河南省南阳市第五中学校2025-2026学年高一上学期数学寒假强化练习卷

2025-2026学年高一上学期北师大版数学寒假强化练习卷 一、单选题（每小题5分） 1．下列关系中，正确的个数是（ ）. ①；②，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则b－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．下列图象中，不可能成为函数图象的是（ ） A． B． C． D． 4．下面各组函数中是同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，且，则不等式的解集为 （　　） A． B． C． D． 8. 若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9. 设，则的必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 10. 下列选项中为真命题的是（ ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列说法正确的是（ ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在使得对任意正数，都有不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 三、填空题（每小题5分） 12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________． 13．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________． 14．已知函数，若，且，则__________． 三、解答题（共77分） 15．（13分）某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况，从中抽取了名学生的体质测试成绩，得到的频率分布直方图如图所示，的原始成绩按性别分类所得的数据如下： 男生：41 52 64 66 67 64 65 女生：42 51 51 53 63 62 64 （1）求的值； （2）估计该校高三学生体质测试成绩的平均数和中位数； （3）若从成绩在的学生中随机抽取两人重新进行测试，求至少有一名男生的概率． 16．（15分）画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间． 17．（15分）已知二次函数，满足，. （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值； （3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 18.（17分）已知函数，且． （1）求实数的值，并判断在定义域内的单调性，请说明理由； （2）对于恒成立，求实数的取值范围． 19. （17分）已知函数，满足． （1）求函数的解析式； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）已知为奇函数，为偶函数，函数；若存在使得，求实数的取值范围． 参考答案 1．B 【解析】 利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 【详解】 对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误. 故选：B 【点睛】 本题考查了元素与集合、集合与集合的符号表示，考查了集合中的基本知识，属于基础题. 2．C 【解析】 根据题意，集合，且， 所以，即， 所以，且， 所以，则，故选C. 点睛：本题主要考查了集合运算的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利用找到解题的切入点是解答此类问题的关键，本题的解答中根据集合相等，注意到后面集合中有元素，由集合相等的定义，集合集合中元素的特征，可得，进而分析可得的中，即可得到的值. 3．A 【解析】 根据函数的概念，可知自变量与函数值的对应关系只能是：一对一和多对一，不能是一对多，由此可对本题求解. 【详解】 由选项中的图象可得，选项中有一个自变量的值对应两个函数值， 所以其不可能成为函数图象. 故选：A 【点睛】 本意考查函数的概念，考查理解辨析能力，属于基础题. 4．D 【解析】 因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D. 5. C 【详解】 函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得 故答案为C 【点睛】 本题考查了函数定义域，属于简单题. 6．A 【解析】 由，可得，消去可得的解析式. 【详解】 解：由题意： ① 可得： ②， ②①，可得：， 可得：， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法，由题意得出，结合题意消去，可得答案. 7．C 【解析】 当时，，方程无解； 当时，令，解得． 下面解不等式： 当时，，解得； 当时，令，解得． 因此，不等式不等式的解集为. 【点睛】 本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题. 8. D 【解析】 不妨设，则，即，即对任意的，都有，所以函数在上单调递减，由的定义域为，得，解得；而，即，即，所以，解得：，故的解集为. 9．AB 【解析】 根据“小充分大必要”得到答案. 10. BC 【解析】本题考察基本不等式：一正二定三相等 A选项中缺少条件； B选项：因为 ，所以函数，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3； C选项中函数是单调递增的，所以函数的最大值为 D选项：函数，当且仅当时取等号，显然取不到，可令，此时，由对勾函数的单调性可知，函数在上是单调递增的，所以最小值为． 11.ACD 【解析】 A选项，由若，可得，所以，故是3阶聚合点集； B．对于任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集； C．若，而，故不是阶聚合点集 D．当，因为，则，所以，故是阶聚合点集，充分性成立； 当是阶聚合点集，则有，，所以，又因为，当时，恒成立，当时，恒成立，又，故，故必要性成立，所以“”是“是阶聚合点集”的充要条件． 12． 【解析】 解：当k=0时，，满足条件；当时， 综上：． 【点睛】：定义域为分母在上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零． 13. 2 【解析】解：不妨设，画出示意图， 由图像可知，关于对称，关于对称，所以，，，显然，，，，又因为，不妨令，即，整理可得： 14. 当时，则图像的对称轴为直线，函数的大致图像为：，此时，，即，所以无解，则无零点，无零点，所以，只有两个零点，不合题意； 当，则函数的大致图像为： 令，解得，显然在上存在唯一负解，要使恰有3个零点，只需在上除了0和2外不能有其他解，即不能再有除了0和2外的其他解，故，即，解得： 15．解：（1）由数据可知分数在的有4人，所以，所以，又因为，解得 （2）由频率分布直方图可知，平均数； 由，得中位数为 （3）成绩在的学生中有两名男生，分别记为，四名女生，分别记为，从中任取两人共有15种结果，分别为 ；至少有一名男生的结果有9种，所以至少有一名男生的概率为 16．见解析 【解析】 试题分析：取绝对值得分段函数，进而可作出图象得单调区间. 试题解析： y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1)，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)． 17．（1）；（2）5；（3）. 【解析】 （1）由题知，满足，得，由，根据系数对应相等求出和，即可求出函数的解析式； （2）根据二次函数得出的图象的对称轴方程为，又，，即可求得函数在区间上的最大值； （3）由于函数在区间上单调，根据函数的单调性，得到关于的不等式，解出即可． 【详解】 解：（1）由，得， 由，得， 故，解得， 所以. （2）由（1）得：， 则的图象的对称轴方程为， 又，， 所以当时在区间上取最大值为5. （3）由于函数在区间上单调， 因为的图象的对称轴方程为， 所以或，解得：或， 因此的取值范围为：. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及函数的单调性，最值问题，考查计算能力． 18. 解：（1）由，可得：；则，要求函数的定义域，只需，即； 函数，令在上单调递减，在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可知：函数在定义域上为减函数. （2）由（1）可知，所以，即在上恒成立，只需，，所以实数的取值范围为 19. 解：（1）因为，所以，解得：，所以 （2）由（1）知，，所以，令，令，所以在上单调递减，所以，，所以实数的取值范围为 （3）因为为奇函数，为偶函数，所以，由题意知：，解得：，将其代入，可得，易知，令，则，，因为存在使得成立，所以，所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $