5.3 一元一次方程的应用 教学实录 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

一元一次方程的应用(追及问题)课堂实录 教学目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型的意义。 （2）通过观察，归纳提高运用一元一次方程解决实际问题。 （3）体会到一元一次方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立一元一次方程的数学模型，并能解决实际问题。 教学重难点 （1）通过对实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型的意义。 （2）通过观察，归纳提高运用一元一次方程解决实际问题。 教学过程 师：上节课我们学习了列元一次方程解有关相遇问题，在现实生活中我们还常常见到一些追及现象，你能举出一些追及现象的例子吗？ 生：警察追小偷。赛跑。 生：猫追老鼠。地对空导弹追飞机。 生：缉私艇追走私船。 生：直升飞机追汽车。 . . . . . . 师：同学们回答的现象都非常有趣，可以说追及现象涉及到生活的各方面。 这节课我们来探讨列一元一次方程解有关追及问题。 师：观察下列直线型示意图(动画反复显示)，指出它们的不同点，大家分组讨论。 A地 甲 C 乙 B地 （1） A地 甲 C 乙 B地 ( 乙 )（2） 师：那一个小组来发表见解？ 小组甲代表：图(1)中甲、乙是相向而行，是相遇问题;图(2)中甲、乙是同向而行，是追及问题。 师：回答得很好，有补充意见的吗？ 小组乙代表：图(1)中的相等关系是：甲行路程+乙行路程=A、B两地路程。 图(2)中的相等关系是：甲行路程=乙行路程。 师：补充得很好。刚才同学们从行驶方向和相等关系两个方面指出了相遇问题和追及问题的区别。下面我们来探讨一个实际问题(多媒体显示)： 例题：小明以5千米/时的速度去上学，走了18分的时候，爸爸发现他的数学课本丢在家里了。爸爸骑着自行车以14千米/时的速度按原路追上小明把课本交给了小明。爸爸用多少时间追上了小明？ 师：请同学们仔细阅读题目，然后分组讨论，并把思维过程在纸上用简洁的方式表达出来。(教师参与议论，根据情况作启发、指点) 师：那一个小组先上台来展示结果？(学生举手非常积极) 小组丙代表在实物投影仪上展示结果并讲解： 时间(h) 速度(km/h) 路程(km) 小明 0.3+ 5 5(0.3+) 爸爸 14 14 师：这位同学讲得很好(学生鼓掌)，他们是采用列表的方法进行分析的。还有不同的分析方法吗？ 小组丁代表在实物投影仪上展示结果并讲解： 小明5 5 家 爸爸 14 追及地 师：这位同学也讲得很好(学生热烈鼓掌)，他们是采用画直线型示意图的方法进行分析的。 两种方法都能直观地表达题意。 师：从直线型示意图中你能找出相等关系吗？ 生：爸爸行进路程=小明行进路程。 师：正确。请同学们自己在课堂练习本上完成解题过程。 (教师巡视、指点，发现错误予以指正，并投影正确的答案。) 解：设爸爸小时追上了小明。根据题意，得 14 = 5+5 9= = 答：爸爸用小时(即10分钟)可追上了小明。 教师强调： （1）格式要规范。 （2）设、列要正确地标注单位。 （3）列方程时单位要统一。 师：在上面的例题中，还有哪些数量是未知的？你能提出新的问吗？ (学生有些茫然，教师微笑并给予温馨提示) 生：小明什么时间被爸爸追上了？ 师：哪位同学来回答这个问题？(学生争先恐后) 生：7:28分钟 师：为什么？ 生：小明先出发了18分钟，爸爸才出发。爸爸出发后小明又走了10分钟才被追上，因此小明出发后经过28分钟才被爸爸追上。 师：回答得很好。还有同学提出新的问题吗？(有许多同学举手) 生：当爸爸追上小明时，他们已经行进了多少路程？ 师：哪位同学来回答这个问题？(又是争先恐后) 生： 5×+5×=(千米) 师：很好!（还有一些同学举手） 生：由于小明所行路程与爸爸所行路程相等，这样计算比较简单 14=(千米) 师：回答得很好!下面换一种方式思考，在上面例题中，通过交换已知条件和未知量，你能设计一道题目吗？大家分组讨论。 (学生讨论非常热烈) 生：小明以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，爸爸骑自行车用10分钟的时间从家出发并按原路追上小明。爸爸必须以怎样的速度行进？ 生：小明从家出发走了18分的时候，爸爸骑自行车用了10分钟的时间从家出发并按原路追上小明。爸爸骑自行车以14千米/时的速度行进，只用10分就追上了小明。求小明行进的速度？ 生：小明从家出发，走了一段时间后，爸爸从家出发，骑着自行车以14千米/时的速度按原路追上去，只能10分就得追上了小明。求爸爸出发前小明走了多少时间？ 生：小明从家出发，走了18分的时候，爸爸从家出发，骑着自行车按原路追上去，只能10分就得追上了小明，已知爸爸每小时比小明多走9千米。求小明和爸爸行进的速度？ 师：这几位同学设计的题目都很好。还有许多同学准备发言，由于时间的关系，请把设计的题目写在作业本上并给出解答过程。 师：(实物投影)请同学们思考最后那位同学设计的题目并给出解题过程。(教师巡视、指点，对有困难的学生个别给以指导。） 师：(片刻)大部分同学已经完成，下面我们几位同学的解题过程。(实物投影并点评) 解：设小明的速度为千米，则爸爸的速度为(+9)千米， 根据题意得 9 答：小明的速度为5千米，爸爸的速度为14千米。 师：这位同学的解题过程有没有值得推敲的地方？ 生：速度的单位是千米/时，不是千米。 师：很好。刚才我们通过交换题目的已知条件和未知量得到一些新的题目，今后我们应该学会这样举一反三，下面请同学们想一想，你能把上面追及问题的例题改成工程问题的题目吗？看哪一小组最快。(学生热烈诗论) 生：一水池中有两根水管，甲管每小时注入5立方米的水，乙管每小时排出14立方米的水，如果甲管注水18分钟后再开乙管，那么多长时间能将本池的水排空？ 师：改编得很好!(学生热烈鼓掌)容易发现，两个不同的实际问题中的相等关系是用同一个方程来表达的。由此可见，方程可以把不同的实际问题联系起来。许多表面现象千差万别的问题，常常有着内在的联系，变化着的问题，变中有不变，因此我们在研究问题变化的同时，更要研究其中不变的规律。 师：下面请同学们根据生活中常见的追及现象自编一道题目，看谁编得最快最符合实际意义。(课堂上的气氛非常活跃，同学们的热情非常高) 生：晚上，一只老鼠从洞中钻了出来，一只猫在离它10米的地方发现它，并以1.8米/秒的速度追击，老鼠以0.8米/秒的速度逃跑。问猫要多长时间才能追上老鼠？ 师：编得很好，掌声鼓励!请同学们解答此题。(实物投影) 生：(黑板解答)略 师：下面我们来总结一下，这节课我们学习了什么内容？ 生：我们学习了应用一元一次方程解行程问题中的追及问题 师：我们采用了哪些分析方法？ 生：主要采用了列表法和画直线型示意图来进行分析？ 师：解应用题的关键是什么？ 生 ：关键是弄清题意，明确已知什么，要求什么，相等关系是什么。 师：我们应该怎样去学习例题？ 生：学习例题的解题方法和思想，并学会一题多问，一题多变，一题多解。 师：回答得很好!今后我们对一道题目要举一反三达到融会贯通。利用路程、时间、速度三者之间关系，体会在相遇问题中的“两个同时”，即同时出发、同时到达相遇地点和追及问题中的追上也是同时到追及地点，借助画线段图列一元一次方程解决以现实生活为背景的行程问题。 结合实际，运用画图直观分析、探究发现，在轻松愉快的气氛中掌握知识。下面布置作业……，下课! 学科网（北京）股份有限公司 $