, 又函数f(x)不是常数函数，所以1+f(0)=0, 即f(0)=-1,故A正确： 对于B:令x=0,则f(0)+f(y)f(-y)=0, 所以f(yf(-y)=1,即f(x)f(-x)=1,故B错误： 对于C:令x=1,y=0,则f(2)=-[f], 再令x=1,y=2,则f(2)+f(3)f(-1)=0, 由f(x)f(-x)=1可知，当x=1时，f(1)f(-1)=1, 则-石@-0e-,反心E 对于D:令y=0,则f(2x)=-f()<0,所以f(x)=-f()<0, 则-f(x)>0,-f(-x)>0,又f(xf(-x)=1, 所以-[f(x)+f(-x]≥2Vfxf()=2, 即f(x)+f(-x)≤-2，当且仅当f(x)=f(-x)=-l时等号成立，故D正确， 11.【试题来源】2021年新高考一卷第12题深度改编 【详解】对于边长为2的正方体AB,CD-ABC,D,则ABCD为棱长为2√2的正四面体， 则球心O即为正方体的中心， 答案第2页 D 连接B,D,,设AC∩BD1=N, :BB,∥DD,BB=DD,则BB1DD为平行四边形， BD∥B,D, 又：BD∥平面a,B,D丈平面a, B,D,∥平面， 图1 又：AC∥平面&，AC∩B1D,=N,AC,B1D,C平面AB,CD, .平面a∥平面AB,CD, 对A:如图1， :平面uII平面AB,CD,平面u∩平面ABC=EM,平面AB,CD∩平面ABC=AC, :BM11AC,则BY-BE=1-2,即BM=(1-2AC=2N20-2), AC AB 同理可得：HE11GM11B,D,HB=GM=-2√21， EM II GH 11 AC,EM=GH=22(1-A), ∴四边形EMGH的周长L=EM+MG+GH+EH=4√2（定值），A正确： 对B:如图1，由A可知：HE11GM11B,D,HB=GM=2N2, EM1I GH II AC,EM=GH=22(1-A), :AB,CD为正方形，则AC⊥BD, EMGH为矩形， 根据平行可得：点A到平面u的距离d=2AA=2, 故四棱鞋A-GH的体积v-}2元x25元x250-刘-92-2) 则r=22-32), 3 0<<1,则当0<元<时，则r>0,v在0，号 上单调递增， 当2<元<1时，则/<0，V在 3 止单词滋减。 当元=2时，V取到最大值 64 81 781,B正确， 故四棱锥A-EMGH的体积的最大值为64， 答案第3页 对C:正四面体ABCD的外接球即为正方体AB,CD-ABCD的外接球， 其半径R=√3， B 设平面a截球O所得截面的圆心为O,半径为r, A 时，侣-行平面A0a过外接球球0， 2 平面α截球O所得截面圆半径为R=√3， B 截面圆周长为2元迟=23π，C错误： 图2 对D:如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转90°后得到正四面体ABCD, ADI AD=P,ACI BD=K,BCI BC=O,BDI AC=N, ~A=u=号则ER,PQ,KN分别为各面的中心， :两个正四面体的公共部分为EFPOKN,为两个全等的正四棱锥组合而成， 根据正方体可得：P=V反，正四棱维K-P8OF的商为A41, 故公共部分的体积V=2严-05=2×}×IxV2x√2=4，D正确： 1 12.【试题来源】2022年新高考二卷第13题 01417 50 13.【试题来源】2025年全国一卷第13题改编 3 14.【试题来源】2022年全国甲卷第16题 B-1/-1±5 【详解】 [方法一]：余弦定理 设CD=2BD=2m>0, 则在△ABD中， AB2=BD2+AD2-2BD.ADCOS LADB=m2+4+2m, B D 在△ACD中， AC2=CD+AD2-2CD.ADcOS LADC=4m2+4-4m, 4C-4m+4-4m_4(r+4+2测-120+m-412 所以AB2m2+4+2m m2+4+2m 3 (m+1)+ m+1 答案第4页