2026年九年级数学中考一轮复习《因式分解》自主学习同步练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《因式分解》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．用提公因式法对（其中是大于等于2的整数）进行因式分解时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．已知下列多项式：①；②；③；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（        ） A．②③④ B．②③ C．① D．①②③ 4．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 5．已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则代数式的值为（） A．7 B．8 C．10 D．13 7．若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 二、填空题 8．因式分解： ． 9．若，则 ． 10．若，则 ． 11．如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为 ． 12．将个数排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 13．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是 ． 三、解答题 15．分解因式： (1)； (2)； (3)． 16．（）将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为______； （）运用你所得到的乘法公式，计算：； （）计算：． 17．【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 18．综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 19．在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．老师的讲解过程如下． 解：令， 则原式． ∵， ∴原式． 老师的讲解到此就停止了，并提出了以下两个问题： (1)上述讲解的结果没有分解到最后，最后的结果是______； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 20．如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 参考答案 1．解：A．选项是整式乘法，不是因式分解； B．选项左边是多项式，右边是积的形式，是因式分解； C．选项是整式乘法，不是因式分解； D．选项右边不是积的形式，不是因式分解． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了提取公因式进行因式分解．提取公因式需要找到系数最大公约数和变量最小幂次，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式，检查每个多项式是否符合该形式． 【详解】解：完全平方公式为， 对于①，它的中间项为，不符合完全平方公式中的形式，故不能用完全平方公式因式分解； 对于②，符合公式； 对于③，符合公式； 对于④，平方项和异号，且不是平方项的正形式，故不能用完全平方公式因式分解； ∴能用完全平方公式进行因式分解的有②③． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了因式分解的应用．通过因式分解，将所求表达式转化为已知条件的乘积． 【详解】解：，， ． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查提公因式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知条件得，将所求代数式变形为含的形式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选A． 7．A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 8． 【分析】本题考查了因式分解；掌握提取公因式和平方差公式因式分解是解题的关键；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．16 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 10．8 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 先将表达式分解因式为，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 12． 【分析】本题考查实数的新定义题，解一元一次方程、因式分解—平方差公式等，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据行列式的定义，将给定行列式转化为代数方程，然后使用因式分解—平方差公式将代数方程化简为一元一次方程，求解该方程即可． 【详解】解：由定义得：， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 13．10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 14．609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．（）；（）；（） 【分析】（）分别表示出涂色部分的面积，进而即可求解； （）将算式转化为，再利用平方差公式计算即可； （）利用平方差公式对每个括号内的算式因式分解，再计算即可； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）图①中涂色部分的面积为，图②中涂色部分的面积为， ∴可以得到的整式乘法公式为， 故答案为：； （）； （）原式 ． 17． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法，提取公因式法，分组分解法因式分解是解题的关键． （1）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （2）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （3）先“三、一分组”，再利用完全平方公式计算，最后根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，读懂题意，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）检查解答的结果继续应用完全平方公式进行分解即可； （2）利用题目提供的信息进行分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）令， 则 ． ∵， ∴原式 ． 20．(1)见解析， (2) (3)张 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1）解：， 大正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 学科网（北京）股份有限公司 $