江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考数学试卷

江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z满足则( ) A.1 B. C.2 D. 2．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3．已知等差数列的前n项和为,若,则使得成立的正整数n的最大值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23 4．已知，，，则( ) A. B. C. D. 5．已知直线l，m与平面，，，，则下列命题中正确的是( ) A.若，则必有 B.若，则必有 C.若，则必有 D.若，则必有 6．已知双曲线的左、右焦点分别为,,焦距为6,离心率为.过点且倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,则( ) A. B. C. D. 7．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最大值为( ) A. B.92 C.91 D.90 8．已知的内角A,B,C满足,其面积,则的外接圆半径R为( ) A.2 B. C.4 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知平面向量,则下列说法正确的是( ) A. B. C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为 10．近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效.某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是( ) A. B.在40天内，每天的平均销售额约为4.10万元 C.在40天内的销售额的分位数约为4.75万元 D.若规定每天的销售额不低于3万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为0.75 11．设,且,则下列关系式可能成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆 的左顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,若,则E的离心率为___________________. 13．设，若函数在单调递增，则a的取值范围是______. 14．正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数在区间上的最大值为1,最小值为,求m的取值范围. 16．（15分）如图,四棱锥的侧面为正三角形,底面为梯形,,平面平面,已知,. (1)证明：平面； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的，. (1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率； (2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X的数学期望. 18．（17分）已知抛物线，斜率为的直线l交抛物线于M，N两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)试探究：抛物线C上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知， (1)时，证明：； (2)若对任意的，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：对任意的正整数n，总有. 数学答案 1．答案：B 2．答案：B 3．答案：B 4．答案：B 5．答案：C 6．答案：D 7．答案：B 8．答案：A 9．答案：ABD 10．答案：ACD 11．答案：AC 12．答案： 13．答案： 14．答案： 15．答案：(1)最小正周期为,对称中心坐标为, (2) 解析：(1)因为, 所以的最小正周期, 令,,解得,, 所以的对称中心的坐标为,； (2)当时,, 因函数在区间上的最大值为1,最小值为, 则在上的最大值为1,最小值为, 因,结合正弦函数图象可知,,得, 所以m的取值范围为. 16．答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)取上的点N,使, 则, 所以四边形为平行四边形,所以, 又平面,平面,所以平面； (2)取中点O,连,因为,所以, 因为为正三角形,所以,, 又平面平面,平面平面,平面, 所以平面, 因为平面,所以,, 以O为坐标原点,分别为轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,,, 则,,, 设为平面的法向量, 则,可取, , 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．答案：(1)； (2) 解析：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为. 记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”， 事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i台车床加工的”，. 则. （2）X的可能取值为0，1，2，3，…，10，且X服从二项分布. 由（1）知，. ，. 18．答案：(1) (2)存在，和 解析：(1)由在抛物线上， 则，解得， 因此可得抛物线C的方程为. (2) 存在点P在抛物线C上， 设点， 由直线l的斜率为，且过， 则直线l的方程为：，即， 联立， 可得，解得，或， 即可得N点的纵坐标为8， 代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，， 解得，或，或，或， 当时，与M重合，舍去， 当时，与N重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线C上存在点P，为和时，. 19．答案：(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 解析：（1）构造， 当时，， . 可知，，单调递增； ，，单调递减. 则，故，即，所以. （2）依题意，设， 则，且有，. （i）当，时，显然中， 则恒成立； （ii）当，时，， 则单调递增，， 单调递增，. （iii）当，时，， 则单调递增，，， 则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件. 综上所述，. （3）由（2）中结论，有当时， ，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，…，，可得， ，……， 累加可得 证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $