精品解析：吉林省长春市 农安县新农乡初级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

新农中学八年级上学期数学期末学情调研题 考生注意：本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1. 2 的平方根是 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根,即可得解. 【详解】由题意，得 故选：D. 【点睛】此题主要考查对平方根的理解，熟练掌握，即可解题. 2. 下列运算中，正确的是（　 　） A. a2•a3＝a6 B. （a3）3＝a9 C. （2a2）2＝2a4 D. a9÷a2＝a4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法逐项计算即可求解． 【详解】解：A. a2•a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意； B. （a3）3＝a9故该选项正确，符合题意； C. （2a2）2＝4a4，故该选项不正确，不符合题意； D. a9÷a2＝a7，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 3. 若等腰三角形的一个角等于100°，则这个三角形的另外两个内角分别为（ ） A. 40°，40° B. 50°，50° C. 100°，20° D. 40°，40°或100°，20° 【答案】A 【解析】 【详解】根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角， 所以每个底角的度数为：（180°-100°）=40°， 即另外两个内角分别等于40°，40°． 故选A. 4. 下列选项中，有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 同角的补角相等 C. 三边对应相等的两个三角形全等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据等腰三角形的判定、对顶角的定义、三角形全等的性质各逆命题的真假． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是等腰三角形，此逆命题为假命题，所以A选项没有逆定理，不符合题意； B、同角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角，此逆命题为假命题，所以B选项没有逆定理，不符合题意； C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理； D、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以D选项没有逆定理； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可. 【详解】解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误; B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误; C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误. D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确; 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式. 6. 下列各组条件中，可以判定△ABC≌△DEF的条件是（ ） A. AB=DE、AC=DF、BC=EF B. ∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F C. AB=DE、AC=DF、∠C=∠F D. BC=EF、∠A=∠D 【答案】A 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL，根据以上定理判断即可 【详解】解： A、符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； B、只有角相等，不能判定△ABC≌△DFE，故本选项不合题意； C、只满足SSA，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合题意； D、只有一角一边两个条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL． 7. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】∵a+b=3， ∴a2-b2+6b =(a+b)(a-b)+6b =3(a-b)+6b =3a-3b+6b =3a+3b =3(a+b) =9． 故选C 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ） A. 12cm B. 17cm C. 20cm D. 25cm 【答案】B 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm 由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6 ∴BD=DE+BE=8 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】按多项式除单项式法则计算即可． 【详解】解：（4x3-2x）÷2x =4x3÷2x-2x÷2x =2x2-1 故答案为：2x2-1． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键． 10. 某校对1200名学生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是________. 【答案】300． 【解析】 【详解】试题解析：该组的人数是：1200×0．25=300（人）． 考点：频数与频率． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式．综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 13. 如图所示．中，，在上，，，则的度数为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，代入数据计算即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，，， ， 即， ， ． 故答案为：． 14. 如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动______秒后，与全等． 【答案】6 【解析】 【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于， ∴， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，， ∴， ∴； ②若，则， 解得：， ∴， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 三、解答题（15、16、17题每题6分，18、19、20每题7分，21每题8分，22每题9分，23题10分，24题12分，共计78分，解答题要有必要的文字说明） 15. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】首先利用绝对值的性质和算术平方根、立方根的性质化简，然后再计算加减即可． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握绝对值的性质和算术平方根、立方根的性质． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可． 【详解】原式 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键． 17. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法分解因式． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可． （2）先提公因式， 然后利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 = = 18. 某校在八年级（1）班学生中开展关于中小学“五项管理”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”；B类表示“比较了解”；C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图． 请根据上述信息解答下列问题： （1）该班参与问卷调查的人数有　 　人； （2）补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数． 【答案】（1）50 （2） 条形统计图补充如下： （3）108° 【解析】 【分析】（1）用B类的人数除以其所占的百分比可得到样本容量； （2）用样本容量减去A、B、D类的人数可求得C类的人数，进而补全条形统计图； （3）用A类人数除以总人数得到A类所占的百分比，然后乘以360°，即可得出A类所对应扇形圆心角的度数． 【小问1详解】 该班参与问卷调查的人数有：20÷40%=50（人）； 故答案为：50； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数是：15÷50×360°=108°． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. [核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． （1）试求出式子中，的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、二元一次方程组的应用，解题关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出，的值． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出，的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， ， 由得，代入得， 解得， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得． 20. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若， （1）试说明 （2）求的长 【答案】（1） 根据折叠可知：， ∴． 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出； （2）根据全等三角形的性质可得出，设，则， 中，根据勾股定理，可得到x的值． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 21. 如图，已知四边形是梯形，，，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 因为， 所以， 因为， 所以． （2）28° 【解析】 【分析】(1)根据，得到，利用AAS证明全等即可． (2)根据，得到，结合，计算，利用直角三角形两个锐角互余，计算，计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 22. 规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①，在与中，，当、满足条件__________时，与互为“兄弟三角形”； （2）如图②，在与互为“兄弟三角形”，相交于点M，连，求证：平分； （3）如图③，在四边形中，，求的度数． 【答案】（1）； （2）作AH⊥DM，AN⊥BM，如图： ∵与互为“兄弟三角形”，， ∴， ∴， 即， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABN=∠ACH， ∵∠ANB=∠AHC=90°，AB=AC， ∴△ABN≌△ACH， ∴AN=AH， ∵AH⊥DM，AN⊥BM， ∴AM平分； （3）60°． 【解析】 【分析】（1）由角的等量代换，以及“兄弟三角形”的定义，即可得到答案； （2）根据兄弟三角形的定义，得到，然后证明△ABE≌△ACD，则∠ABN=∠ACH，再证明△ABN≌△ACH，得到AN=AH，即可得到结论成立； （3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，先证明△ABC≌△ADH，再得到△ACH是等边三角形，然后得到∠BCD=120°，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， 又“兄弟三角形”的定义，则 ， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵BC=DH，AB=AD， ∴△ABC≌△ADH， ∴AH=AC， ∵， ∴， ∴△ACH是等边三角形； ∴∠ACD=∠H=60°， ∴∠ACB=∠H=60°， ∴∠BCD=60°+60°=120°， ∴∠BAD=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 23. （1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，换元法，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，，由题意得，，由，代入计算即可； （4）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2），，， ， 故答案为：； （3）设，，则，， ∴ ， （4）设，，由题意得，，，即， ， 所以种草区域的面积和为． 24. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，求的最小值及此时的面积． 【答案】（1）的长为 （2） 证明：如图2，在上截取，连接， 和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可知，过点作于点，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出的长度； (2)在上截取，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据全等三角形的性质可得，根据，可证结论成立； (3)连接，延长至点，由(1)可得：，根据全等三角形的性质可得，从而可知点在的外角的角平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，最短，由勾股定理可以求出的值，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， 如图1，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， 即的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，延长至点， 是等边三角形， ，， ， 由(1)可得：， ， ， 点在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知，当时，最短， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 即的最小值为， 过作于H， ， ，， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新农中学八年级上学期数学期末学情调研题 考生注意：本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1. 2 的平方根是 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　 　） A. a2•a3＝a6 B. （a3）3＝a9 C. （2a2）2＝2a4 D. a9÷a2＝a4 3. 若等腰三角形的一个角等于100°，则这个三角形的另外两个内角分别为（ ） A. 40°，40° B. 50°，50° C. 100°，20° D. 40°，40°或100°，20° 4. 下列选项中，有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 同角的补角相等 C. 三边对应相等的两个三角形全等 D. 对顶角相等 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A. B. C. D. 6. 下列各组条件中，可以判定△ABC≌△DEF的条件是（ ） A. AB=DE、AC=DF、BC=EF B. ∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F C. AB=DE、AC=DF、∠C=∠F D. BC=EF、∠A=∠D 7. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ） A. 12cm B. 17cm C. 20cm D. 25cm 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 某校对1200名学生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是________. 11. 分解因式：______． 12. 若，，则______． 13. 如图所示．中，，在上，，，则的度数为_____________ 14. 如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动______秒后，与全等． 三、解答题（15、16、17题每题6分，18、19、20每题7分，21每题8分，22每题9分，23题10分，24题12分，共计78分，解答题要有必要的文字说明） 15. 计算： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 18. 某校在八年级（1）班学生中开展关于中小学“五项管理”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“非常了解”；B类表示“比较了解”；C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图． 请根据上述信息解答下列问题： （1）该班参与问卷调查的人数有　 　人； （2）补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中A类所对应扇形圆心角的度数． 19. [核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． （1）试求出式子中，的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 20. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若， （1）试说明 （2）求的长 21. 如图，已知四边形是梯形，，，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①，在与中，，当、满足条件__________时，与互为“兄弟三角形”； （2）如图②，在与互为“兄弟三角形”，相交于点M，连，求证：平分； （3）如图③，在四边形中，，求的度数． 23. （1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 24. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，求的最小值及此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $