专题06整式的乘除题型突破讲义（2）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题06整式的乘除题型突破讲义（2） 一、核心法则与公式 1.单项式 × 多项式：遍乘每一项再相加，a(b+c)=ab+ac 2.多项式 × 多项式：逐项相乘再相加，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，算完合并同类项 3.平方差公式：同项乘同项减反项乘反项，(a+b)(a−b)=a2−b2（特征：一同一反二项式相乘） 4.完全平方公式：首平方 + 尾平方 + 首尾乘积 2 倍，(a±b)2=a2±2ab+b2（特征：二项式平方，结果三项） 二、核心重点 1.掌握多项式乘法基本法则，做到不重乘、不漏乘 2.精准识别公式结构，能快速套用平方差、完全平方公式 3.计算后合并同类项，保证结果最简 三、高频难点 & 易错点 1.符号问题：含负号的式子相乘，注意每一项符号变化，尤其(a−b)2的中间项为负 2.公式易错：完全平方别漏 2 倍项，平方差别算成平方和；单项式代公式要加括号再平方（如(2x)2） 3.基础失误：多项式相乘漏乘项，合并同类项算错系数，忽略 1或-1 的系数 基础 过关题 1.多项式乘多项式的计算 2.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 3.平方差公式的直接运算 4.整式乘法混合运算 能力 提升题 5.多项式乘积不含项求字母值 6.多项式乘多项式的化简与求值 7.完全平方式中字母系数求解 8.平方差公式的几何应用 9.完全平方公式的几何应用 拓展 拔高题 10.多项式乘多项式与图形面积 11.多项式乘法中的规律探究 【题型1.多项式乘多项式的计算】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了多项式乘以多项式，解题的关键是牢记运算法则．按照多项式的乘法法则展开运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，理解三个连续奇数的关系是关键． 根据连续奇数的性质，中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为，它们的积可利用多项式乘多项式计算． 【详解】解：设中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为， 首尾两个数的积为 ， 故答案为：． 4．某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的应用． 先分别表示出售价和销售量，再相乘即可． 【详解】解：每件的定价为12元，降价x元，则售价元， 每降价x元，每天可多售件，则销售量件， 则每天的销售总收入是元， 故答案为：． 5．若，则的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于，的方程来确定，的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， 故选：C． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，掌握单项式乘多项式时要注意符号的分配，每一项都要乘以单项式并保留符号是解题的关键． 对每个选项运用单项式乘多项式的分配律展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出计算错误的选项． 【详解】解：A、等式左边，但等式右边为 ，两者不相等，计算错误，符合题意； B、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； C、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； D、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意． 故选：A． 【题型2.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算】 7．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘多项式，展开等式左边建立关于m，n的方程组是求解本题的关键．将等式左边展开，建立关于m，n的方程，然后解方程求得m、n即可解答． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法．先把方程的左边化为与右边相同的形式，再分别令其一次项系数与常数项分别相等即可求出a、b的值． 【详解】解：， ∴，， 解得：，， 故选：C． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据，依题意，则，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 解得 把代入，得， 解得． 故选：C． 10．若（a、b、c为常数），则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．计算多项式乘以多项式可得，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴（为常数）， ∴， ∴， 故答案为：0． 11．一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算以及一元一次方程的运用，根据题意正确列出等式是解答本题的关键． 设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：A． 解答题 12．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【题型3.平方差公式的直接计算】 13．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式将已知条件代入求解，即可作答． 【详解】解：依题意，． 把和代入，得， 解得． 故答案为：3． 14．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 15．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过乘以构造平方差公式，逐步简化计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 解答题 17．用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式的综合应用，掌握观察数字特征，通过凑完全平方、转化为整数形式、用中间数表示对称数等技巧，结合公式简化计算是解题的关键． 【题型4.整式乘法混合运算】 18．我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 【答案】A 【分析】本题考查了化归数学思想及整式的混合运算，根据整式的乘法混合运算过程即可求解，熟练掌握数学思想方法是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 这个过程体现的数学思想是化归思想， 故选A． 19．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的乘法，根据去括号法则一步步计算得到答案即可； 【详解】解：； 故答案为： 21．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值和整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算是解题的关键． 先化简再代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 22．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 解答题 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】根据整式乘法的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【点睛】本题考查整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练运用整式乘法的混合运算法则，本题属于基础题型． 【题型5.多项式乘积不含项求字母值】 24．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 25．若的结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确结果不含项，则其相应的系数为0． 利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为0，从而可求解． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：． 26．已知多项式与的乘积中不含项和项，则和的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的乘积中不含某项时，求解字母系数的值，二元一次方程组的解法，掌握多项式的乘法运算，合并含字母系数的同类项是解题的关键．先计算多项式的乘法运算，可得结果为，再利用多项式不含项和项，再建立方程组，解方程组从而可得答案． 【详解】解： ， 中不含项和项， ， 解得： ． 故选：A 27．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 【题型6.多项式乘多项式的化简与求值】 28．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先进行多项式的乘法运算，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 29．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 30．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 31．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得，这个多项式 ， 故答案为． 解答题 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 【题型7.完全平方式中字母系数求解】 33．若是完全平方式，则m的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键．利用完全平方式的特点即可求出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：A． 34．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 35．（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 36．若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 解答题 37．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【题型8.平方差公式的几何应用】 38．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 39．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 40．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 41．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 解答题 42．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 【题型9.完全平方公式的几何应用】 43．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【详解】解：， 即． 故选：D. 44．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积的表达式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：． 45．如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，设拼成的正方形的边长为，则拼成的正方形的面积为：，结合，，，求出m和n的取值，即可求解． 【详解】解：边长为a的正方形卡片面积为，边长为b的正方形卡片面积为，长为a、宽为b的长方形卡片面积为， 设拼成的正方形的边长为， 则拼成的正方形的面积为：， 需要个边长为a的正方形卡片，个边长为b的正方形卡片，个长为a、宽为b的长方形卡片， 边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张， ，，， m可能取的值为1，2，3，n可能取的值为1，2，3， 当时，，不合题意； ， 为了让拼成的正方形的面积最大，取，，此时，符合题意； 当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为， 故答案为：． 46．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法公式的几何意义，准确分析计算是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形乙的边长为，得出，，求出，，再根据计算即可； 【详解】设正方形的边长为，正方形乙的边长为， ，， ， ，， 两式相减得：， ， ，， ． 故选． 【题型10.多项式乘多项式与图形面积】 47．一个长方形（长大于宽）的长增加2，宽减少2，这个新长方形与原长方形相比面积（    ） A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的应用，设原来长方形的长是，宽是，根据长方形面积长宽，表示出变化前后长方形的面积，再比较即可求解，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：设原来长方形的长是，宽是，现在的长方形的长是，宽是， ∴原来长方形的面积， 现在长方形的面积， ∵， ∴， ∴这个新长方形与原长方形相比面积减少了． 故选：B． 48．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加米，则广场面积增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积，解题关键是熟练掌握整式的乘法的应用． 由题意得出改造后广场的长、宽后即可算出增加的面积． 【详解】解：依题意得，改造后广场的长是米，宽是米， 广场面积增加了平方米． 故选：． 49．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    【答案】7 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项式的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：7， 故答案为：7． 50．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算． 利用面积的和与差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 解答题 51．计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 【题型11.多项式乘法中的规律探究】 52．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是． 故选：C． 53．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类、多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意找到规律，然后代入，进而得出答案． 【详解】解：由题中规律可得，当时， ， 即， 即， 即， 即． 故答案为：． 54．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为（    ） A．153 B．171 C．190 D．210 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意找出规律是解题关键．观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应，进而得出的展开式中从左起第三项的系数为，即可求解． 【详解】解：观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， …… 观察发现，的展开式中从左起第三项的系数为， 则的展开式中从左起第三项的系数为， 故选：C 55．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 解答题 56．教材中，在计算如图①所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是由个小长方形和个小正方形组成的，则它的面积为． 因此可得到等式． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式： ； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 ； (3)试在虚线框内画出面积为的长方形的示意图标注好，，由图形可知，多项式可写成几个整式的积的形式：__________________； (4)若将代数式展开、合并同类项后得到多项式，则多项式共有_____项？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可； （4）由，共有项． 共有项． 知展开后合并同类项共 【详解】（1）解：由题意可知， 故答案为： （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； 故答案为：． （3）解：如图， 故答案为： （4）解：由，共有项． 共有项． 知展开后合并同类项共 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06整式的乘除题型突破讲义（2） 一、核心法则与公式 1.单项式 × 多项式：遍乘每一项再相加，a(b+c)=ab+ac 2.多项式 × 多项式：逐项相乘再相加，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，算完合并同类项 3.平方差公式：同项乘同项减反项乘反项，(a+b)(a−b)=a2−b2（特征：一同一反二项式相乘） 4.完全平方公式：首平方 + 尾平方 + 首尾乘积 2 倍，(a±b)2=a2±2ab+b2（特征：二项式平方，结果三项） 二、核心重点 1.掌握多项式乘法基本法则，做到不重乘、不漏乘 2.精准识别公式结构，能快速套用平方差、完全平方公式 3.计算后合并同类项，保证结果最简 三、高频难点 & 易错点 1.符号问题：含负号的式子相乘，注意每一项符号变化，尤其(a−b)2的中间项为负 2.公式易错：完全平方别漏 2 倍项，平方差别算成平方和；单项式代公式要加括号再平方（如(2x)2） 3.基础失误：多项式相乘漏乘项，合并同类项算错系数，忽略 1或-1 的系数 基础 过关题 1.多项式乘多项式的计算 2.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算 3.平方差公式的直接运算 4.整式乘法混合运算 能力 提升题 5.多项式乘积不含项求字母值 6.多项式乘多项式的化简与求值 7.完全平方式中字母系数求解 8.平方差公式的几何应用 9.完全平方公式的几何应用 拓展 拔高题 10.多项式乘多项式与图形面积 11.多项式乘法中的规律探究 【题型1.多项式乘多项式的计算】 1．计算： ． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 4．某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 5．若，则的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.(x+p)(x+q)型多项式乘法计算】 7．若，则 ． 8．如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．若（a、b、c为常数），则 ． 11．一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 解答题 12．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【题型3.平方差公式的直接计算】 13．若，，则 ． 14．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 15．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．计算： ． 解答题 17．用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【题型4.整式乘法混合运算】 18．我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 19．计算 ． 20．计算： ． 21．如果，那么的值为 ． 22．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 解答题 23．先化简，再求值：，其中，． 【题型5.多项式乘积不含项求字母值】 24．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 25．若的结果中不含项，则的值为 ． 26．已知多项式与的乘积中不含项和项，则和的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 27．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【题型6.多项式乘多项式的化简与求值】 28．若，，则 ． 29．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 30．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 31．已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是 ． 解答题 32．先化简，再求值：，其中． 【题型7.完全平方式中字母系数求解】 33．若是完全平方式，则m的值是（   ） A． B． C． D．4 34．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 35．（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 36．若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 解答题 37．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【题型8.平方差公式的几何应用】 38．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 39．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 40．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 41．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 解答题 42．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【题型9.完全平方公式的几何应用】 43．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 44．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为 ． 45．如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 46．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【题型10.多项式乘多项式与图形面积】 47．一个长方形（长大于宽）的长增加2，宽减少2，这个新长方形与原长方形相比面积（    ） A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法确定 48．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加米，则广场面积增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 49．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    50．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 解答题 51．计算图中阴影部分的面积． 【题型11.多项式乘法中的规律探究】 52．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 53．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 54．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为（    ） A．153 B．171 C．190 D．210 55．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 解答题 56．教材中，在计算如图①所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是由个小长方形和个小正方形组成的，则它的面积为． 因此可得到等式． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式： ； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 ； (3)试在虚线框内画出面积为的长方形的示意图标注好，，由图形可知，多项式可写成几个整式的积的形式：__________________； (4)若将代数式展开、合并同类项后得到多项式，则多项式共有_____项？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $