精品解析：天津市南开区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

天津市南开区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： 选项D中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意． 选项A、B、C中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； 故选：D． 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：D． 3. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数解答即可求解，解题的关键是正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 5. 若分式的值为0，那么a的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，已知，点C为射线上一点，按如下步骤尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E； ②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F； ③以点F为圆心，以长为半径作弧，交上一步所作的弧于点G； ④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴， 故选：A． 7. 若，则下列分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，即分式的分子和分母都乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的大小不变，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：A．是最简分式，不能化简，故A选项错误； B．是最简分式，不能化简，故B选项错误； C．是最简分式，不能化简，故C选项错误； D．，分子分母同时除以3，等式成立，故D选项正确； 故选：D． 8. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值（ ） A. 小于等于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 大于零 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 9. 两个连续奇数的平方差一定是（ ） A. 5的倍数 B. 6的倍数 C. 7的倍数 D. 8的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．设两个连续奇数为和（n为整数），计算其平方差并化简，判断倍数关系． 【详解】解：设两个连续奇数和（n为整数），则平方差为 ． 为整数， 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 故选：D． 10. 甲工程队完成一项工程需a天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成的工作量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，解题的关键是正确列出分式． 根据工作效率的定义，甲的工作效率为，乙的工作效率为，两队合作一天的工作量是各自效率之和． 【详解】解：因为甲工程队完成一项工程需a天，所以甲的工作效率为， 因为乙工程队完成一项工程需天，所以乙的工作效率为， 所以两队共同工作一天完成的工作量为， 故选：A． 11. 如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（ ） A 7 B. 10 C. 11 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 12. 如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 详解】解： ． 故答案为：4． 14. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______． 【答案】38° 【解析】 【分析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算． 【详解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28° ∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°． ∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°． 故答案为38°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键． 15. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出等式左边的结果，比较多项式系数，求出 a 和 b 的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，化简，其结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，求出得到，据此可得答案； （2）过点D作交于点H，证明是等边三角形，得到，；再证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点D作交于点H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：2． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 ①. 45 ②. 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）①化简结果是；②选取的数是，此时代数式的值为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法和分式的混合运算． （1）用平方差公式分解即可； （2）用完全平方公式分解即可； （3）先化简分式，再代入合适的值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， 由题意得，， 解得且， 所以x取， 当时，原式， 所以选取的数是，此时代数式的值为． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将原分式方程去分母化为一元一次方程，再解方程检验即可求解． 【详解】解： 方程左右两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， 故此分式方程的解为． 21. 已知分别是的中线和高，是的角平分线． （1）如图，若，，求的度数； （2）如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，构成三角形的条件，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）①根据三角形中线的定义可得，则可利用证明得到；②根据三角形三边的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②在中，， ∴， ∴； 22. （1）如图，，，分别是，的对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 【答案】（1）①见解析；②相等；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由全等三角形的性质可得，再利用证明，即可证明结论；②根据①即可得到答案； （2）过点C作于点G，于点H，由（1）可得，再由角平分线的判定定理可证明结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ∵，分别是，的对应边上的高， ∴， ∴， ∴； ②由①可得全等三角形对应边上的高相等； （2）如图所示，过点C作于点G，于点H， ∵，，， ∴， ∴平分． 23. 八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． （1）设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； （2）参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 【答案】（1）所列方程为，大巴的平均速度为； （2）选择方案B能更早返回学校，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式除法的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为，根据一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达列出方程求解即可； （2）根据时间等于路程除以速度分别表示出两种方案的时间，再利用作商法比较两种方案的时间的大小即可得到结论． 【小问1详解】 解：设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴的平均速度为； 答：所列方程为，大巴的平均速度为； 【小问2详解】 解：选择方案B能更早返回学校，理由如下： 方案A需要的时间为， 方案B需要的时间为， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴方案B需要的时间更少， ∴选择方案B能更早返回学校． 24. 在平面直角坐标系中，，，，y轴上的点，且，连接． （1）若点C为中点，点D在x轴正半轴上，． ①如图1，求点D的坐标； ②如图，延长到点E，连接恰好平分，求线段的长； （2）若F为第二象限内一点，，，线段与相交于点G．填空： ① （度），点F的坐标为 （用含c的式子表示）； ②若， （度）． 【答案】（1）①；②9 （2）①90；；② 【解析】 【分析】（1）①证明，可得，从而得到，即可求解；②延长与交于K，根据，可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求解； （2）①过点F作轴于点H，证明，可得，从而得到，点F的坐标为，进而得到为等腰直角三角形，可得到，再由为等腰直角三角形，可得，即可求解；②延长至点P，使，连接，证明，可得，设，则，再由为等腰直角三角形，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∵， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为中点， ∴点， ∴， ∴点； ②如图，延长与交于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵点， ∴， ∴， 过点F作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，点F的坐标为； ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：；； ②如图，延长至点P，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 3. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，那么a的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6. 如图，已知，点C为射线上一点，按如下步骤尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E； ②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F； ③以点F为圆心，以长为半径作弧，交上一步所作的弧于点G； ④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值（ ） A. 小于等于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 大于零 9. 两个连续奇数的平方差一定是（ ） A. 5的倍数 B. 6的倍数 C. 7的倍数 D. 8的倍数 10. 甲工程队完成一项工程需a天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成的工作量为（ ） A B. C. D. 11. 如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 12. 如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为______． 14. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______． 15. 若，则的值为______． 16. 已知，化简，其结果为______． 17. 如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 20. 解分式方程：． 21. 已知分别是的中线和高，是的角平分线． （1）如图，若，，求的度数； （2）如图，若，，延长中线到点，使得，连接．填空： ①由已知可证得，其理由是 （从中选一个填空），的长为 ； ②中线长的取值范围是 ． 22. （1）如图，，，分别是，对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 23. 八年级学生去距学校中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． （1）设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； （2）参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，，，，y轴上的点，且，连接． （1）若点C为中点，点D在x轴正半轴上，． ①如图1，求点D的坐标； ②如图，延长到点E，连接恰好平分，求线段的长； （2）若F为第二象限内一点，，，线段与相交于点G．填空： ① （度），点F的坐标为 （用含c的式子表示）； ②若， （度）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $