精品解析：2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季学期初中教学质量监测九年级数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 与时代已经来临，科技全面融入日常生活，推动社会各领域智能化变革，深刻改变人们起生活与工作方式，下列设计的人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 打开电视，中央台正在播放“神舟二十号发射成功”的新闻是必然事件 B. “（是实数）”是随机事件 C. “从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级”是不可能事件 D. “从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》”是随机事件 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，用尺规作图的方法作出了直线和射线．若的周长为15，且，则的面积为（ ） A. 54 B. 65 C. 80 D. 90 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形．若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. C. 抛物线与轴没有交点 D. 若为抛物线上任意一点，则 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为______．（用含的式子表示） 12. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 13. 若将直线向下平移2个单位长度得到直线，则的值为___________． 14. 化简分式的结果是___________． 15. 如图，是正方形的对角线，将绕点按逆时针方向旋转，得到． （1）的度数为___________． （2）若，则，两点之间的距离为___________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，是的一条对角线，于点于点．求证：． 18. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场．如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆．张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门．已知矩形养鸡场的面积为80平方米，求矩形养鸡场的长和宽． 19. “剪纸艺术”是一项传统文化，甲、乙两单位决定开展“剪纸艺术”知识竞赛，现从甲、乙两单位各随机抽取10名选手参加“剪纸艺术”知识竞赛，并对选手成绩（百分制）进行整理、描述和分析（选手成绩用表示且都不低于70分，共分为三组：），下面给出了部分信息． 甲单位10人竞赛成绩：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 乙单位10人的竞赛成绩在组中的数据：80，83，88，88． 甲、乙两个单位被抽取的选手的知识竞赛成绩统计表 单位 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲单位 86 87 乙单位 86 90 乙单位抽取选手竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两单位中哪个单位的选手掌握“剪纸艺术”的知识更好？请说明理由． （3）若甲单位有500人，乙单位有400人，甲、乙两个单位掌握“剪纸艺术”知识为“优秀”的总共有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求面积． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点，是上的一点，，延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 22. 为了能更好地宣传中国传统文化，文创商店近期推出了许多新的文创产品，其中邮票、冰箱贴等文创产品深受游客青睐．已知1套邮票的售价比1套冰箱贴的售价高18元，小明购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元．临近期末考试，班主任老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在该店同时购买邮票和冰箱贴两种商品若干套． （1）求1套邮票和1套冰箱贴的售价． （2）老师打算购买邮票和冰箱贴共25套，最多能买多少套邮票？ （3）在（2）的条件下，该老师要求购买的邮票比冰箱贴多，则分别购买多少套邮票和冰箱贴，所需费用最少？并求出最少费用． 23. 如图1，和均为等腰直角三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，连接，． （1）求证：． （2）如图2，当点恰好落在上时，，求长． （3）在旋转的过程中，当点在同一条直线上时，过点作，交于点，直接写出线段，，之间的数量关系． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． （3）若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期初中教学质量监测九年级数学试题 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较． 直接根据负数小于零和正数作答即可． 【详解】解：∵4个选项中，只有是负数， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 与时代已经来临，科技全面融入日常生活，推动社会各领域智能化变革，深刻改变人们起的生活与工作方式，下列设计的人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 如图，在中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 5. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的加减法、乘法，解题的关键是正确从数轴得到的符号以及大小关系． 由数轴可得，，再判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， 故A正确，符合题意，B、C错误，不符合题意． 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 打开电视，中央台正在播放“神舟二十号发射成功”的新闻是必然事件 B. “（是实数）”是随机事件 C. “从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级”是不可能事件 D. “从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、打开电视时，中央台不一定播放“神舟二十号发射成功”的新闻，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件， ∴ A错误； B、对于任意实数x，恒成立，不可能发生，是不可能事件，不是随机事件， ∴ B错误； C、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，该事件一定发生，是必然事件，不是不可能事件， ∴ C错误； D、从四本书中随机抽取一本，抽到《三国演义》可能发生也可能不发生，是随机事件， ∴ D正确， 故选：D． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 8. 如图，在中，，用尺规作图的方法作出了直线和射线．若的周长为15，且，则的面积为（ ） A. 54 B. 65 C. 80 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，由作图可得垂直平分，平分，从而可得，由等腰三角形的判定与性质可得，，再求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴，， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形．若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 已知抛物线经过点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. C. 抛物线与轴没有交点 D. 若为抛物线上任意一点，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是解题的关键． 根据题意得到抛物线图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴越远，函数值越大，，函数的最小值为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线图象开口向上，对称轴直线为，A选项错误，不符合题意， ∵抛物线经过点，且， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴对称轴直线， ∴B选项正确，符合题意； ∵， ∴抛物线与轴有个交点，故C选项错误，不符合题意； ∵，且抛物线开口向上， ∴函数的最小值为， ∴为抛物线上任意一点，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据偶数的定义列出代数式即可，掌握偶数的定义是解题的关键． 【详解】解：若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为， 故答案为：． 12. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有可能的结果是解题的关键． 利用列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，共有闭合，，，3种等可能的结果，其中闭合，时小灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 13. 若将直线向下平移2个单位长度得到直线，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移． 根据一次函数图象平移的规律，求出向下平移后直线的解析式，进而作答即可． 【详解】解：将直线向下平移2个单位长度后，得到新直线， ∵将直线向下平移2个单位长度得到直线， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 化简分式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，合并同类项． 先将分式约分，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，是正方形的对角线，将绕点按逆时针方向旋转，得到． （1）的度数为___________． （2）若，则，两点之间的距离为___________． 【答案】 ①. ##105度 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，由正方形的性质可得，根据即可求解； （2）连接，由旋转可得为等边三角形，则，由正方形可得，则垂直平分，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图，连接，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴垂直平分，交于点， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为： ． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，负整数指数幂． 先计算二次根式的乘法、负整数指数幂、乘方，再计算绝对值，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，是的一条对角线，于点于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质. 根据平行四边形对边相等且相互平行，可得，，根据两直线平行，内错角相等可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可得． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 18. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场．如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆．张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门．已知矩形养鸡场的面积为80平方米，求矩形养鸡场的长和宽． 【答案】矩形养鸡场与墙垂直的边长为米，与墙平行的边长为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程求解． 设（与墙垂直的边）长为米，则长为米，根据矩形面积公式得到方程，解方程并检验是否符合题意即可． 【详解】解：设（与墙垂直边）长为米，则长为米， 由题意得，， 整理得，， 解得， 当时，与墙平行的边长为，不符合题意，舍； 当时，与墙平行的边长为，符合题意， 答：矩形养鸡场与墙垂直的边长为米，与墙平行的边长为米 ． 19. “剪纸艺术”是一项传统文化，甲、乙两单位决定开展“剪纸艺术”知识竞赛，现从甲、乙两单位各随机抽取10名选手参加“剪纸艺术”知识竞赛，并对选手成绩（百分制）进行整理、描述和分析（选手成绩用表示且都不低于70分，共分为三组：），下面给出了部分信息． 甲单位10人的竞赛成绩：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 乙单位10人的竞赛成绩在组中的数据：80，83，88，88． 甲、乙两个单位被抽取选手的知识竞赛成绩统计表 单位 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲单位 86 87 乙单位 86 90 乙单位抽取的选手竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两单位中哪个单位的选手掌握“剪纸艺术”的知识更好？请说明理由． （3）若甲单位有500人，乙单位有400人，甲、乙两个单位掌握“剪纸艺术”知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）88，，40； （2）乙单位选手“剪纸艺术”的知识较好，理由见解析 （3）估计甲、乙两个单位选手中“剪纸艺术”的知识为“优秀”的约有310人． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图. （1）根据中位数的定义可求出a的值，先求出乙单位A组的人数，进而可求出m的值； （2）根据乙单位选手成绩的中位数和众数都比甲单位选手成绩的高即可得到结论； （3）用甲单位的人数乘以甲单位样本中优秀的人数占比求出甲单位优秀人数，用乙单位的人数乘以乙单位样本中优秀的人数占比求出乙单位优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：乙单位C组的人数为人，而乙单位B组有4人，则把乙单位10名选手的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴乙单位选手成绩的中位数； 甲单位87出现3次，出现次数最多， ∴ 由题意得，， ∴； 故答案为：88，，40； 【小问2详解】 解：乙单位选手“剪纸艺术”的知识较好，理由如下： ∵两个单位10名选手的平均成绩相同，但是乙单位选手成绩的中位数和众数都比甲单位选手成绩的高， ∴乙单位选手“剪纸艺术”的知识较好； 【小问3详解】 解：人， ∴估计甲、乙两个单位选手中“剪纸艺术”的知识为“优秀”的约有310人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】（1） （2）①；②28 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点，是上的一点，，延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线判定和性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，，证明，推出，即可证明结论成立； （2）作于点F，连接，，证明是等边三角形，得到，求出，，则，，然后根据计算即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解；如图，作于点F，连接，， 由可得：是斜边的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 为了能更好地宣传中国传统文化，文创商店近期推出了许多新的文创产品，其中邮票、冰箱贴等文创产品深受游客青睐．已知1套邮票的售价比1套冰箱贴的售价高18元，小明购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元．临近期末考试，班主任老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在该店同时购买邮票和冰箱贴两种商品若干套． （1）求1套邮票和1套冰箱贴的售价． （2）老师打算购买邮票和冰箱贴共25套，最多能买多少套邮票？ （3）在（2）的条件下，该老师要求购买的邮票比冰箱贴多，则分别购买多少套邮票和冰箱贴，所需费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）1套邮票的售价为46元，1套冰箱贴的售价为28元 （2）16套 （3）购买13套邮票和12套冰箱贴，所需费用最少，最少费用为934元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设1套邮票的售价为元，则1套冰箱贴的售价为元，根据购买了1套邮票和4套冰箱贴，一共花费了158元，列出方程，解方程即可； （2）设购买套邮票，则购买套冰箱贴，根据购买邮票和冰箱贴两种商品共用1000元，列出不等式，解不等式即可； （3）根据购买的邮票比冰箱贴多得到，求出，设所需费用为w，表示出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设1套邮票的售价为元，则1套冰箱贴的售价为元， 由题意，得， 解得， ． 答：1套邮票的售价为46元，1套冰箱贴的售价为28元； 【小问2详解】 解：设购买套邮票，则购买套冰箱贴， 根据题意，得， 解得， 为整数， 的最大值为16． 答：最多能买16套邮票； 【小问3详解】 解：∵购买的邮票比冰箱贴多， ∴， ∴， ∴，且x为正整数， 设所需费用为w， 根据题意得，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最小值，此时（元）， ∴（套）， ∴购买13套邮票和12套冰箱贴，所需费用最少，最少费用934元． 23. 如图1，和均为等腰直角三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，连接，． （1）求证：． （2）如图2，当点恰好落在上时，，求的长． （3）在旋转的过程中，当点在同一条直线上时，过点作，交于点，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）证明即可； （2）过点作于点，则，均为等腰直角三角形，则，那么由勾股定理得，再由即可求解； （3）分两种情况讨论，可得，，再根据线段的和差关系以及等量代换即可求解． 【小问1详解】 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：情况一：当在右侧时， 同（1）可得，同（2）可得， 则， ∵， ∴； 情况二：当在左侧时， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 同（2）可得， 则， ∵， ∴； ∴线段，，之间的数量关系为或． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． （3）若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，利用函数与方程的关系，求出交点的坐标，设点，则点，求出，的面积为，求出关于的函数解析式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据，在直线上方构造等腰直角三角形()，与抛物线的交点即为所求点，作轴和轴，易证，求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过，， ，解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； 【小问3详解】 解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，函数与方程的关系等知识，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $