精品解析：江西省上饶市玉山县第一中学2025届高三上学期高考模拟考试（一）数学试卷

2025年普通高等学校招生考试模拟考试（一） 数学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素性质求解集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】因为， 所以，故 ． 故选：C. 2. 复数对应的向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可得，再由复数的除法计算即可． 【详解】由题意，，所以． 故选：B． 3. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】设，由于， 故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称． 又，所以的图象关于对称， 即，由，所以， 故选：A． 4. 在的展开式中，若与的系数相同，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式以及组合数性质即可计算求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 因为与系数相同，所以， 所以，解得． 故选：C 5. 函数的极小值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为. 故选：B． 6. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 7. 0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列满足：所有项均是0或1，当且仅当（其中为正整数）时，，其余项为0．则满足的最小的正整数（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则，根据即可求解. 【详解】由题意知，， 且， 即， 当时，， 由于，所以满足的的最小值为51， 故选：B． 8. 已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干等式的函数性质，求出函数解析式，进而根据裂项求和法，求出结果. 【详解】在中，令，得，且，故； 令，得，所以． 所以， 所以. 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列方程所表示的圆能同时与x轴和直线相切的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用圆的切线性质，结合点到直线的距离公式逐项判断得解. 【详解】对于A，圆的圆心，半径1，圆心到直线的 距离为，该圆与直线不相切，A不是； 对于B，圆的圆心，半径1，圆心到直线的 距离为，圆心到轴的距离也为1，该圆与x轴和直线都相切，B是； 对于C，圆的圆心，半径，圆心到直线 的距离，圆心到轴的距离也为，该圆与x轴和直线都相切，C是； 对于D，圆的圆心，半径，圆心到轴的距离为， 该圆与x轴不相切，D不是. 故选：BC 10. 甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、的方式赋分，其中分别表示甲、乙两班原始考分，分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ） A. 甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B. 甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C. 甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D. 若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB；作差比较，结合自变量范围即可判断C；作出函数的图象，结合图象可判断D. 【详解】对AB，由题知， 因为，， 所以， 解得， 所以，故A正确，B错误； 对C，因为，， 所以，即，所以C正确； 对D，作出函数的图象，如图所示： 由图可知，当时，有， 又因为单调递增，所以当时必有，D正确. 故选：ACD 11. 声音由物体振动产生的声波形成，每个音可由纯音合成，纯音数学模型为函数.音的四要素与函数参数有关，如音调与频率相关，频率低声音低沉，频率高音尖利，日常听到的是复合音，其函数为，结合材料及所学知识，判断下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象不具有对称性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应的函数近似为，则声音甲比纯音更低沉 D. 记，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A利用函数奇偶性的定义判断即可；对于B利用增函数和增函数的和仍为增函数来判断；对于C求出两个函数的周期，进而得到频率大小，即可判断.对于D由诱导公式及换元法求解． 【详解】， 故为R上的奇函数，图象关于原点对称，故选项A错误； 当时，， 故，在上都是增函数， 则在上单调递增，选项B正确； 因为的最小正周期为的最小正周期为， 所以的最小周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率，声音甲的频率更低， 故声音甲比纯音低沉，选项C正确； ， 令，， 平方可得：，代入上式得，， 由二次函数知识，，故选项D正确， 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为服从正态分布，且，则． 故答案为：0.2. 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得曲线在处的切线，然后设切线与曲线相切的切点为，利用两条切线相同可得答案. 【详解】设，则，， 所以曲线在点处的切线方程为, 化为． 设，则， 又设切线与曲线相切的切点为， 由题，得，解得，则切点为． 因为切点在切线上，则． 故答案为： 14. 在中，内角，所对的边分别为，已知，，且，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先通过角化边和正余弦定理，根据题中条件得到，再对进行化简，换元，借助导函数研究其最大值即可. 【详解】由正弦定理，，则有， 由于，所以， 由余弦定理得，，则， 又由正弦定理，得，即， 则有，即． 因为，所以，故，则， ， 设，，则， 令，得，或（舍）， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故当时，取最大值， 故最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是对进行减少变量的处理，用一个角表示，再通过换元，转变成函数定区间求最大值的问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 学业成绩 日均体育锻炼时长（单位：小时） 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 （1）记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为，给出的估计值； （2）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ 附：. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表中的数据，利用公式求得，结合附表，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由列联表知，学业成绩优秀的学生共有100人， 其中日均体育锻炼时长为1至2小时的有40人， 根据古典摡型的概率计算公式，可得概率为， 所以的估计值为. 【小问2详解】 解：零假设，学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时无关， 由的列联表中的数据，可得：， 因为， 所以零假设不成立，故有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关. 16. 已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且． （1）分别求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出，利用待定系数法可求出； （2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出. 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为q，且有， 由于解得 所以数列的通项公式为． 由于是等差数列，设， 则有， 所以,解得 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以 ． 17. 如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：如图4，在平面上任取一点H， 作交于点E，作交于点F， 由于平面平面，平面平面，， 所以平面， 又因为平面，所以； 同理：可得， 又因为且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）在平面内构造一点，分别向、作垂线，应用面面垂直的性质证出垂直于平面内两条相交线，再应用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，为z轴建立适当的空间直角坐标系，应用空间向量法解出两面夹角余弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面，过A点作交于点G， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 由于，， 所以，，，，， 在四棱台中，由于，可得； 同理，由于，可得； 所以，，， 设平面的法向量， 由,即，可取； 设平面DBC1的法向量， 由，即，可取， 所以， 所以平面与平面DBC1夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为； （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； （2）由已知当时，不等式恒成立，证明函数，的单调性，由此可得当时，恒成立，利用导数求函数，的最大值，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积， 【小问2详解】 因为， 不等式，又， 所以不等式， 由已知当时，不等式恒成立，故， 设，，则， 函数在上单调递增， 当时，，，， 所以不等式， 所以当时，恒成立， 设，，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以. 所以的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，直线过点且与抛物线交于两点，． （1）求的方程． （2）如图，分别以为直径作圆． （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由题意知，与轴不重合，设，与抛物线方程联立，由韦达定理及进行求解； （2）（i）由题意知圆的面积之和利用韦达定理及二次函数求解；（ii）由题意知圆外切，有一条内公切线和两条外公切线．分时和时进行求解． 【小问1详解】 由题意知，与轴不重合，设， 由得， 设，则， 因为，所以， 即， 所以，即的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意知圆的面积之和， 设，点， 令，则，则， 这是个图象开口向上的二次函数，在时单调递增， 所以． （ii）由题意知圆外切，有一条内公切线和两条外公切线． 设，当时，， 此时圆的圆心横坐标均为4，半径均为2， 三条公切线分别为，， 公切线的交点有两个：． 当时，内公切线为过点且与垂直的直线，即． 设交于点，由对称性可知点在直线上， 圆的半径之比为， 又，所以， 记，上式化简得， 又， 代入，整理得， 因为是任意的，所以，即， 故点在直线上运动，又点不可能为原点， 所以点的轨迹方程为． 如图，设与的交点为与的交点为与轴交于点，下面探究点和的轨迹． 易知， 故． 由可得， 所以， 所以，即为的中点， 所以点的轨迹方程为． 由对称性可得， 所以点的轨迹方程为． 综上，圆的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线， 方程分别为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生考试模拟考试（一） 数学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 在的展开式中，若与的系数相同，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 函数的极小值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 7. 0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列满足：所有项均是0或1，当且仅当（其中为正整数）时，，其余项为0．则满足的最小的正整数（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 8. 已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列方程所表示的圆能同时与x轴和直线相切的有（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、的方式赋分，其中分别表示甲、乙两班原始考分，分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ） A. 甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B. 甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C. 甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D. 若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高 11. 声音由物体振动产生的声波形成，每个音可由纯音合成，纯音数学模型为函数.音的四要素与函数参数有关，如音调与频率相关，频率低声音低沉，频率高音尖利，日常听到的是复合音，其函数为，结合材料及所学知识，判断下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象不具有对称性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应的函数近似为，则声音甲比纯音更低沉 D. 记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________． 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______． 14. 在中，内角，所对的边分别为，已知，，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 学业成绩 日均体育锻炼时长（单位：小时） 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 （1）记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为，给出的估计值； （2）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ 附：. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且． （1）分别求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和． 17. 如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，直线过点且与抛物线交于两点，． （1）求的方程． （2）如图，分别以为直径作圆． （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $