第08讲 因式分解（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第08讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 核心特征： 1. 对象：必须是多项式（如、(3x+6) 等），单项式不能进行因式分解。 2. 结果：分解后得到的是“整式的积”，即每个因式必须是整式（单项式或多项式），且结果中不能再有加减运算。 3. 与整式乘法的关系：因式分解是整式乘法的逆过程。例如，是整式乘法，而 是因式分解，二者互为逆运算。 注意事项： · 因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止（在指定数域内，如无特殊说明，通常指在有理数范围内）。 · 分解结果中相同的因式要写成幂的形式，例如（而非）。 知识点2 ： 提取公因式法 公因式的定义：多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： 1. 系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负数，通常将负号作为公因式的一部分）。 2. 字母：取各项中相同的字母，且字母的指数取各项中最低的次数。 提取公因式法步骤： 3. 确定公因式：按上述方法找出多项式各项的公因式。 4. 提取公因式：将公因式提到括号外，括号内为原多项式各项除以公因式所得的商。 公式表示：若多项式各项的公因式为 (m)，则 。 示例： · 分解： 公因式为，分解结果为。 · 分解： 公因式为 (-2ab)，分解结果为（注意括号内各项符号的变化）。 知识点3 ：用乘法公式分解因式 （1）平方差公式 公式内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即。 适用条件： · 多项式是二项式，且两项都能写成平方的形式。 · 两项的符号相反（一正一负）。 示例： · 分解：。 · 分解：。 （2）完全平方公式 公式内容： · 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即： （和的完全平方）； （差的完全平方）。 适用条件： · 多项式是三项式。 · 其中两项是平方项，且符号相同（均为正）。 · 第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（或-2倍）。 示例： · 分解：。 · 分解：。 综合运用：若多项式有公因式，应先提取公因式，再用乘法公式分解。例如，分解： 1. 提取公因式 (3x)：； 2. 再用平方差公式分解：(3x(x + 2)(x - 2))。 【题型1 因式分解的定义】 例1．下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 变式2．若多项式可分解为，则的值为 ． 变式3．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【题型2 公因式】 例1．多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 例2．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1．用提公因式法分解时，应提出的公因式 ． 变式2．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是 ． 变式3．（1）已知，求的值； （2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【题型3 提公因式法分解因式】 例1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 例2．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．分解因式： ． 变式2．若，，则 ． 变式3．因式分解：． 【题型4 添括号】 例1．将“”进行添括号操作，下列与其相等的是（　　） A． B． C． D． 例2．不改变多项式的值，下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知，，则 ． 变式2．计算： ； ； ． 变式3．照样子给下列多项式添括号，使括号里的最高次项的系数为正数．例： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【题型5 平方差公式因式分解】 例1．老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 例2．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．将因式分解为 ． 变式2．分解因式： ． 变式3．分解因式：； 【题型6 完全平方公式因式分解】 例1．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 例2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．分解因式： ． 变式2．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 变式3．因式分解 (1) (2) 【题型7 完全平方式】 例1．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 例2．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 变式1．将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是 变式2．（1）若是完全平方式，则 ； （2）若是完全平方式，则 ． 变式3．【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 【题型8 简便计算】 例1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 例2．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 变式1．利用因式分解计算： ． 变式2．利用平方差公式计算，结果为 ． 变式3．简便运算 (1)． (2) 【题型9 综合提公因式法与公式法分解因式】 例1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列分解因式正确的是（） A． B． C． D． 变式1．因式分解： ． 变式2．分解因式： ． 变式3．因式分解 (1)； (2) 【题型10 因式分解中的密码问题】 例1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 例2．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（    ）个 ①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125； ②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903； ③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715； ④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ． 变式2．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式．因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 变式3．现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆． 其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，将这三个数按从小到大的方式排列，此时可以得到六位数的数字密码． 【生成密码】（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成什么数字密码? 【破译密码】（2）已知a为正整数，若多项式因式分解后，利用本题的方法，得到前两个数分别是10和12，问第三个数是什么?这个六位数密码是什么? 【题型11 十字相乘法】 例1．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2025 例2．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．分解因式： ． 变式2．因式分解的结果为 ． 变式3．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【题型12 分组分解法】 例1．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 例2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．因式分解： 变式2．分解因式： ． 变式3．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 1．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，贵，州，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．贵州爱学 B．我爱贵州 C．贵州学校 D．我爱学校 4．已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 6．因式分解： ． 7．若，，则的值为 ． 8．把多项式分解因式的结果是 ． 9．如果，那么 ． 10．当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为 ． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 12．在括号前面填入“＋”或“－”，使等式成立． (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 13．因式分解： (1) (2) 14．阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 15．材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 核心特征： 1. 对象：必须是多项式（如、(3x+6) 等），单项式不能进行因式分解。 2. 结果：分解后得到的是“整式的积”，即每个因式必须是整式（单项式或多项式），且结果中不能再有加减运算。 3. 与整式乘法的关系：因式分解是整式乘法的逆过程。例如，是整式乘法，而 是因式分解，二者互为逆运算。 注意事项： · 因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止（在指定数域内，如无特殊说明，通常指在有理数范围内）。 · 分解结果中相同的因式要写成幂的形式，例如（而非）。 知识点2 ： 提取公因式法 公因式的定义：多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： 1. 系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负数，通常将负号作为公因式的一部分）。 2. 字母：取各项中相同的字母，且字母的指数取各项中最低的次数。 提取公因式法步骤： 3. 确定公因式：按上述方法找出多项式各项的公因式。 4. 提取公因式：将公因式提到括号外，括号内为原多项式各项除以公因式所得的商。 公式表示：若多项式各项的公因式为 (m)，则 。 示例： · 分解： 公因式为，分解结果为。 · 分解： 公因式为 (-2ab)，分解结果为（注意括号内各项符号的变化）。 知识点3 ：用乘法公式分解因式 （1）平方差公式 公式内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即。 适用条件： · 多项式是二项式，且两项都能写成平方的形式。 · 两项的符号相反（一正一负）。 示例： · 分解：。 · 分解：。 （2）完全平方公式 公式内容： · 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即： （和的完全平方）； （差的完全平方）。 适用条件： · 多项式是三项式。 · 其中两项是平方项，且符号相同（均为正）。 · 第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（或-2倍）。 示例： · 分解：。 · 分解：。 综合运用：若多项式有公因式，应先提取公因式，再用乘法公式分解。例如，分解： 1. 提取公因式 (3x)：； 2. 再用平方差公式分解：(3x(x + 2)(x - 2))。 【题型1 因式分解的定义】 例1．下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义和因式分解的方法．因式分解是将多项式化为整式乘积的形式，需确保等式两边相等，再结合因式分解的方法即可求解． 【详解】解：∵因式分解是从多项式到乘积的变形， 选项A：从左到右是展开，不是因式分解，故错误； 选项B：应分解为，而非，故错误； 选项C：，正确； 选项D：，故错误． 故选：C． 例2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A．右边为 ，不是积的形式，故错误，不符合题意； B． ∵ ，故错误，不符合题意； C．左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符合题意； D．，符合因式分解的定义并分解正确，符合题意． 故选：D． 变式1．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 变式2．若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 变式3．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 【题型2 公因式】 例1．多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到，与第一个多项式对比，可知公因式为． 【详解】解：∵ ， ∵ 第一个多项式为， ∴二者的公因式为， 故选D． 例2．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，理解其定义是解题的关键． 通过因式分解检查各组多项式的公因式即可． 【详解】解：A：，，有公因式 ，故该选项不合题意； B： 与 ，无公因式，故该选项符合题意； C：，与 有公因式 ，故该选项不合题意； D： 与 ，有公因式 ，故该选项不合题意． 故选：B． 变式1．用提公因式法分解时，应提出的公因式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，通过提取多项式中各项的公因式，包括系数的最大公约数和变量的最低次幂，找出公因式即可． 【详解】解：多项式为，系数27和18的最大公约数为9，变量x的指数取较小值2，变量y的指数取较小值5， 因此公因式为， 故答案为：． 变式2．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式．本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定，涉及的知识点是公因式的定义（系数最大公约数+相同字母最低次幂）．解题中用到的方法是分步确定法，分系数、字母两部分确定公因式．解题关键是准确找到系数的最大公约数和相同字母的最低次幂．易错点是遗漏系数的最大公约数，或误取非共同字母（如本题中的）． 【详解】系数的最大公约数：多项式系数是和，它们的最大公约数是； 相同字母的最低次幂：多项式中相同字母是和，的最低次幂是，的最低次幂是； 只取共同含有的字母：多项式中仅在第二项出现，不纳入公因式． 因此，提取的公因式是． 故答案为． 变式3．（1）已知，求的值； （2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）有公因式，公因式为 【分析】本题主要考查公因式的确定，代数式求值，因式分解； （1）先利用提公因式法和公式法分解因式，再代入计算即可； （2）先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式． 【详解】解：（1）∵， （2）多项式A、B、C有公因式． ∴多项式A、B、C的公因式是． 【题型3 提公因式法分解因式】 例1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 例2．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 利用提取公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 变式1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；直接提取公因式y即可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，将代数式因式分解为 ，再代入已知条件计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 变式3．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． 先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4 添括号】 例1．将“”进行添括号操作，下列与其相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都不改变；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都改变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 例2．不改变多项式的值，下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减计算，熟练掌握添括号和去括号是解题的关键． 依次验证每个选项的添括号是否保持原多项式值不变即可． 【详解】解：选项A：，故A选项变形正确，不符合题意； 选项B：，故B选项变形错误，符合题意； 选项C：，故C选项变形正确，不符合题意； 选项D：，故D选项变形正确，不符合题意； 故选B． 变式1．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，以及整体代入法求代数式的值． 将原式去括号并重新组合，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 变式2．计算： ； ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查了零次幂、平方差公式以及添括号．根据零次幂、平方差公式以及添括号法则计算即可求解． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 变式3．照样子给下列多项式添括号，使括号里的最高次项的系数为正数．例： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号． （1）（2）（3）（4）最高次项的系数是负数，则多项式放在带负号的括号内，依据添括号法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）. 【题型5 平方差公式因式分解】 例1．老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式分解因式，公式为，需检查每道题目是否符合该形式． 【详解】解：①，符合平方差公式； ②，不是平方差形式，无法用平方差公式分解； ③，符合平方差公式； ④，符合平方差公式； ∴第②道题错误， 故选：B． 例2．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【详解】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 变式1．将因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键 ． 先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可， 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．分解因式：； 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ． 【题型6 完全平方公式因式分解】 例1．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 例2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，根据完全平方公式的特点，即可解答．通过检查每个选项是否符合完全平方公式的形式来判断． 【详解】解：A、， 缺少项，不能用于完全平方公式，不符合题意； B、， 是平方差公式， 不能用于完全平方公式，不符合题意； C、，其中，，， ∴可分解为，符合题意； D、， 常数项不是平方数，不能用于完全平方公式，不符合题意． 故选：C． 变式1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．将 视为关于 的二次三项式，利用完全平方公式分解，再对内部因式使用平方差公式进一步分解． 【详解】解：原式 故答案为：． 变式2．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 变式3．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式3，再运用平方差公式求解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7 完全平方式】 例1．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 例2．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 变式1．将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是 【答案】、、 【分析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方， 即：加上一个单项式后，多项式变为完全平方式， ∵， ∴可以添加：， 当为首尾的2倍时，即：，首项可以是：； 综上：可以添加的是：、、 故答案为：、、． 【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解题的关键． 变式2．（1）若是完全平方式，则 ； （2）若是完全平方式，则 ． 【答案】 9 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：（1）∵， 而， ∴； （2）∵， 而，， ∴． 故答案为：（1）9；（2）． 【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题关键． 变式3．【探究题】 （1）【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； （2）【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； 【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ （3）【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； （4）【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式的综合应用、因式分解的应用、数字规律等知识点点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想； （3）可用完全平方公式进行验证； （4）多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，可得出，进而求出n的值即可． 【详解】解：（1）；；． 故答案为：． （2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：． 故答案为：． （3）验证结论：可用， 验证：∵， ∴． （4）∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴，即，解得：． 【题型8 简便计算】 例1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 例2．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 变式1．利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 变式2．利用平方差公式计算，结果为 ． 【答案】600 【分析】本题考查因式分解在有理数混合运算的应用．正确使用因式分解使运算简便是解题的关键． 先提公因式15，得，再将因式用平方差公式分解，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 变式3．简便运算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型9 综合提公因式法与公式法分解因式】 例1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法与因式分解，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式．逐一检查各选项：A是整式乘法，B不是乘积形式，D分解后不等于左边，只有C正确，即可解答． 【详解】解：A∶ 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B∶ 右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C∶ ，是正确因式分解，符合题意； D∶ ，分解错误，不符合题意． 故选C． 例2．下列分解因式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，对各项进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项分解因式错误； B、，本选项分解因式正确； C、不能因式分解，本选项分解因式错误； D、不能因式分解，本选项分解因式错误． 故选：B． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 变式2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式，要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，提取公因式法，完全平方及平方差公式，掌握相关方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 =； （2）解：原式 ． 【题型10 因式分解中的密码问题】 例1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 例2．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（    ）个 ①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125； ②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903； ③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715； ④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】依次把每个式子进行因式分解，然后代入验证即可． 【详解】解：①， ∵，， ∴，，， ∴小明的密码可以是0913125，故①错误； ②， ∵，， ∴，， ∴则小明的密码可以是111903，故②正确； ③原式 ， ∵，， ∴，，， ∴小明的密码可以是090715，故③正确； ④， ∵小明的密码是111505，，， ∴则原式， ∴，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，理解题意，熟练掌握运用各个运算法则是关键． 变式1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ． 【答案】1525425 【分析】本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 变式2．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式．因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可解答． 【详解】解：， 当，时，， 所以把它们从小到大排列得到． 用上述方法产生的密码是：． 故答案为：． 变式3．现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆． 其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，将这三个数按从小到大的方式排列，此时可以得到六位数的数字密码． 【生成密码】（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成什么数字密码? 【破译密码】（2）已知a为正整数，若多项式因式分解后，利用本题的方法，得到前两个数分别是10和12，问第三个数是什么?这个六位数密码是什么? 【答案】（1）；（2）第三个数是， 【分析】本题考查因式分解，理解数字密码的运算规则是解题的关键； （1）理解题目中给出的数字密码的运算规则，将因式分解，再进行计算后按顺序组合即可； （2）将因式分解，再进行计算即可 【详解】（1）解：， 当，时，，， 可得数字密码是； （2）， 因为前两个数分别是和， 则，，， 则第三个数是， 可得数字密码是． 【题型11 十字相乘法】 例1．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 先对多项式进行因式分解，求出a和b的值，再计算，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ∴， 故选B． 例2．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法即可分解因式． 【详解】解：， 故选：A． 变式1．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 变式2．因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法，直接利用十字相乘法对式子进行因式分解即可． 【详解】解：对进行因式分解，常数项可分解为，一次项系数可由得到， 所以， 故答案为：． 变式3．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 【题型12 分组分解法】 例1．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 例2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 变式1．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式3．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．（1）先分组得，再提取公因式法进行因式分解； （2）先分组得，再根据完全平方公式进行因式分解得到，利用非负数的性质求得，据此计算即可求解； （3）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 1．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：提取公因式进行因式分解． 【详解】解：==， 故选：A． 3．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，贵，州，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．贵州爱学 B．我爱贵州 C．贵州学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题主要考查分解因式，利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因式对应的汉字，再判断符合的选项即可． 【详解】解：原式， ∴分解后的因子为，，，， 对应汉字为：贵、州、爱、我， 组合后可能为“我爱贵州”， 故选：B． 4．已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．通过因式分解，将所求表达式转化为已知条件的乘积． 【详解】解：，， ． 故选：B． 5．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 8．把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．如果，那么 ． 【答案】63 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式， 故答案为：63． 10．当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为 ． 【答案】1822404 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法（平方差公式）是解题的关键． 先对多项式因式分解，再代入数值计算各因式的值，最后将因式码排序得到密码． 【详解】解：∵ 多项式 因式分解为 又∵ ，， ∴ ， ， ， ∵ 因式码按从小到大排列为 ， ∴ 密码为 ， 故答案为：． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）运用平方差公式进行分解即可； （2）运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．在括号前面填入“＋”或“－”，使等式成立． (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是添括号法则，掌握添括号法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先观察括号内的各项的符号是否相同，然后再判断前面的符号. 【详解】（1）解：． （2）． （3）． （4）． 13．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，即添上一个常数项为； （2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故是完全平方式， 即添上一个常数项为； （2）解：依题意， ． 15．材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． ()根据完全平方公式进行分解因式； ()最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； ()根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解： 设， 则：原式 把代入， ． （3）解：设， 原式 把代入， ． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $