精品解析：上海市闵行第三中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

闵行三中2025学年第一学期 高二年级期末数学试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一､填空题 1. 已知拋物线，则其准线方程为______. 2. 若两条直线和互相垂直，则__________. 3. 表面积为的球的体积是__________（结果保留） 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______. 5. 在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 6. 已知函数，则____________． 7. 函数在处取得极值10，则___________. 8. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为______. 9. 已知抛物线的焦点为为此抛物线上的异于坐标原点的三个不同的点，满足，且，则________. 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 11. 已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 12. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为_______． 二､选择题 13. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零 15. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ） ①：点P在平面上的轨迹为椭圆 ②：线段长度的最小值为1 ③：线段长度的最大值为3 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三､解答题 17. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，，． （1）求圆柱的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 18. 已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 19. 如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点. （1）若，求的值； （2）求面积的最大值. 20. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 21. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行三中2025学年第一学期 高二年级期末数学试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一､填空题 1. 已知拋物线，则其准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 2. 若两条直线和互相垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用直线垂直系数关系列式计算求解参数. 【详解】因为两条直线和互相垂直， 则，所以. 故答案为：. 3. 表面积为的球的体积是__________（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据表面积求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故答案为： 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可． 【详解】由题意，设母线长为， ∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径， 则有，解得， ∴该圆锥的母线长为. 故答案为：. 5. 在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 又因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 6. 已知函数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义及基本初等函数的导数公式可得结果. 【详解】由得，， ∴. 故答案为：. 7. 函数在处取得极值10，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极值10，可得， 解得或， 检验知，当时，可得， 此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）； 当时，可得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，函数取得极小值，符合题意. 所以. 故答案为：. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 8. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线可得，根据双曲线的焦点与椭圆的焦点重合可得，解方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为, 由一条渐近线方程为，可得① 椭圆的焦点为，可得② 由①②可得, 即双曲线的方程为, 故答案为：. 9. 已知抛物线的焦点为为此抛物线上的异于坐标原点的三个不同的点，满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且知，利用和构造方程可求得，则可得抛物线方程； 【详解】由题意得：，设，，， 则，，， 由得：，① 由抛物线焦半径公式可知：，，， 由得：，② 由①②解得：. 故答案为：. 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】 如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 11. 已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】 【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质 设，由得 因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以， ，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5． ［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理 由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式 设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得． ［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质 设，因为，所以． 即 ①， ②， 又因为，所以． 不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得． 由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2． 所以． ［方法五］：【最优解】仿射变换 如图1，作如下仿射变换，则为一个圆． 根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则 ． 当时等号成立，根据易得，此时． ［方法六］：中点弦性质的应用 设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以． 【整体点评】方法一：由题意中点的坐标关系，以及点差法可求出点的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出； 方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法； 方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解； 方法四：利用题目条件硬算求出点的横坐标，再根据二次函数的性质解出； 方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解； 方法六：利用中点弦的性质找出点的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 12. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得点P在以为焦点以直线为准线的抛物线上，故的最小值转化为P到直线的距离与到棱的距离之和，由三角形三边关系即可得结果. 【详解】在正方体中，面，为正方体表面上一点， 所以到棱的距离为，又到棱与到棱的距离相等， 所以点P在以为焦点以直线为准线的抛物线上， 故的最小值为点P到直线的距离与到直线的距离之和， 即点P到直线的距离与到棱的距离之和， 即， 又的最小值即为点到直线的距离，即为的高h， 在中，，, 所以,即， 即的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键是找出P点轨迹，根据抛物线定义转化为求点P到直线的距离与到棱的距离之和，运用三角形三边关系可求得结果. 二､选择题 13. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】方程表示双曲线，即，解不等式即可判断. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 因为或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 14. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可判断AB选项；利用函数单调性与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在上单调递增，在上也为增函数， 故不是函数的极值点，B错； 对于C选项，由图象可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，由图象可知函数在处切线的斜率大于零，D对. 故选：B. 15. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值即可求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 令，解得， 当时，切点为在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，实数的取值范围是． 故选：A. 16. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ） ①：点P在平面上的轨迹为椭圆 ②：线段长度的最小值为1 ③：线段长度的最大值为3 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面垂直证明平面，再建立空间直角坐标系，通过点到直线的距离计算，结合面积得到动点的轨迹方程，可确定轨迹为椭圆，再利用距离的坐标运算，结合椭圆的有界性，即可求得最值. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 如图建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，由，，可得， 所以，设， 则， 所以点到的距离为： 所以的面积为， 平方化简上式得：， 由上可得：点P在平面上的轨迹为椭圆，故①正确； 由，则，把代入可得： 因为，所以， 即当时，，故②错误； 当时，，故③正确； 综上正确的是：①③， 故选：B. 三､解答题 17. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，，． （1）求圆柱的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱侧面积求出圆柱的高（母线长），即可求出圆柱的体积； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解即可. 【小问1详解】 由已知，圆柱的底面半径，设圆柱的高为， 则圆柱的侧面积为， ∴， ∴圆柱的体积为. 【小问2详解】 如上图所示，以为坐标原点，分别以射线、为轴、轴，过点与平面垂直的射线为轴，建立空间直角坐标系，则易知，平面即平面的一个法向量为， 由第（1）问，， 过作轴，垂足为，则由已知， 在中，， 由余弦定理得，， ∴， ∴在直角中，，，， ∴， ∴， 设直线与平面所成角的大小为（），则， 所以，直线与平面所成角的大小为. 18. 已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立两直线可求出圆心为，写出圆的方程，设切线方程为，利用点到直线的距离等于半径即可求出切线的斜率，写出切线方程. （2）设圆心为， 则圆的方程为：，设为，根据，可得圆方程：，利用两圆有公共点知，即可求解. 【小问1详解】 联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为． 若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合题意； 所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或． 所以切线方程为：或. 【小问2详解】 设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由可得，整理得， 由题意可知，圆与圆有公共点，所以， 即，解得． 所以，圆心的横坐标的取值范围是． 19. 如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点. （1）若，求的值； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由知为的中点，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系列方程可解得； （2）根据根与系数的关系、弦长公式及点到直线的距离公式可得到面积的表达式，换元后根据基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 因为直线与轴交于点，所以. 设，由知为的中点，所以. 由方程组，消去得， 则，即，且, 将代入得，消去得， 因为，所以解得. 【小问2详解】 因为是椭圆的下焦点，所以， 到直线的距离. 由弦长公式知， 将代入得 ， 所以， 令，则， 所以，当且仅当，即，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 20. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且 【小问3详解】 略 21. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $