2026年九年级数学中考一轮复习《二次根式》自主学习同步练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次根式》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 2．已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 7．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 二、填空题 8．在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是 ． 9．已知x，y均为实数，，则的值为 ； 10．化简二次根式 ． 11．已知，，则的值为 ． 12．已知为实数，且，则 ． 13．若，则 ． 14．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 16．计算：． 17．观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 18．在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 19．濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地，为，为，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用． 20．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知识点是解题的关键。 根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可. 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴有意义，要求，即； 有意义，要求，即. ∴且. 故选B. 2．C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项，选出计算正确的选项即可． 【详解】解：A项：二次根式相加需要为同类二次根式，与被开方数不同，无法合并为，故A错误； B项：同类二次根式相减，系数相减，根号部分不变，，故B错误； C项：二次根式相乘，，故C错误； D项：二次根式相除，，故D正确， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 8． 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，二次根式的加减，绝对值化简等知识，根据“数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值”列算式，计算即可求解． 【详解】解：与点之间的距离为 故答案为： 9．1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 10． 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式 ． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 12．13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 13． 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 14．60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 15．(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的性质化简括号内的，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （3）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） （4） ． 16．2 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17．(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 验证： ， ∴正确； （2）由（1）中的规律可知， ∴， 验证：；正确． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 19．(1) (2)6600元 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）先计算空白部分面积，再乘以50即可． 【详解】（1）解：长方形的周长为： ， 答：长方形的周长是； （2）解：定期维护的总费用为： （元）． 答：定期维护的总费用为6600元． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则． 20．(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $