2025-2026学年人教版数学八年级下册寒假自学《二次根式，平行四边形》检测卷

2025-2026人教版八年级下册寒假自学 《二次根式，勾股定理，平行四边形》检测卷 一、单选题 1．下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（　　） A．6 B． C．11 D．24 4．下列各组数中，是勾股数的一组是（       ） A．6，7，8 B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．2，4，5 5．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=3，AD=5，则EF的长为（       ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（　　　）. A．BE = DF B．AECF C．AF = EC D．AE = EC 7．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为56，OE＝5，则四边形ABFE的周长为（　　） A．30 B．34 C．36 D．38 8．已知a＝，b＝，则的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2 二、填空题 9．化简：_____． 10．若式子有意义，则实数x的取值范围是 _____． 11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 _____． 12．如图，圆柱形玻璃容器高21cm，底面周长为48cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm． 13．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高是___________． 14．平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为_____． 15．已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是____． 16．如图，点D、E分别为的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分，交DE于点F．若，，则BC的长为__________． 三、解答题 17．化简： (1)； (2)． 18． 先化简，再求值：，其中，． 19．学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）． (1)设AB长为x米，绳子为 米，AE为 米（用x的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度AB． 20．如图，折叠长方形一边，点落在边的点处，，，求的长． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF． 22．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 23．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF． (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O， AC⊥AB， AC＝8，BD ＝10，求ABCD的周长和面积． 25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB， (1)求证：FD=FC． (2)若AC=6cm，试求四边形AEDF的周长． 26．在四边形中，、交于点，，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)过点作交于点，连接．若，求的度数． ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【解析】 【分析】 利用二次根式的加减运算法则进行分析判断． 【详解】 A、选项中3与不是同类项，不能进行合并，故A选项错误； B、选项中与不是同类项，不能进行合并，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 【点睛】 本题考查二次根式的加减法运算，理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法运算法则是解题关键． 2．C 【解析】 【分析】 根据最简二次根式的定义直接判断即可． 【详解】 A. ，选项A不是最简二次根式，不符合题意； B. ，选项B不是最简二次根式，不符合题意；        C. 不能化简，是最简二次根式，符合题意；        D. ，选项D不是最简二次根式，不符合题意， 故选：C 【点睛】 本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握被开方数中不能含有能开方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，才是最简二次根式是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】 根据勾股定理即可解答本题． 【详解】 解：∵ 、、 ∴在 中根据勾股定理有： ∴ 故选C 【点睛】 本题考查了正方形面积的计算方法及勾股定理等知识点，掌握上述知识点是解答本题的关键． 4．B 【解析】 【分析】 根据勾股数的概念判断即可． 【详解】 解：A．∵62+72≠82，∴6，7，8不是一组勾股数，本选项不符合题意； B．∵52+122＝132，∴5，12，13是一组勾股数，本选项符合题意； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数，∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，本选项不符合题意； D．∵22+42≠52，∴2，4，5不是一组勾股数，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 5．A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， 则∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝3， 同理可证：DF＝DC＝AB＝3， 则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 6．D 【解析】 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD=BC， 添加条件BE = DF，则AD-DF=BC-BE，即AF=CE，再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意； 添加条件AECF，再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故B不符合题意； 添加条件AF = EC，再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意； 添加条件AE = EC，再由不可以证明四边形AECF是平行四边形，故D符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 7．D 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质，得，，，；根据全等三角形的性质，通过证明，得，，从而得，再通过计算即可得到答案． 【详解】 解：∵EF过平行四边形ABCD对角线的交点O ∴，，， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴平行四边形ABCD的周长， 即 ∴四边形ABFE的周长 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形、全等三角形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的性质，从而完成求解． 8．A 【解析】 【分析】 先进行通分计算，然后代入求值即可． 【详解】 解：原式＝ ＝ 当a＝，b＝时， 原式＝ ＝ ＝﹣2 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键． 9． 【解析】 【分析】 先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简． 【详解】 解： 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键． 10．x≤1且x≠-2 【解析】 【分析】 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，1−x≥0且|x|-2≠0， 解得x≤1且x≠-2． 故答案为：x≤1且x≠-2． 【点睛】 本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义． 11． 【解析】 【分析】 根据两点的距离公式计算求解即可． 【详解】 解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为 故答案为：． 【点睛】 本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式．解题的关键在于熟练掌握距离公式：、两点间的距离公式为． 12．30 【解析】 【分析】 将立体图形展开，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】 解：如图， AB=（cm）， 答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为30cm， 故答案为：30． 【点睛】 本题主要考查了对平面展开-最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据． 13． 【解析】 【分析】 根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再根据面积即可求得． 【详解】 解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BD=BC=3， ∴， 设AC边上的高为h， 则， 得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14．14＜α＜26 【解析】 【分析】 首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得OC=AC=3，BD=2OB，再由三角形三边关系，即可求得答案． 【详解】 如图， 若▱ABCD中，BC=10，AC=6， ∴OC=AC=3，BD=2OB， ∴10-3＜OB＜10+3， 即7＜OB＜13， ∴14＜BD＜26， 即它的另一条对角线长a的取值范围为：14＜α＜26． 故答案为：14＜α＜26． 【点睛】 此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 15．3 【解析】 【分析】 根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=4，结合，即可求得CD边上的高AF的长． 【详解】 解∶∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4， ∴CD=AB=4， 又，AE=2，BC=6， ∴， ∴AF=3，即DC边上的高AF的长是3． 故答案为3． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积求法，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 16．22 【解析】 【分析】 根据三角形中位线定理得到DE∥BC，BC=2DE，BD=AD=7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定定理得到DF=BD=7，计算即可． 【详解】 ∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC=2DE，BD=AD=7， ∴∠DFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠DFB=∠DBF， ∴DF=BD=7， ∵ ∴DE=DF+EF=11， ∴BC=2DE=22， 故答案为：22． 【点睛】 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 17．(1)10 (2) 【解析】 【分析】 （1）利用二次根式乘法法则计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； (1) 原式 ． (2) 原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，二次根式的性质等知识点，主要考查学生的计算和化简能力． 18．，1 【解析】 【分析】 首先把括号内的分式通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可化简，再代入数值计算即可． 【详解】 解： = = = 当，时，原式= 【点睛】 本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，正确对分式的分子、分母进行分解因式是关键． 19．(1)x＋1， x－1 (2)旗杆的高度AB是16米 【解析】 【分析】 （1）根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，则绳长AC=x+1，由CD=BE=1可得AE=AB-BE=x-1； （2）由AC=x+1，AE =x-1；以及CE＝8，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． (1) 解：设AB长为x米，则绳子长为（x＋1）米，AE的长度为（x−1）米． 故答案是：（x＋1）；（x−1）； (2) 解：在Rt△ACE中，AC＝（x＋1）米， AE＝（x−1）米，CE＝8米， 由勾股定理可得，（x−1）2＋82＝（x＋1）2， 解得：x＝16． 答：旗杆的高度为16米． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键． 20．3cm 【解析】 【分析】 由矩形和折叠的性质可知，，．在中利用勾股定理可求出，从而可求出．设，则，在中利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】 解：四边形是矩形， ，， 由折叠可知：，， 在中：， ． 设，则， 在中：，即， 解得：． 故． 【点睛】 本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是借助翻转变换的性质，灵活运用勾股定理列出方程． 21．证明见解析 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质可知，，即推出．在结合题意E为BC的中点，即可证明，得出，从而证明． 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴． ∵E为BC的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 22．证明见解析． 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】 证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴ED∥BF， 又∵AE＝CF， 且ED＝AD－AE，BF＝BC－CF， ∴ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）只需要利用AAS证明两个三角形全等即可； （2）根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可证明结论． (1) 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； (2) 解：∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质与判定条件． 24．周长为6+2，面积为24． 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质得出OA=AC=4，OB=BD=5，由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出BC，即可得出四边形ABCD的周长和面积． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=AC=4，OB=BD=5， ∵AC⊥AB，    ∴∠BAO=90°，  在RtΔAOB中， AB2+OA2=OB2， AB==3， 在RtΔAOB中   BC==， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=3，AD=BC= ， ∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=6+2， ∴▱ABCD的面积=AB⋅AC=3×8=24． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形周长和面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 25．(1)见解析 (2)四边形AEDF的周长为12cm． 【解析】 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质和平行的性质得到∠FDC=∠C，再证明FD=FC； （2）直接利用平行四边形的性质可知：平行四边形的周长正好是AC的2倍． (1) 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DF∥AB， ∴∠FDC=∠B， ∴∠FDC=∠C， ∴FD=FC； (2) 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∴C▱AEDF=AE+ED+DF+AF=2（AF+FD）=2（AF+FC）=2AC=12（cm）． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答该题的关键是平行四边形的判定与性质的综合运用． 26．(1)证明见解析； (2)． 【解析】 【分析】 （1）由平行线的性质可得，即可利用“ASA”证明，即得出，由此可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形； （2）根据题意易证，即得出，从而可求出．再由平行四边形的性质可得，从而可求出． (1) ∵， ∴． 即在和中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) ∵，即， ∴在和中，， ∴ ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $