2026年寒假综合检测卷（范围：二次根式～四边形）八年级数学新教材人教版

2026年寒假综合检测卷 范围：人教版新教材（二次根式~四边形） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B A C C B C 二、填空题（共15分） 11．/90度 12． 13． 14． 15． 三、解答题（共75分） 16．（9分）(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 17．（9分） 【分析】由勾股定理求出，设，则，由折叠可得，，进而得出，由勾股定理列方程求出x即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 沿将翻折，点C刚好落在边上点E处， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用勾股定理列方程是解题的关键. 18．（9分） 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（9分）(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 20．（9分）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中，因为， 所以， 所以． 在中，因为， 所以， 所以， 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 21．（9分）(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，得到，可得，根据判定四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 22．（10分）(1) (2)的长为； (3)当为直角三角形时，t的值为8或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出即可； （2）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理可得：； （2）解：如图1，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 图1 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； （3）解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 23．（11分）(1)1， (2)见解析 (3)①不变，，理由见解析；②的值为2 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）判断出是等腰直角三角形，从而得出结果； （2）由推出，进而证明，进一步得证； （3）①类比（2）作交的延长线于F，同理（2）证明，进一步得出结论； ②取的中点H，连接，可得，再推出，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：1，； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①不变，，理由如下： 如图，作交的延长线于F， 同理（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假综合检测卷 范围：人教版新教材（二次根式~四边形） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 二次根式要求被开方数为非负实数，选项A的被开方数为负数，不符合定义． 【详解】解：A、被开方数为，不属于二次根式，符合题意； B、被开方数，属于二次根式，不符合题意； C、被开方数，属于二次根式，不符合题意； D、被开方数，属于二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（3分）以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是 （    ） A．5、12、13 B． C．1、、1 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，关键是比较两小边的平方和与最长边的平方是否相等． 根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A．∵，∴，∴5、12、13能组成直角三角形； B．∵，∴，∴不能组成直角三角形；     C．∵，∴，∴1、、1能组成直角三角形； D．∵，∴，∴能组成直角三角形； 故选B． 3．（3分）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个） 故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键． 4．（3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算法则和性质．根据二次根式的加减法、乘法、除法运算法则，分别对选项中的式子进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 5．（3分）数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的性质．根据题意求得，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 故选：B． 6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 7．（3分）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 8．（3分）如图，在中，，过点A作于点E，若，则的长度为（   ）．      A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，在根据勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 在中，, ∴, ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 9．（3分）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 10．（3分）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即的长为． 故选：C． 二、填空题（共15分） 11．（3分）若三角形的三边a、b、c满足，则该三角形的最大内角度数为 ． 【答案】/90度 【分析】根据等腰三角形的判定得到这个三角形是等腰三角形，根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形．然后根据等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：∵三角形的三边满足， ∴设，，， ∴， ∴这个三角形是等腰三角形， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形是等腰直角三角形， ∴该三角形的最大内角度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键． 12．（3分）如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为米，则间的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，利用三角形中位线的性质计算即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴米， 故答案为：． 13．（3分）观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，化简二次根式，正确找到规律是解题的关键． 根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得这一列数据为：0，，，，，，，… 即0，，，，，，…， ∴第n个数据为， ∴第10个数据为， 故答案为：． 14．（3分）如图，在菱形中，，，E为边的中点，连接BE，则菱形的面积等于 ，的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，，然后可以求出菱形面积；再利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴菱形的面积； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 15．（3分）如图，长方形中，，，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接 ，则 的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接．利用勾股定理求出，根据 ，由此可得结论． 【详解】解：如图，连接． 四边形是长方形， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 将沿折叠，使点落在， ， 的最小值为． 故答案为：．    【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16．（9分）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 17．（9分）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在边上点E处，求的长．    【答案】 【分析】由勾股定理求出，设，则，由折叠可得，，进而得出，由勾股定理列方程求出x即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 沿将翻折，点C刚好落在边上点E处， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用勾股定理列方程是解题的关键. 18．（9分）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（9分）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 20．（9分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中，因为， 所以， 所以． 在中，因为， 所以， 所以， 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 21．（9分）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，以为边作矩形，连接，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，得到，可得，根据判定四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 22．（10分）综合实践 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (3)当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)的长为； (3)当为直角三角形时，t的值为8或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出即可； （2）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理可得：； （2）解：如图1，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 图1 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； （3）解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． (1)的值为 ________ ；的度数为________ ； (2)如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； (3)如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 【答案】(1)1， (2)见解析 (3)①不变，，理由见解析；②的值为2 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）判断出是等腰直角三角形，从而得出结果； （2）由推出，进而证明，进一步得证； （3）①类比（2）作交的延长线于F，同理（2）证明，进一步得出结论； ②取的中点H，连接，可得，再推出，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：1，； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①不变，，理由如下： 如图，作交的延长线于F， 同理（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假综合检测卷 范围：人教版新教材（二次根式~四边形） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是 （    ） A．5、12、13 B． C．1、、1 D． 3．（3分）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）【传统文化情境】数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在中，，过点A作于点E，若，则的长度为（   ）．      A．8 B．9 C．10 D．12 9．（3分）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 10．（3分）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 二、填空题（共15分） 11．（3分）若三角形的三边a、b、c满足，则该三角形的最大内角度数为 ． 12．（3分）如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为米，则间的距离是 米． 13．（3分）观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是 ． 14．（3分）如图，在菱形中，，，E为边的中点，连接BE，则菱形的面积等于 ，的长等于 ． 15．（3分）如图，长方形中，，，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接 ，则 的最小值是 ．    三、解答题（共75分） 16．（9分）计算： (1) (2) (3) 17．（9分）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在边上点E处，求的长．    18．（9分）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 19．（9分）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．（9分）【日常生活情境】某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 21．（9分）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，以为边作矩形，连接，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 22．（10分）综合实践 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (3)当为直角三角形时，直接写出t的值． 23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． (1)的值为 ________ ；的度数为________ ； (2)如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； (3)如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $